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Parte Sesta
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Inizia la parte sesta del settimo capitolo sulla disgregazione di più parti
[NdT]
Manca plurium nel testo latino di
Boncompagni che è invece presente nel manoscritto Conv. Sopp. C.I. 2616 in parti singole |
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pg.78 |
(VII.6.1 ; G: VII.138)
Nella prima e nella seconda parte di questo capitolo abbiamo insegnato ad aggregare le parti di diversi numeri in parti di un solo numero. In questa parte in verità insegniamo a disgregare più parti di un solo numero in parti singole, affinché tu sia capace di riconoscere meglio a proposito di un rotto di una qualunque linea [ frazione ], che parte o parti sia di un intero. In verità questo lavoro si articola in sette casi distinti. Il primo di questi è quando il numero maggiore che è sotto la linea è divisibile per il minore, cioè per quello che è sopra
[NdT]
sub nel testo è un chiaro errore
la linea. La regola di questo primo caso è che tu divida il maggiore per il minore, e avrai la parte che il minore è del maggiore. Per esempio: vogliamo sapere che parte sia di un intero
3 12 : divisi dunque i 12 per 3, risultano 4, al cui posto devi dire
1 4 , e questa è la parte di un intero corrispondente a
3 12 . Per la stessa ragione
4 20 è
1 5 di un intero,
5 100 è
1 20 ;
perché 100 diviso 5 fa 20, e lo stesso devi intendere nei casi simili.
Questo caso si divide inoltre in tre parti, la prima delle quali viene chiamata semplice, la seconda composta, la terza composta rivoltata. La semplice è quella di cui ho fatto menzione poco fa. La composta è quando la semplice viene riferita a parti [ anche ] di un altro numero, come
2 0
4 9
[NdT]
Si tratta della frazione multipla due quarti di un nono introdotta in V.3 : infatti 2 4 che è del primo tipo semplice è riferito alle parti di 9: perciò al posto di 2 0 4 9 si ha 1 0 2 9 , cioè 1 18 , e al posto di [NdT] 49 nel denominatore è un chiaro errore 2 0 6 9 si ha 1 0 3 9 e al posto di 3 0 9 10 si ha 1 0 3 10 ; poichè 3 9 è semplicemente 1 3 composto con 1 10 , farà 1 0 3 10 , e che tu intenda lo stesso nei casi simili: la prima composta rivoltata è 3 0 5 9 che viene dal 3 0 9 5 girato, che fa 1 0 3 5 : similmente devi operare con 4 0 7 8 che si rivolta in 4 0 8 7 , cioè 1 0 2 7 e da 5 0 9 10 si ha 5 0 10 9 , cioè 1 0 2 9 . |
Disgregare una frazione propria significa esprimerla come somma di frazioni unitarie
a b =
1 n1 +
1 n2 +
... +
1 nk
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Del secondo tipo
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(VII.6.2 ; G: VII.142)
I l secondo tipo è quando il numero maggiore non è divisibile; per il minore; ma dal minore possono essere fatte delle parti tali che il maggiore sia divisibile per qualunque di esse: la regola di questo tipo è che tu faccia parti del numero minore, per le quali il maggiore possa essere diviso; e si divida il maggiore per una qualunque di queste parti, e avrai ad una ad una le parti che il minore sarà del maggiore. Per esempio: vogliamo suddividere
5 6 in singole parti di un intero: poiché il 6 non è divisibile per 5,
5 6 non può essere del primo tipo: ma siccome 5 può essere diviso in due parti , cioè in 3 e in 2, e il numero maggiore, cioè il 6, si può dividere per entrambi, si può affermare che
5 6 è del secondo tipo. Per cui una volta diviso 6 per 3 e per 2, (fa 2 e 3), al posto di 2 si prenda
1 2 , e al posto del 3 si prenda
1 3 : quindi
5 6 è
1 3 e
1 2 di un intero: o altrimenti , suddiviso
5 6 in
3 6 e
