USO DELLE FRAZIONI ROMANE
NEI CALCOLI DEI GERBERTISTI
MARIAIRENE GUAGNINI
(irene.guagnini@alice.it)
Gerberto d'Aurillac (945 circa 1003) introdusse per primo nell'Occidente cristiano i nove
numerali arabi, la rappresentazione decimale posizionale dei numeri e le relative tecniche di calcolo
indo-arabe, dopo essere venuto in contatto con la scienza araba durante un soggiorno in Spagna. La
rappresentazione dei numeri avveniva su un nuovo tipo di abaco
1
, suddiviso in colonne recanti le
intestazioni di unità, decine, centinaia ecc., in cui le cifre erano rappresentate mediante gettoni
recanti il simbolo corrispondente in notazione araba (o greca o, talvolta, con scrittura latina
2
).
Tuttavia la mancanza di un simbolo per lo zero, che veniva risolta da Gerberto lasciando vuota la
colonna corrispondente dell'abaco, non permetteva la scrittura dei numeri e infatti Gerberto e
coloro che proseguirono i suoi studi matematici (detti Gerbertisti) scrissero sempre i numeri in
notazione latina. Tuttavia la rappresentazione dei numeri sull'abaco mediante gettoni produsse un
grande progresso nello svolgimeno dei calcoli, perché permise ai Gerbertisti di utilizzare le
tecniche di calcolo indo-arabe, che sfruttano la rappresentazione decimale posizionale.
Le cifre rappresentate sui gettoni
La rappresentazione dei numeri sull'abaco
Per quanto riguarda le frazioni, Gerberto e i suoi seguaci, così come gli studiosi medievali dei
secoli precedenti, continuarono a usare le once e le minuzie, cioè le frazioni degli antichi Romani.
Esse corrispondevano a particolari suddivisioni dell'unità, legate ai valori delle monete e alle
misure di pesi, lunghezze, aree, volumi. Per queste frazioni venivano utilizzati simboli e regole di
calcolo completamente diversi da quelle attuali e, nel Medioevo, il loro studio era considerato
particolarmente difficile, anche se necessario per le applicazioni in Geometria, Musica e
Astronomia.
E' interessante esaminare quello che i Gerbertisti scrissero riguardo le once e le minuzie (in un
periodo che spazia dalla fine del X al XII secolo), perché nei loro scritti, per la prima volta, vennero
1 Vedere GUAGNINI, L'abaco di Gerberto d'Aurillac, pp. 1-3.
2 Vedere, per esempio, immagine a p. 19.
1
descritti nel dettaglio i procedimenti di calcolo.
Più nel generale, gli scritti dei Gerbertisti rivestono un interesse storico perché mostrano lo stato
dell'arte dell'aritmetica nei due secoli immediatamente precedenti la comparsa del Liber abaci di
Fibonacci.
In un altro scritto si sono esaminate nel dettaglio varie tecniche di calcolo usate dai Gerbertisti,
limitandosi all'ambito dei numeri naturali (privati dello zero)
3
. Qui completo la ricerca presentando
le tecniche di calcolo specifiche per le once e le minuzie.
Ho cercato, nel limite delle mie possibilità, di non sovrapporre nozioni 'moderne' ai concetti dei
secoli X-XII. In particolare nel testo ho indicato le frazioni romane a volte con i loro nomi, a volte
con i simboli attuali, mantenendo però il senso originale
4
. Invece, per non appesantire inutilmente
l'esposizione, nelle spiegazioni compaiono i simboli +, – , ×, : , = (posteriori di vari secoli).
Vengono presentati calcoli effettivamente svolti dai Gerbertisti
5
nei loro trattati sul computo,
spesso anche con l'aiuto dei testi originali
6
. Utilizzerò prevalentemente il quarto libro del Liber
abaci di Bernelino, allievo di Gerberto, e il De minutiis di un abacista anonimo, che ebbero
entrambi una larga diffusione, oltre ad alcuni esempi proposti da Oddone, Gerlando, Turchillo e da
un altro autore anonimo
7
.
LE ONCE - DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETA'
Unum ergo, quicquid illud sit, sive pes sive libra, si per XII divido, duodecimam unam unciam,
duas sextantem, tres quadrantem, quatuor trientem, quinque quincuncem, sex semissem,
septem septuncem, octo bisse, novem dodrantem, decem dextantem, undecim deuncem,
duodecim assem nomino
8
.
