Dei due uomini che avevano delle mele (XII.7.62)
Franco Ghione
!"##$%$&'()Di due uomini, uno aveva 10 mele, l’altro 30; ed essendo entrambi al mercato, ciascuno vendette non so
quante delle proprie mele, ma il loro prezzo fu lo stesso. E giunti in un altro mercato vendettero il resto sempre allo
stesso prezzo; e ciò che ottenne il primo dalle sue 10 mele fu tanto quanto ottenne il secondo [delle sue 30]: si chiede il
prezzo di una mela in ciascun mercato, e anche quante mele furono vendute in ogni mercato.
Si tratta di un problema altamente indeterminato che descrive un contesto preciso all’interno del
quale sono possibili diverse scelte ugualmente coerenti e compatibili coi dati del problema.
Ci sono due uomini che vogliono vendere delle mele in due diversi mercati. Nel primo il prezzo
delle mele è di a denari a mela nel secondo di b denari a mela. Il primo uomo possiede X mele e il
secondo Y mele. Possiamo ordinare i due uomini supponendo che il primo uomo sia quello che ha
meno mele (cioè X ≤ Y).
Indichiamo con x
1
il numero di mele che il primo uomo vende nel primo mercato e con x
2
il numero
di quelle che vende nel secondo mercato:
X = x
1
+ x
2
Analogamente indichiamo con y
1
il numero di mele che il secondo uomo vende nel primo mercato e
con y
2
il numero di quelle che vende nel secondo mercato:
Y = y
1
+ y
2
La natura del problema ci dice che questi numeri debbono essere dei numeri interi e positivi.
Il guadagno che si ottiene dalla vendita sarà per i due uomini rispettivamente:
T
I
= a x
1
+ b x
2
, T
II
= a y
1
+ b y
2 .
Il primo problema che pone Fibonacci in questo contesto, cioè dati X e Y, è quello di calcolare a ,
b , x
1
, x
2
, y
1
, y
2
sapendo che i due uomini, alla fine delle due vendite, hanno guadagnato gli
stessi denari, cioè che
T= a x
1
+ b x
2
= a y
1
+ b y
2 .
E’ ovvio che, essendoci 6 incognite e una equazione, vi saranno diverse possibilità di scelta e anche
la possibilità che il problema non abbia alcuna soluzione. La cosa è più interessante e strana se Y è
molto più grande di X.
Una prima osservazione è che Y > X non può essere a=b perché in quel caso sicuramente il secondo
uomo guadagnerebbe più del primo.
Il primo caso che propone Fibonacci è se X=10 e Y=30, in questo caso le equazioni diventano 3 e le
incognite 4.
Ecco il primo ragionamento: dividiamo 10 in due parti x
1
e x
2
in modo che 30 - x
1
sia divisibile
per x
2
cioè che
30 - x
1
= q x
2
e q >1 ;
in questo caso prendendo a = 1 e b = q otteniamo
1×30+0×b=1× x
1
+ b× x
2
;
e quindi avremmo trovato una soluzione:
(x
1
, x
2
) e (y
1
, y
2
) = (30,0)
Per trovare i numeri che cerchiamo dobbiamo fare varie prove dividendo 10 in due parti:
• per 10 =1+9 allora 30-1 = 29 non è divisibile per 9 e quindi non va bene,
• per 10 =2+8 allora 30-2 = 28 non è divisibile per 8 e quindi non va bene,
• per 10 =3+7 allora 30-3 = 27 non è divisibile per 7 e quindi non va bene,
• per 10 =4+6 allora 30-4 = 26 non è divisibile per 6 e quindi non va bene,
• per 10 =5+5 allora 30-5 = 25 e 25=5×5 quindi va bene e risulta b=5,
• per 10=6+4 allora 30-6=24 e 24=6×4 quindi va bene e risulta b=6,
• per 10=7+3 allora 30-7=23 non è divisibile per 3 e quindi non va bene
• per 10=8+2 allora 30-8=22 e 22=11×2 quindi va bene e risulta b=11,
Abbiamo trovato 3 soluzioni
I) a =1, b=5 , 30 = x
1
+ 5 x
2
, (x
1
, x
2
) = (5,5) , (y
1
, y
2
) = (30,0)
II) a =1, b=6 , 30 = x
1
+ 6 x
2
, (x
1
, x
2
) = (6,4) , (y
1
, y
2
) = (30,0)
III) a =1, b=11 , 30 = x
1
+11 x
2
, (x
1
, x
2
) = (8,2) , (y
1
, y
2
) = (30,0)
Fibonacci sceglie la seconda ma vuole vedere come si possa trovare altre soluzioni che
comprendano per il secondo uomo anche la vendita nel secondo mercato. Seguiamo il suo
ragionamento nel caso a=1, b=6.
Se il secondo uomo vende 1 mela nel secondo mercato e 29 nel primo il suo guadagno è 35 denari
allora il primo per ottenere la stessa somma deve levare una mela dal I mercato e venderne una in
più nel secondo cioè da
(6,4) e (30,0) con guadagno per entrambi T = 30 denari
si passa a
(5,5) e (29,1) con guadagno per entrambi T= 35 denari
da questo a
(4,6) e (28,2) con guadagno per entrambi di 40 denari
da questo a
(3,7) e (27,3) con guadagno per entrambi di 45 denari
da questo a
(2,8) e (26,4) con guadagno per entrambi di 50 denari
da questo a
(1,9) e (26,5) con guadagno per entrambi di 55 denari
L’ultima vendita è quella che produce il massimo guadagno. In definitiva con a=1 e b=6 abbiamo
trovato 5 soluzioni (considerando la prima con 0 mele nel secondo mercato impropria) e quella che
fornisce il massimo guadagno.