2 6 , sarà ciascuna di quelle due frazioni. Dal primo tipo, cioè
3 6, si ha
1 2. E
2 6 è
1 3 di uno e
5 6 lo è di
1 3
1 2 come abbiamo detto prima. Similmente se scomporrai
7 8 in
4 8 e in
2 8 e in
1 8 , avrai
1 2 per
4 8 e
1 4 per
2 8 e
1 8 per
1 8 , cioè al posto di
7 8 avrai
1 8
1 4
1 2
[NdT]
In Fibonacci il segno più è spesso sottointeso : in verità questo secondo tipo ha una parte composta e parimenti una parte composta rivoltata: 3 0 4 10 sono della parte composta; poiché 3 4, per il secondo tipo, è 1 4 1 2 : perciò al posto di 3 0 4 10 si avranno le composte 1 0 2 10 e 1 0 4 10 , cioè 1 20 e 1 40: ugualmente al posto di 5 0 8 9 si avrà 1 0 2 9 e 1 0 8 9 , poiché 5 8 è 1 2 e 1 8: ma 5 0 8 10 , essendo del primo tipo rivoltato, non lo scomporre in 1 0 2 10 e 1 0 8 10 , poiché per il primo tipo si può rivoltare in 5 0 10 8 che è 1 0 2 8 : e ciò succede per ciò che il 5, che è sopra l’8, ha in comune col 10. La parte composta rivoltata di questo tipo, che è 3 0 5 10 , che si rivolta in 3 0 10 5 , che è 1 0 5 5 e 1 0 10 5 , cioè 1 25 e 1 50 ; perché 3 10 semplicemente si riportano a 1 5 e 1 10 : perciò 3 0 10 5 , si risolvono per la composta in 1 0 5 5 e in 1 0 5 10 : in modo simile al posto di 5 0 7 8 si avrà 5 0 8 7 ; cioè 1 0 2 7 e 1 0 8 7 ; devi operare così in casi simili. Ma poiché sappiamo che nel grande commercio sono utili più delle altre le parti del primo e del secondo tipo, ci impegniamo a mostrare in alcune tavola la suddivisione delle parti di qualche numero, impegnati a impararle a mente, perché tu capisca meglio ciò che vogliamo dire in questa parte. |
a = a1 + a2 + ... + ak
b = n1a1, b = n2a2, ... a b = 1 n1 + 1 n2 + ... + 1 nk
5 6 =
1 3 +
1 2
7 8 =
1 8 +
1 4 +
1 2
3 40 =
1 20 +
1 40
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| pg.79 |
Tavole di disgregazione
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 Disgregazione |
(VII.6.3 ; G: VII.148)
[NdT] Notiamo che la tavola non contiene le disgregazioni delle parti di 5 che rientrano nei tipi trattati nei paragrafi successivi. Infatti si ha:
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| pg.80 |
Terzo tipo di disgregazione
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(VII.6.4 ; G: VII.151)
S i ha il terzo tipo, quando aggiungendo uno al numero maggiore diventa divisibile per il minore; la regola di questo tipo è che dividi per il minore il numero maggiore più uno; quanto risulterà dalla divisione, sarà la parte di un intero minore del maggiore, e inoltre la stessa parte della parte che l’1 è del numero minore. Per esempio: vogliamo fare parti singole di
2 11 , che è di questo terzo tipo perché 1+11, cioè 12, è divisibile per 2, che è sopra la linea; poiché da questa divisione risulta 6, si ha
1 6 e in più si ha la sesta parte di 11, cioè
1 0
6 11 come parti singole di
2 11 : e con la stessa logica al posto di
3 11 avrai un quarto più
1 0
4 11 , cioè
1 4
1 44 . E per
4 11 avrai un terzo più
1 0
3 11 , cioè
1 3
1 33 . E per
6 11 avrai un mezzo più
1 0
2 11 , cioè
1 22
1 2 ; e per
5 19 avrai
1 4 e
1 0
4 19 , cioè
1 76
1 4 ; perché il 5 che è sopra il 19 è
1 4 di 20, che è 19 + 1: il terzo tipo è composto anche in doppio modo, come
2 0
3 7 , che risulta essere
1 0
2 7 e
1 0
6 7 ; poiché
2 3 è
1 6
1 2 : similmente
4 0
7 9 sono
1 0
2 9 e
1 0
14 9 : poiché
4 7 è
1 14
1 2 , e anche questo tipo si rrivolta, come
3 0
7 11 o
3 0
7 8 ; infatti
3 0
7 11 rivoltata è
3 0
11 7 , e questo
3 11 , per il terzo tipo, è sostituibile con
1 44
1 4 : perciò
3 0
11 7 è
1 0
4 7 e
1 0
44 7 : similmente
3 0
7 8 si rivoltano in
3 0
8 7 , che è un composto di due tipi diversi, cioè del secondo e del terzo.