Nel testo precedente vengono presentate le once. Un'oncia, che corrisponde alla dodicesima parte
dell'unità. In questo contesto l'unità è chiamata asse, quindi un'oncia corrisponde alla dodicesima
parte dell'asse.
I multipli dell'oncia hanno ognuno un proprio nome, che richiama una proprietà matematica della
frazione stessa.
Sextans dicitur quasi assis sexta; nam duabus unciis constat
9
.
Due dodicesimi dell'asse, cioè due once si chiama sestante perché è la sesta parte dell'asse.
Quadrans dicitur quasi assis quarta; nam tribus unciis constat
10
.
Tre dodicesimi dell'asse, cioè tre once, si chiama quadrante perché è la quarta parte dell'asse.
3 Vedere Guagnini, L'abaco di Gerberto, pp. 5-15.
4 Per esempio, la metà dell'unità verrà indicata o con il nome di semiasse (traduzione del termine latino semis) o come
6/12 (6 once, cioè 6 dodicesimi dell'unità).
5 Non ricostruiti a posteriori da matematici moderni; vedere, a questo riguardo, alcuni esempi in MAHER, MAKOWSKY,
Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions, pp. 380-383.
6 L'unica eccezione è il secondo esempio a p. 19, di mia invenzione, ma svolto con la tecnica proposta da Bernelino.
7 I testi completi sono facilmente reperibili in internet, vedere sitografia.
8 Abacista anonimo, De minutiis, in BUBNOV, Gerberti Opera Mathematica (972-1003), p. 229. “Se divido per 12
un'unità qualsiasi, un piede o una libbra, chiamo la dodicesima parte oncia, due [dodicesimi] sestante, tre
[dodicesimi] quadrante, quattro [dodicesimi] triente, cinque [dodicesimi] quinconce, sei [dodicesimi] semiasse,
sette [dodicesimi] settonce, otto [dodicesimi] bisse, nove [dodicesimi] dodrante, dieci [dodicesimi] destante, undici
[dodicesimi] deoncia, dodici [dodicesimi] asse.”
9 Bernelino, Liber abaci, in OLLERIS, Oeuvres de Gerbert-pape sous le nom de Sylvestre II, p. 388. “Si chiama sestante
la sesta parte dell'asse; infatti è formato da due once.”
10 Ivi, p. 388. “Si chiama quadrante la quarta parte dell'asse; infatti è formato da tre once.”
2
Triens dicitur quasi assis tertia; nam IIII unciis constat
11
.
Quattro dodicesimi dell'asse, cioè tre once, si chiama triente perché è la terza parte dell'asse.
Quincunx dicitur quasi quinque unciis consta
12
.
Cinque dodicesimi dell'asse si chiama quinconce perché è formato da cinque once.
Semis dicitur quasi medietas assis; nam VI unciis constat
13
.
Sei dodicesimi dell'asse, cioè sei once, si chiama semiasse perché è la metà dell'asse.
Septunx dicitur, quasi septem unciis constans
14
.
Sette dodicesimi dell'asse si chiama settonce perché è formato da sette once.
Bisse dicitur quasi bis triens, vel triente demptus; VIII enim unciis constat
15
.
Otto dodicesimi dell'asse, cioè otto once, si chiama bisse, perché corrisponde al doppio del
triente. Si ottiene anche sottraendo all'asse un triente.
Dodrans dicitur quasi quadrante demptus. Nam tribus sublatis, VIIII unciis constat
16
.
Nove dodicesimi dell'asse, cioè l'asse con tolte tre once, si chiama dodrante, perché di ottiene
sottraendo dall'asse un quadrante.
Dextans vel decunx dicitur quod X unciis stet vel constet
17
.
Dieci dodicesimi dell'asse si chiama destante perché è formato da dieci once e quindi si ottiene
sottraendo dall'asse un sestante.
Deunx dicitur quod uncia minuitur; nam ab asse uncia separatur
18
.
Undici dodicesimi dell'asse si chiama deoncia perché di ottiene sottraendo dall'asse un'oncia.
Sescuncia dicitur quasi uncia et semuncia
19
.
A queste frazioni veniva aggiunta anche la sesconcia, che corrisponde a un'oncia e mezzo ed è
quindi un ottavo dell'asse.
Nella tabella successiva sono indicate le principali proprietà delle once e i loro simboli. In
particolare nella seconda e terza colonna si trovano alcuni dei simboli risalenti all'epoca romana,
mentre nella quarta colonna compaiono quelli utilizzati in epoca medioevale.