Osservazione:
In tutte le soluzioni, fissati a e b, x
2
- y
2
e y
1
- x
1
non cambiano da soluzione e a soluzione.
Vediamo cosa succede nel caso che i prezzi nei due mercati siano a=1, b=5. Ecco le soluzioni
per il primo uomo (5-k,5+k) e per il secondo uomo (30-k,k ) con guadagno per entrambi T= 30+4k
denari (k=1,2,3,4). Il guadagno massimo e con k=4 cioè T=46
Vediamo cosa succede nel caso che i prezzi nei due mercati siano a=1, b=11. In questo caso
abbiamo solo 7 soluzioni (8-k,2+k) e (30-k,k) , k=1,2,3,4,5,6,7. Il guadagno per entrambi è
T=30+10k e il massimo si ottiene per k=7 è di 100 denari.
Il problema diventa interessante quando i prezzi a e b nei due mercati sono fissati. Indichiamo con a
il prezzo minore cioè per precisare meglio la situazione supponiamo che il primo mercato sia
quello con i prezzi più bassi. Così facendo sarà dunque a < b. In questo caso è evidente che avendo
il secondo uomo molte più mele del primo potrebbe essere impossibile fare in modo che essi
abbiamo lo stesso guadagno.
In generale se il problema ha soluzione esistono 4 numeri interi e positivi x
1
, x
2
, y
1
, y
2
tali che:
a x
1
+ b x
2
= a y
1
+ b y
2
poiché X = x
1
+ x
2
e Y = y
1
+ y
2
otteniamo, sostituendo
a x
1
+ b (X- x
1
) = a(Y- y
2
) + b y
2
b X- (b-a)x
1
= aY +(b-a) y
2
b X- aY = (b-a)(x
1
+ y
2
)
Dunque, se il problema ha soluzione deve essere b X- aY cioè
b X > aY
Ecco come Fibonacci esprime a parole questa condizione:
!"##$%$%'( Ancora ciascuno abbia in egual misura dopo la vendita delle mele di entrambe le piazze, e sia detto i prezzi
di ciascuna piazza, o in qualche data proporzione; sappi se il problema potrà essere risolto: moltiplica il prezzo minore
per il maggior numero di mele, e il prezzo maggiore per il minor numero. E se l’ultima moltiplicazione sarà stata
maggiore della prima, allora il problema sarà risolubile.
La relazione precedente ci dice anche un’altra condizione necessaria per l’esistenza di soluzioni e,
in questo caso, come calcolarle. Il numero b X- aY deve essere divisibile per (b-a) e scomponendo
il quoziente in tutti i modi possibili come (x
1
+ y
2
) troviamo tutte le soluzioni.
Nel caso proposto da Fibonacci a=1, b=6, X= 10, Y= 30 abbiamo bX- aY = 60-30=30 che è
divisibile per 6-1=5: il risultato è 6 è abbiamo le soluzioni:
1+5=6 cioè x
1
=1 , x
2
=9 e per il secondo uomo y
1
= 25 , y
2
= 5 e così le altre 4 soluzioni
x
1
=1+k , x
2
=9-k e y
1
= 25+k , y
2
= 5-k (k=1,2,3,4).
Fibonacci nello stesso contesto pone altri problemi interessanti. E’ chiaro che fissati i prezzi nelle
due piazze i possibili guadagni sono compresi tra un massimo e un minimo. Sia A l’intero positivo
che fornisce le soluzioni x
1
+ y
2
=A
A =
bX − aY
b − a
Abbiamo A-1 soluzioni: per il primo uomo (k, X-k) e per il secondo (Y-A+k ,A-k) con k=1,2,..,A-1.
Il guadagno dalla vendita sarà T=ak+b(X-k) = bX-(b-a)k e sarà massimo per k=1 e minimo per
k=A-1 dunque
aY < T < bX
e per ogni k il guadagno diminuisce con multipli di (b-a). Se si vuole dunque ottenere il guadagno
massimo il primo uomo dovrà vendere 1 mela nel primo mercato e il secondo A-1 mele nel secondo
mercato, mentre se si vuole avere un guadagno T nell’intervallo designato si dovrà calcolare il
rispettivo valore di k più vicino al guadagno richiesto. Più in generale se si vuole avere un
guadagno T che non sia compreso nell’intervallo precedente si dovrà modificare i prezzi dei due
mercati proporzionalmente al rapporto k= T/T
0
dove T
0
è il guadagno relativo a una determinata
vendita con prezzi a e b. Con la stessa vendita si otterrà il guadagno voluto coi nuovi prezzi ka, kb.
E’ interessante vedere il problema quando i due uomini non hanno lo stesso guadagno ma, ad
esempio, il I uomo (quello con meno mele) ha un guadagno doppio del secondo uomo. Si dovrà
avere bX > 2aY.