Infatti, composto in conformità col secondo tipo è
1 1 0
8 4 7 , cioè
1 0
8 7 e
1 0
4 7 , e in conformità al terzo tipo è anche
1 1 0
24 3 7
[NdT]
la frazione 1 1 0
24 3 7
significa un settimo di un terzo più un ventiquatresimo. Vedi V.5 poiché al posto di 3 8 si ha 1 24 1 3; e questo devi intendere in casi simili. |
Terzo tipo:
b+1=n a a b = 1 n + 1 n b
2 11 = 1 6 + 1 66
5 19 = 1 76 + 1 4
2 21 = 1 7 × 2 3 = 1 14 + 1 42
3 8 = 1 3 + 1 24
3 8 = 1 8 + 1 4 |
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Sullo stesso tipo
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| (VII.6.5 ; G: VII.154) Le frazioni risultano essere inoltre di questo stesso tipo quando dal numero minore, che è sopra la linea di frazione, si possono fare due parti, per qualunque delle quali possa essere interamente diviso il numero maggiore più uno, come 8 11 e 9 11 : infatti di 8 11 possono essere fatte due parti, cioè 6 11 e 2 11 : per cui al posto di 6 11 abbiamo, secondo questa regola, due parti singole, cioè 1 22 1 2 ; e al posto di 2 11 abbiamo 1 66 1 6 : quindi per 8 11 abbiamo 1 66 1 22 1 6 1 2 ; ugualmente per 9 11 , poiché si scompone in 6 11 e in 3 11 , abbiamo 1 44 1 22 1 4 1 2 ; e al posto di 10 11 abbiamo 1 33 1 22 1 3 1 2 , poiché il 10 che è sopra l’11 è 1 3 1 2 di 12; questo 12 è uno in più dell’ 11, che si trova sotto la linea di frazione. |
8 11 = 6 11 + 2 11 =
= 1 22 + 1 2 + 1 66 + 1 6 |
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Sul quarto tipo della disgregazione
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(VII.6.6 ; G: VII.155)
I l quarto tipo si ha quando il numero maggiore è senza regola
[NdT]
Cioè è un numero primo, ipotesi per altro non necessaria , e il maggiore più uno è divisibile per il minore meno 1, come 5 11 e 7 11 : la regola di questo tipo è che tu sottragga 1 dal minore, di cui farai una singola parte di un intero, così come avrai fatto del numero che è sotto la linea; e allora ti rimarranno parti del terzo tipo: così se da 5 11 sottrarrai 1 11 , resteranno 4 11 ; al posto di questi 4 11 avrai le parti singole del terzo tipo, 1 33 1 3 ; ai quali somma l’ 1 11 scritto sopra, farà 1 33 1 11 1 3 : per lo stesso motivo al posto di 7 11 avrai 1 22 1 11 1 2 , e al posto di 3 7 avrai 1 28 1 7 1 4 , e al posto di 6 19 avrai 1 76 1 19 1 4 , e al posto di 7 29 avrai 1 1 5 29 1 5 , cioè 1 145 1 29 1 5 |
Quarto tipo:
b+1=n(a-1) a b = 1 b + 1 n + 1 n b
5 11 - 1 11 = 1 33 + 1 3
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Sul quinto tipo
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(VII.6.7 ; G: VII.157)
I l quinto tipo si ha quando il numero maggiore sarà pari e il maggiore più uno
[NdT]
duo plus maiori nel testo
è divisibile per il minore meno due, la regola di questo tipo è che tu sottragga 2 dal numero minore, questo 2 sarà del primo tipo; il risultato della sottrazione poi sarà del terzo, come
11 26 dal quale se estrarrai
2 26 che è
1 13 secondo la regola del primo tipo, rimarrà
9 26 , che è
1 0
3 26 e
1 3 cioè
1 78
1 3 , al quale aggiungi
1 13 , farà
1 78
1 13
1 3 come parti singole di
11 26 : nello stesso modo per
11 62 si avrà
1 0
7 62
1 31
1 7 .