Osservazione
Il simbolo del semiasse compare all'interno di quello del sesterzio romano: HS (abbreviazione di
IIS). Infatti un sesterzio (semistertius
20
) inizialmente corripondeva a IIS = 2 + 6/12 = 2 assi e
mezzo.
11 Ivi, p. 388. “Si chiama triente la terza parte dell'asse; infatti è formata da quattro once.”
12 Ivi, p. 388. “Si chiama quinconce perché è formato da cinque once.”
13 Ivi, p. 388. “La metà dell'asse si chiama semiasse; infatti è formato da sei once.”
14 Ivi, p. 388. “Si chiama settonce perché è formato da sette once.”
15 Ivi, p. 387. “Si chiama bisse il doppio del triente, [l'asse] tolto un triente; infatti è formato da otto once.”
16 Ivi, p. 387. “Si chiama dodrante [l'asse con] sottratto un quadrante. Infatti, tolte tre [once dall'asse], è formato da
nove once.”
17 Ivi, p. 387. “Si chiama destante o deconce perché è composto e formato da dieci once.
18 Ivi, p. 387. “Si chiama deoncia [l'asse con] sottratto un'oncia; infatti un'oncia lo separa dall'asse.”
19 Ivi, p. 387. “Si chiama sesconcia la somma di un'oncia e una semioncia”.
20 “un semiasse nel terzo [asse]”
3
asse oncia scrupolo chalco
Asse
1 12 288 2304
Deoncia
11/12 ; 1/2 +1/3 + 1/12 11 264 2112
Destante
10/12; 1/2 + 1/3 10 240 1920
Dodrante
9 /12; 1/2 + 1/4 9 216 1728
Bisse
8/12; 1/2+ 1/6 8 192 1536
Settonce
7/12; 1/3 + 1/4 7 168 1344
Semiasse
6/12; 1/2 6 144 1152
Quinconce
5/12; 1/4+ 1/6 5 120 960
Triente
4/12; 1/3 4 96 768
Quadrante
3/12; 1/4 3 72 576
Sestante
2/12; 1/6 2 48 384
Sesconcia
1/12 + 1/24; 1/8 1+ metà 36 288
Oncia
1/12 1 24 192
Tavola 1
LE MINUZIE
Unciae medietas semuncia dicitur, tertia duella, quarta sicilicus, sexta sextula, octava dragma,
duodecima dimitia sextula, vigesima quarta scripulus, quadragesima octava obolus, nonagesima
sexta cerates, centesima novagesima secunda calcus
21
.
21 Abacista anonimo, De minutiis, p. 235. La metà dell'oncia si chiama semioncia, la terza parte duella, la quarta
sicilico, la sesta sestula, l'ottava dramma, la dodicesima metà della sestula [emisecla N.d.T], la ventiquattresima
4
All'interno delle frazioni romane, un'oncia veniva suddivisa in ulteriori parti uguali. Ognuna delle
frazioni così generate aveva un proprio simbolo e un proprio nome, che vengono presentati nella
tabella sottostante, insieme alle loro principali equivalenze. Vengono indicate, tra parentesi, anche
due frazioni che compaiono raramente, bissiliqua e tremisse.
asse oncia scrupolo chalco
Semioncia 1/24 metà 12 96
Duella 1/36 un terzo 8 64
Sicilico/siclo 1/48
un quarto
6 48
Sestula 1/72 un sesto 4 32
Dramma 1/96 un ottavo 3 24
Emisescla 1/144 12
a
parte 2 16
(Tremisse 1/216 18
a
parte 1 + 1/3 10 +2/3)
Scrupolo 1/288 24
a
parte 1 8
Obolo 1/576 48
a
parte metà 4
(Bissiliqua 1/864 72
a
parte un terzo 2 + 2/3)
Cerate 1/1152 96
a
parte un quarto 2
Siliqua
22
1/1728 144
a
parte un sesto 1+1/3
Chalco 1/2304 192
a
parte un ottavo 1
Tavola 2
scrupolo, la quarantottesima obolo, la novantaseisima cerate, la centonovantaduesima chalco.”
22 La siliqua era una moneta romana coniata per la prima volta da Costantino nell'anno 323, il cui peso era 1/6 di
quello dello scrupolo. La frazione corripondente venne poi aggiunta a quelle utilizzate in precedenza.
