LA DIMOSTRAZIONE DI LEONARDO DELLA SOMMA
DI
N
NUMERI QUADRATI
Marcello Ciccarelli
Liber Quadratorum
La dimostrazione
Suggerimenti didattici
Liber Quadratorum
Al termine del cap. XII.1.5 di
Liber abaci
, Leonardo Pisano rinvia al “
libro che ho
composto sui quadrati
”, per la dimostrazione geometrica della formula della somma
dei quadrati, che presenta in questo modo
Se poi vuoi avere la somma dei quadrati di tutti i numeri
che vanno in ordine dal quadrato dell’unità, cioè da uno fino al quadrato
di un altro numero come, diciamo, fino al quadrato di 10, il cui
quadrato è 100; poni da parte il 10, e davanti ad esso poni il numero
seguente, cioè 11; e poni sotto di essi la loro somma, cioè 21: e moltiplica
10 per 11; e per 21, e dividi il totale per 6,
formula che con un simbolismo moderno si può scrivere, per un generico n, in
questo modo
Nota. Leonardo enuncia la formula non considerando un generico
n
ma un numero
esplicito (diciamo 10) e verifica che 10•11•21 = 6(1
2
+2
2
+3
2
+…+10
2
). Ritorneremo
sulla questione.
Il libro al quale si riferisce è
Liber quadratorum
,
del quale si è accennato nella
scheda dedicata alla biografia di Fibonacci. Questo testo è stato scritto in una data
collocabile tra il 1220 e il 1230, decennio nel quale Leonardo cambia interlocutori.
Non più la
gens latina
a cui si rivolge con
Liber abaci
per introdurla ad una più
aggiornata arte del calcolo e della misura, bensì i dotti della corte imperiale e della
curia papale, il fior fiore del sapere del periodo. Forse per guadagnarne il consenso
ed entrare anche lui a corte. È a loro e all’imperatore che sono dedicati le produzioni
di questo periodo e del decennio successivo (che sono anche le ultime, per quanto
se ne sa finora):
Practica
a maestro Domenico;
Liber Quadratorum
all’imperatore;
Flos
al cardinale Capocci
; L’epistola a Maestro
T
eodoro.
Una nuova edizione
di Liber
abaci
a Michele Scotto
.
Forse c’è un’altra pubblicazione in questo periodo
:
il
Commento al X libro degli Elementi di Euclide
, che menziona nel
Flos:
Sul che meditando, pensai che la soluzione di questo problema potesse
venire da quanto è contenuto nel decimo libro [degli Elementi] di
Euclide; e per questo motivo studiai più accuratamente questo decimo
libro... E poiché il decimo libro è più difficile dei precedenti e di alcuni
dei seguenti, cominciai a glossarlo, riducendo la sua comprensione ai
numeri, laddove in esso si dimostra con linee e superfici
1
Il cambio di interlocutori e di tipo di studi lascia presumere che Leonardo abbia
soggiornato, prima e dopo la preparazione del
Practica
, per lunghi periodi a
Palermo. Fra l’altro sembra accertato che abbia letto Euclide in lingua originale
2
. E
1
E. Picutti, Il Flos, ed. Olschki, pag. 299
2
Menso Folkerts Leonardo Fibonacci's knowledge of Euclid's Elements.
solo Palermo sembra offrire all'epoca una simile opportunità per la presenza in città
di molti intellettuali greci. Un altro luogo dove poter leggere Euclide in greco, poteva
essere all'epoca Costantinopoli, ma non si hanno notizie di un eventuale suo
soggiorno lì.
Leonardo si applica dunque ad uno studio approfondito. Probabilmente sotto la
guida di un maestro (Domenicus Hispanus?) e in un ambiente stimolante quale la
corte di Federico II, che riunisce dotti provenienti da ogni luogo. Il re di Sicilia e
imperatore del sacro Romano Impero, seguendo la tradizione dei re normanni, ama
circondarsi di una corte cosmopolita di intellettuali. Gli stessi “cognomi” di alcuni
(
Hispanus, Scottus, Panorminatus, Antioc
) stanno ad indicare come il sovrano
accolga il sapere a prescindere da fede e provenienza. Una corte che annovera come
gemma preziosa Michele Scotto
3
, al quale Leonardo dedica la seconda edizione del
1228 di
Liber abaci
. Un personaggio ancora famoso un secolo dopo, tanto da essere
menzionato da Dante e da Boccaccio, anche se i due, nel citarlo, riducono il suo
sapere a quello di un indovino
4
(era in effetti, tra le altre cose, anche l’astrologo di
corte).
È in questo ambiente ricco di sollecitazioni che Leonardo rivolge la sua attenzione
ad argomenti oggetto di ricerca matematica. Risultato di questo interesse sono le
produzioni citate: brevi testi nei quali descrive di come ha affrontato i quesiti
proposti da Giovanni Palermitano, il matematico di corte.
Quando il maestro Domenico mi condusse per presentarmi ai piedi della
vostra Altezza, principe gloriosissimo signore Federico, il presente
maestro Giovanni di Palermo mi propose il seguente problema, non
meno pertinente alla geometria che al numero: trovare un numero
quadrato tale che aggiungendogli o togliendogli cinque resti sempre un
numero quadrato
5
.
3
Michele Scotto (1175-1232) fece conoscere al mondo latino il lavoro di Averroè (1126-1198), il
filosofo islamico che “
il gran comento feo” come ebbe a ricordare Dante nel IV canto. Il
commento è quello delle opere di Aristotele.
4
«
Quell'altro che ne' fianchi è così poco,
Michele Scotto fu, che veramente
de le magiche frode seppe 'l gioco
.» (Canto XX, nella bolgia degli indovini)
«
Dovete adunque, - disse Bruno - maestro mio dolciato, sapere che egli non è ancora guari che in
questa città fu gran maestro in nigromantia, il quale ebbe nome Michele Scotto, per ciò che di Scozia
era, …
» (IX novella dell’VIII giornata)
5
Tutte le citazioni in italiano volgare sono tratte dalla traduzione, forse databile 1464, di
Maestro Benedetto da Firenze del testo in latino, in
Il libro dei quadrati di Leonardo Pisano
di E.
Picutti, ed. Olschki. Questa a pag, 283