è un chiaro errore |
Quinto tipo:
b pari e b+1=n(a-2) a b = 2 b + 1 n + 1 n b
11 26 - 2 26 = 1 78 + 1 3
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| pg.81 |
Sul sesto tipo
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| (VII.6.8 ; G: VII.158) I l sesto tipo è quando il numero maggiore si divide interamente per 3, e il maggiore più 1 si divide per il minore meno 3, come 17 27 : la regola del sesto tipo è che da queste parti estrarrai tre parti, cioè che dal minore estrarrai 3; queste tre parti saranno del primo tipo, il resto invece sarà del terzo: così se da 17 27 sottrarrai 3 27 , che sono 1 9 secondo il primo tipo, e 14 27 che per il terzo tipo sono 1 54 1 2 ; sommato a questo 1 9 scritto sopra, farà 1 54 1 9 1 2 per le parti di 17 27 . Per la stessa ragione per 20 33 avrai 1 66 1 11 1 2 |
Sesto tipo:
b=3×b’ e b+1=n(a-3) a b = 3 b + 1 n + 1 n b
17 27 - 3 27 = 14 27 = 1 2 + 1 54
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Sul settimo tipo
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 disgregazione python |
(VII.6.9 ; G: VII.159) I l settimo tipo è quando non si rientra in nessuno dei tipi scritti sopra, e questa regola è molto utile: infatti per essa le parti di qualunque tipo scritto sopra, cioè le parti del secondo, e del quarto, e del quinto, e del sesto tipo, si trovano a volte meglio che attraverso le loro regole. Quindi le parti di questi quattro tipi devono sempre essere rifatte secondo questo settimo tipo, affinché tu possa ottenere parti o più belle per le loro regole, o più raffinate per questa settima: la regola di questo tipo è che tu divida il numero maggiore per il minore; e quando questa divisione non avrà un risultato intero, considera tra quali due numeri sarà andato a finire il suo risultato, se sarà tra 3 e 4 , saprai che il numero minore è più piccolo del maggiore di 1 3 e più grande di esso di 1 4 : e se cadrà tra 4 e 5, sarà più piccolo di 1 4 e più grande di 1 5 ; e così devi ragionare su tutti e due i numeri tra i quali sarà compresa quella divisione: poi prendi la parte più grande, che il numero minore sarà del maggiore; e conserva il residuo che rimarrà: se quest’ultimo sarà di qualche tipo scritto sopra, lavoralo in quel modo; e se invece quel residuo non sarà di nessun altro tipo tra quelli scritti sopra, allora da esso prendi la parte maggiore; e farai ciò finché rimarranno parti di qualcuno dei tipi scritti sopra, o finché avrai tutte le singole parti che il numero minore sarà del maggiore. Per esempio: vogliamo avere le singole parti di 4 13 : la divisione di 13 per 4 cade tra 3 e 4; perciò 4 13 di un intero sono meno di 1 3 di un intero, e più di 1 4 : perciò sappiamo che 1 4 è la singola parte maggiore che può essere ricavata da 4 13 . In verità 13 13 fanno un intero; per cui la quarta parte di esso, cioè 1 3 4 13 è un quarto di un intero. Perciò sottrai 1 3 4 13 da 4 13 , rimarrà 3 0 4 13 , che per il secondo tipo corrispondono a 1 1 0 4 2 13, cioè 1 52 1 26 ; oppure, poiché 3 0 4 13 sono 3 52 , per il secondo tipo sono ugualmente 1 52 1 26 ; quindi al posto di 4 13 abbiamo tre singole parti, cioè 1 52 1 26 1 4 . Altrimenti puoi trovare le parti di 3 52 per mezzo di questo settimo tipo. Naturalmente comunque tu divida [ 52 ] per 3, farà 17 e qualcosa in più; perciò 1 18 è la parte maggiore che sia in 3 52 . Per cui 52 diviso per 18 farà 8 9 2; che sottratto da 3, resta 1 0 9 52 , cioè 1 468 : quindi al posto di 3 52 abbiamo 1 468 1 18 ; perciò al posto di 4 13 abbiamo 1 468 1 18 1 4 . |