5
ALCUNE OSSERVAZIONI PRELIMINARI
Le once e le minuzie corrispondono a particolari frazioni unitarie, quelle del tipo 1/n con n
appartenente all'insieme{2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36, 48, 72, 96, 144, 288, 576, 1152, 1728, 2304}. I
denominatori sono quindi del tipo 2
n
× 3
m
e, in particolare, fra essi compaiono 12, 12
2
e 12
3
,
rispettivamente nell'oncia, nell'emisescla e nel chalco.
La minore delle frazioni romane è il chalco, ma, se necessario, per esprimere i risultati finali di
calcoli erano utilizzate anche parti intere di minuzie come, per esempio, metà del chalco, la terza
parte del chalco, o anche la terza parte del cerate (vedere a p. 9).
Addizionando in maniera opportuna due o più frazioni unitarie si possono ottenere altre frazioni
(compresi i multipli dell'oncia non riducibili ad un'unica frazione unitaria)
23
.
Di seguito vengono riportati alcuni esempi, presi quasi tutti da testi originali di epoca romana o
medievale
24
.
Parte dimitia et tertia (A) Un mezzo e un terzo 1/2 + 1/3 5/6 destante
Parte dimitia et quarta (A) Un mezzo e un quarto 1/2 +1/4 3/4 dodrante
Parte dimitia et sexta (A) Un mezzo e un sesto 1/2 + 1/6 2/3 bisse
Triententem [et] quadrantem (B) Un terzo e un quarto 1/3 + 1/4 7/12 settonce
/ / 1/4 + 1/6
1/12 + 1/3
5/12 quinconce
Parte dimitia et tertia et duodecima (A) Un mezzo e un terzo e un dodicesimo 1/2 + 1/3 + 1/12 11/12 deoncia
Uncia et semuncia (B) Un'oncia e una semioncia 1/12 + 1/24 1/8 sesconcia
Parte tertia et vigesimaquarta (A) Un terzo e un ventiquattresimo 1/3 + 1/24 3/8
Parte dimitia et quarta et octava (A) Un mezzo e un quarto e un ottavo 1/2 + 1/4 + 1/8 7/8
[Simboli] (D) Una semioncia e un sicilico 1/24 + 1/48 1/16
Parte quinta et decima (A) Un quinto e un decimo 1/5 + 1/10 3/10
25
22/7 Appross. di π
XXV et quinque septimas
26
25 e cinque settimi 25 + 5/7
Gli esempi delle ultime tre righe mostrano che venivano prese in considerazione anche parti
dell'unità che non si potevano esprimere combinando fra loro once e minuzie. In particolare il
numero 22/7 (anche nella forma 3 + 1/7) era utilizzato in epoca romana e nel Medioevo per
approssimare il valore di π.
A tale riguardo Gerberto d'Aurillac scrive:
Si pluribus in misurando partibus indiget diligens [... ] seu per minutias usitatas sive intellectuales
multimodis habere poterit
27
.
23 Particolari frazioni unitarie erano già utilizzate nell'antico Egizio, anche per scomporre frazioni proprie. Per
approfondimenti sulle frazioni egizie e sull'utilizzo delle frazioni unitarie da parte di Fibonacci vedere: GHIONE, La
disgregazione e le frazioni egizie. Scomposizione di una frazione (propria) in frazioni unitarie.
24 Esempi tratti da: (A) DE LAMA, Tavola alimentaria Velejate, pp. 41-42; (B) Bernelino, Liber abaci, (D) Vittorio
d'Aquitania, Victorii Calculus (vedere figg. 2- 3 p. 9). Per il testo del Victorii Calculus vedere nota 36.
25 “Diametrum, exempli gratia XIV, ducas vigesime bis, fient CCCVIII; sumas partem septimam, fit XLIV, quod es circulus”.
Geometria incerti auctoris in Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 356. “Moltiplica il diametro, per esempio
14, per 22, risulterà 308; prendi la settima parte, risulta 44, che è la circonferenza”.
26 Approssimazione (poco accurata) della radice quadrata di 675. Vedere Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 44.
27 Gerberto, Geometria in Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 64. “Se tu diligente, mentre misuri, hai la
necessità di diverse parti qualsiasi [cioè di frazioni qualsiasi N.d.T.], potrai adoperare diversamente sia le minuzie
usuali che quelle che sorgono alla mente”.