Algoritmo generale di
disgregazione di a b
4 13 = 1 52 + 1 26 + 1 4
3 52 = 1 468 + 1 18
3 52 - 1 18 = 1 52 ( 3- 52 18 )
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| (VII.6.10 ; G: VII.165) Nello stesso modo farai parti singole di 9 61 ; dividi 61 per 9, farà un po’ più di 6; perciò avrai 1 7 come maggior singola parte di 9 61 : e così dividi 61 per 7, farà 5 7 8 , che sono sessantunesimi; sottraili da 9 61 , resterà 2 0 7 61 , cioè 2 427 , questo 2 427 è 1 214 più 1 0 214 427 secondo il terzo tipo. Dunque 9 61 è 1 0 214 427 1 214 1 7 di un intero, così al posto di 2 0 7 61 per il terzo tipo composto 1 0 4 61 più 1 0 28 61 : perciò al posto di 9 61 si avrà 1 1708 1 244 1 7 . |
9 61 = 1 7 + 2 7×61
2 7×61 = 1 214 + 1 214×427
2 7×61 = 1 4×61 + 1 28×61
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| pg.82 | (VII.6.11 ; G: VII.166) Parimenti vogliamo mostrare lo stesso modo di fare per 17 29 . Divisi dunque 29 per 17, fa 1 e qualcosa in più, per cui sappiamo che 17 29 è più della metà di uno intero: e bisogna notare che tre terzi, o quattro quarti, o 5 5 , o 6 6 fanno un intero: similmente 29 29 fanno un intero; se di questo se ne prende la metà, ossia 1 14 2 29 e lo sottrarremo da 17 29 , resterà 1 2 2 29 , cioè 5 58 : perciò 17 29 sono 5 58 1 2 , del quale 5 58 occorre fare parti singole, s’intende con questo stesso tipo: perciò dividi 58 per 5, farà un po’ più di 11. Da qui si capisce che 1 12 è la maggiore parte singola che sia in 5 58 : per cui si prenda 1 12 di 58 58 , cioè dell’intero, farà 5 4 6 58 la cui differenza con 5 58 è 1 0 6 58 , cioè 1 348 e così avrai al posto di 17 29 tre parti singole , cioè 1 348 1 12 1 2 . |
17 29 = 1 348 + 1 12 + 1 2
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Regola universale nella disgregazione delle parti dei numeri
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| (VII.6.12 ; G: VII.168) E bbene in casi simili c’è una sorta di altra regola universale, cioè trova un numero, che abbia in sé molte regole [ divisori ], come 12, o 24, o 36, o 48, o 60, o qualunque altro numero che sia maggiore della metà del numero che sta sotto la linea di frazione, o minore del doppio di esso: così al posto di il 17 29 scritto sopra prendiamo 24, che è più della metà di 29; e moltiplica quindi 17, che è sopra la linea, per 24, farà 408; dividilo per 29 e per 24, farà 2 14 29 24 : poi scopri che parte è il 14 del 24: è infatti 1 4 1 3 o 1 12 1 2 che conservi come parti di 17 29 ; poi scopri ancora riguardo al 2 che è sopra il 29, che parte è di 24: ebbene è 1 12 di esso, per cui avrai 1 0 12 29 come stesse parti di 17 29 ; poiché 2 29 di 1 24 è uguale a 2 24 di 1 29 , che è 1 0 12 29 , cioè 1 348 : quindi al posto di 17 29 avrai 1 348 1 4 1 3 , o 1 348 1 12 1 2 , come abbiamo trovato più sopra. |
n=12, 24, 36, 60, ...