6
Gerberto afferma esplicitamente che in geometria si possono usare sia le frazioni romane
28
sia le
altre frazioni che “sorgono alla mente”. Queste ultime erano scritte per esteso
29
e, a differenza delle
frazioni romane, non avevano un proprio simbolo furono oggetto di studi particolari riguardo ai
calcoli aritmetici.
INTRODUZIONE AI CALCOLI CON LE FRAZIONI ROMANE
I procedimenti di calcolo con le frazioni oggi in uso, che hanno il pregio della semplicità e della
generalità, si basano sulla rappresentazione delle frazioni come rapporto fra numeratore e
denominatore
30
. Non si possono quindi applicare alle once e alle minuzie, che hanno una
rappresentazione di tutt'altro tipo.
Per operare con le frazioni romane era necessario fare ricorso a tavole di calcoli molto estese, che
consistevano in lunghi elenchi di risultati di calcoli già svolti. A queste si affiancavano anche tavole
di conversione di once e minuzie.
Non stupisce quindi che, nell'Alto Medioevo, l'apprendimento dell'aritmetica e, in particolare, delle
frazioni fosse molto difficoltoso, come testimonia, ad esempio, Sant’Aldelmo di Malmesbury (VII
sec.), riferendosi a studi compiuti in età adulta:
De ratione vero calculationis quid commemorandum, cum tantae supputationis imminens
desperatio colla mentis compresserit, ut omnes praeteritum lectionis laborem parvi penderem
[... ] Tandem superna gratia fretus difficillima rerum argumenta et calculi supputationes, quas
partes numeri appellant, lectionis instantia repperi
31
.
Su come venissero usate le tavole di calcolo sia in epoca romana che in epoca alto medievale
conosciamo pochissimo perché allora l'arte dei calcoli era trasmessa direttamente da maestro ad
allievo. Successivamente, a partire dalla fine del x secolo, i Gerbertisti scrissero dei manuali
riguardanti l'aritmetica pratica, da cui possiamo trarre molte informazioni sul loro modo di operare
con interi e con le frazioni
32
. In particolare Bernelino, allievo di Gerberto, presentò in un suo
manuale, il Liber abaci, in modo organico e completo, le conoscenze aritmetiche insegnate dal suo
maestro. Nell'introduzione della quarta parte del Liber abaci, interamente dedicata ai calcoli con le
frazioni romane, troviamo:
Nunc itaque ad unciarum minuntiarumque tractatum veniamus, in quo si quid me veritas
praeterierit minime mireris, cum [...] nullius praeter Victorii opus habeam exemplar, qui, dum
brevis studuit fieri, factus est obscurissimus
33
.
Bernellino cita l'uso delle tavole di Vittorio d'Aquitania che giudica di difficile comprensione
perché troppo sintetiche, ma che tuttavia furono usate per vari secoli.
28 Gerlando le indica come latini minucias (frazioni latine), evidentemente per distinguerle dalle altre frazioni; GER-
LANDO, Trattato sull'abaco, in Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche T X, p. 604.
29 Ad esempio, 5/7 era indicato con quinque septimae o V septimae (“ cinque settime [parti]).
30 L'introduzione nell'Occidente cristiano della rappresentazione delle frazioni mediante numeratore e denominatore
avvenne nei primi anni del XIII secolo ad opera di Fibonacci, vedere FIBONACCI, Liber abaci, capitolo quinto.
31 ALDELMO, Epistola ad Leutherium, p. 477. “Che dire della scienza del calcolo che ricordo? La disperazione quasi
raggiunta per un così grande numero di calcoli pesò sulla mia mente tanto che le precedenti fatiche di studio
sembrano insignificanti. [… ] Infine, confidando nella grazia divina e con uno studio assiduo, venni a conoscere i
più difficili dei principi naturali, quelle che si chiamano parti dei numeri [cioè frazioni N.d.T.] e i loro calcoli”.
32 Fibonacci sembra riferirsi alle loro tecniche di calcolo quando, nella parte iniziale del Liber abaci, cita “l’algoritmo
e gli archi di Pitagora”; vedere FIBONACCI, Liber abaci, capitolo primo, I.3.
33 Bernelino, Liber abaci, p. 386. “Ora quindi veniamo al trattato delle once e delle minuzie; non ti meravigliare
minimamente se in esso la verità mi sfuggirà, poiché [… ] non ho nessun esempio oltre all'opera di Vittorio che, a
causa della ricerca della brevità, è diventata pressoché incomprensibile”.
7