a b = a×n b×n = = r q b n = q n + r b×n
17 29 = 17×24 29×24 =
= 2 14 19 24 = 14 24 + 2 29×24 |
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| (VII.6.13 ; G: VII.170) Ugualmente se moltiplicherai il 17, che è sopra il 29, per 36, così come lo hai moltiplicato per 24, e lo dividerai in modo simile per 29 e per 36, farà 3 21 29 36 , questo 21 36 è uguale a 1 4 1 3 ; o a 1 12 1 2 di 36, e il 3 che è sopra il 29, è 1 12 di 36: ed essendo il 3 sopra il 29, farà 1 0 29 12 , cioè 1 348 , e così avrai ancora come parti singole per 17 29 1 348 1 4 1 3 , o 1 348 1 12 1 2 . E se vuoi sapere perché abbiamo moltiplicato per 24 quel 17, che sta sopra il 29, e abbiamo diviso il totale per 29, sappi che di 17 29 abbiamo fatto 1 24 , perché 24 è un numero composto da molti numeri, per cui le sue parti stanno tra il primo e il secondo tipo. Infatti 17 29 , come si è trovato sopra, è 2 14 29 24 ; da 14 24 , che è all’inizio della linea di frazione si ha, per il secondo tipo, 1 4 1 3 , o 1 12 1 2 : e al posto di 2 0 29 24 , che resta, si ha per il primo tipo rivoltato 2 0 24 29 , cioè 1 0 12 29 . Similmente poiché hai moltiplicato 17 per 36 e hai diviso per 29, allora del 17 29 ne hai fatto trentaseiesimi. Infatti 29 29 è uguale a 36 36 : per cui la proporzione che c’è tra 29 e 36, è la stessa proporzione che ci sarà tra 17 e il quarto numero: perciò abbiamo moltiplicato il terzo numero, cioè 17, per il secondo, cioè per 36, e avviamo diviso il totale per il primo; perché essendo i quattro numeri proporzionali, la moltiplicazione del secondo per il terzo è uguale alla moltiplicazione del primo per il quarto, come è dimostrato da Euclide. |
17×36 29×36 = 3 21
29 36
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| (VII.6.14 ; G: VII.173) Ugualmente se vuoi suddividere 19 53 in parti singole, sebbene sia del quarto tipo essendo 53 più uno divisibile per 19 meno uno, (per cui al posto di 19 53 otterrai 1 159 1 53 1 3 ), in verità mostriamo come deve essere fatto per la settima regola: infatti [ il risultato della ] la divisione di 53 per 19 sta tra 2 e 3: per cui abbiamo 1 3 come la maggiore parte singola, che può essere ricavata da 19 53 ; e sottrai un terzo di 53, cioè 2 3 17 da 19, resterà 1 3 1, cioè 1 3 1 53 : quindi le parti singole di 19 53 sono 1 159 1 53 1 3 , come abbiamo trovato con la regola del quarto tipo. |
19 53 = 1 159 + 1 53 + 1 3
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(VII.6.15 ; G: VII.174) I nvero con questa regola non si possono trovare così facilmente le parti singole di 20 53 . Perciò le troverai con un’altra regola, cioè moltiplicando 20 per un numero che abbia molte regole [ molte possibilità di scomposizione ], come abbiamo detto prima: moltiplicato dunque 20 per 48, e diviso per 53 e per 48, risulta 6 18 53 48 ; questo 18 è 1 8 1 4 di 48, o 1 24 1 3 e 6, che sta sopra il 53, è 1 8 di 48: per questo avremo 1 0 8 53 ; poiché lo stesso 6 sta sopra il 53: dunque come parti singole di 20 53 hai 1 0 8 53 1 8 1 4 oppure 1 0 8 53 1 24 1 3 ; e impegnati a procedere così in tutti i casi simili: e nel caso che tu non possa avere congrue parti singole per mezzo di una di queste regole prescritte, impegnati a trovarle per mezzo di qualcuna delle altre: e devi fare attenzione, perché ci sono molti fratti che si devono sistemare prima che siano suddivisi in parti singole, quando cioè il numero maggiore non sia diviso dal minore, ed abbia a propria volta una qualche regola in comune come 6 9 , del quale ciascuno dei numeri si divide interamente per 3: perciò dividili entrambi per 3, farà 2 sopra la linea, e 3 sotto la stessa, cioè 2 3 , che è del terzo tipo, poiché uno più 1 2 si divide per 2; perciò si ha 1 6 1 2 , similmente vale per 6 8 ; i cui numeri si dividono entrambi per 2. Per cui si riduce a 3 4 , e sono 1 4 1 2 per il secondo tipo; e così ragiona per i casi simili. E se sotto la linea di frazione ci fossero molti fratti, occorre che si riducano a un solo fratto sotto la linea, come 1 3 2 8 , che sono 7 16 . E si riducono in questo modo: si moltiplica il 3 che è sopra l’8 per 2, e si somma 1: poniamolo, e così abbiamo 7: e moltiplicherai 2 per 8, che è sotto la linea, fa 16; poniamo questo 16 sotto la linea, e sopra di essa poniamo il 7. |
20×48 53×48 = 6 18
53 48
18 48 = 12+6 48 = 1 4 + 1 8
20 53 = 1 424 + 1 8 + 1 4
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| (VII.6.16 ; G: VII.178) Ancora, 2 3 4 3 5 9 è 71 135 che si trovano secondo il modo scritto sopra, cioè moltiplicando il 4 che è sopra il 9 per 5, e sommando il 3; e poi moltiplicando per 3 e sommando 2, e così abbiamo 71 sopra la linea; e dalla moltiplicazione di 3 per 5 e poi per il 9, abbiamo 135 sotto la linea, questo 71 135 si suddivide secondo la settima regola in 1 270 1 45 1 2 . |
71 135 = 1 270 + 1 45 + 1 2
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| (VII.6.17 ; G: VII.179) E devi fare attenzione, perché quando con la settima regola prendendo la parte maggiore, tra quelle per cui il numero minore è parte del maggiore, e tralasciando le parti singole rimaste, succederà qualcosa di un po’ meno bello: [ allora ] tralascerai quella parte maggiore e opererai con l’altra parte seguente, quella minore: così se la parte maggiore fosse 1 5 , opererai con la sesta: e se fosse 1 7 , opererai con 1 8 . Per esempio: in 4 49 la parte maggiore è 1 13 ; sottrattala da 4 49 resta 3 0 13 49 , cioè 3 637 , che per il quarto tipo risulta essere [NdT] 0 219 è un chiaro errore, anche dopo. 1 0 319 637 1 637 : quindi al posto di 4 49 abbiamo 1 0 319 637 1 637 1 13 , che è un po’ meno bello: perciò tralascia 1 13 , e lavora con 1 14 : se lo sottrai da 4 49 resta 1 0 2 49 , cioè 1 98 ; e così al posto di 4 49 avremo 1 98 1 14 che sono parti più belle delle parti già fatte; e si possono trovare in un altro modo: cioè dividendo il 4 che è sopra il 49 per la regola di 49, farà 4 0 7 7 , che per il terzo tipo composto è 1 0 14 7 1 0 2 7 ; infatti 1 0 2 7 è 1 14 e 1 0 14 7 è 1 98 , e così al posto di 4 49 abbiamo in modo simile 1 98 1 14 . |
4 49 = 1 637×319 + 1 637 + 1 13
4 49 = 1 98 + 1 14
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Termina la sesta parte del settimo capitolo.
Termina il settimo capitolo.
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