Uomini e sterline (XII.7.49)
Franco Ghione
!"##$%$&'()Tre uomini avevano non so quante libbre di sterline, la metà delle quali spettavano
primo, un terzo al secondo, un sesto al terzo: volendole avere in un luogo più sicuro, ciascuno di
loro ha preso una certa quantità dalle sterline stesse, e della quantità che ha preso il primo, ne mise
in comune la metà; e di quella che ha preso il secondo, ne ha messo la terza parte; e di quella che ha
preso il terzo, ne ha messo la sesta parte; e ciascuno ha avuto la terza parte di ciò che hanno messo
in comune, e così ciascuno ha avuto la sua parte.
Poniamo x
1
, x
2
, x
3
le sterline prese da ciascuno di loro, y la quantità totale di sterline e
D =
1
2
x
1
+
1
3
x
2
+
1
6
x
3
la parte complessiva di sterline messe da parte da ognuno di loro. Si deve risolvere il sistema:
1−
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x
1
+
1
3
D=
1
2
y
1−
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x
2
+
1
3
D=
1
3
y
1−
1
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x
3
+
1
3
D=
1
6
y
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
In generale il problema si pone in questo modo: vi sono n uomini che avevano y libbre di sterline
delle quali il primo ne aveva x
1
, il secondo x
2
, ... , l’ennesimo x
n
,
(1) y = x
1
+ x
2
+...+ x
n
Ognuno di loro mise da parte, in un luogo sicuro, una data frazione delle proprie sterline:
rispettivamente a
1
x
1
, a
2
x
2
, ..., a
n
x
n
(0 < a
i
< 1) la cui quantità complessiva assommava a
(2) D = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+...+ a
n
x
n
Di questa parte D ognuno ne prese rispettivamente b
1
, b
2
, ... b
n
, (0 < b
i
< 1) e
(3)
b
i
i=1
n
∑
=1!
e alla fine ebbero rispettivamente c
1
y, c
2
y, ... , c
n
y,
, (0 < c
i
< 1) e
(4)
c
i
i=1
n
∑
=1
Abbiamo allora un sistema omogeneo di n equazioni in n incognite
(1− a
i
)x
i
+ b
i
D = c
i
y
i = 1, 2,..., n
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
dove y e D sono dati da (1) e (2). Queste n equazioni sono linearmente dipendenti poiché la loro
somma è identicamente nulla. Abbiamo infatti:
x
i
− a
i
x
i
+
i=1
n
∑
i=1
n
∑
b
i
i=1
n
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
D = c
i
i=1
n
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
y
ma
e
c
i
i=1
n
∑
=1
e quindi la relazione
x
i
− a
i
x
i
+
i=1
n
∑
i=1
n
∑
D = y
è identicamente verificata per ogni scelta delle variabili x. Il sistema è dunque compatibile ha
infinite soluzioni dipendenti da un parametro libero.
Inizialmente Fibonacci risolve il sistema eliminando con metodi algebrici dalle tre equazioni una
variabile trovando i rapporti tra x
1
e x
3
e tra x
2
e x
1
. Successivamente Fibonacci presenta un
algoritmo per risolvere il problema che ora esplicitiamo in generale.
Consideriamo i due valori numerici b e c dati da
b =
a
i
b
i
1− a
i
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i=1
n
∑
e
c =
a
i
c
i
1− a
i
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i=1
n
∑
Fibonacci afferma che
(5)
x
i
=
c
i
(1+ b) − b
i
c
1− a
i
t
i = 1, 2,...n
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
è una soluzione del sistema per ogni valore di t (che Fibonacci sceglie in modo da eliminate tutti i
denominatori). Dobbiamo verificare che
(1− a
i
)x
i
= c
i
y − b
i
D
ovvero che
Calcoliamo intanto il valore di D
D = a
i
∑
c
i
(1+ b) − b
i
c
1− a
i
t = (1+ b)
a
i
c
i
1− a
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t − c
a
i
b
i
1− a
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t = (1+ b)ct − cbt = ct
inoltre
(1− a
i
)x
i
∑
= c
i
∑
(
)
(1+ b)t − b
i
∑
(
)
ct = (1+ b − c)t
ma, tenendo conto di (3) e (4), e del fatto che, come abbiamo visto sopra,
a
i
x
i
= D = ct
∑
abbiamo
y = x
i
= (1+ b)t
∑
e , sostituendo alle incognite i valori x
i
dati dalle (5), otteniamo, per ogni indice i
(1− a
i
)x
i
= c
i
(1+ b)t − b
i
ct = c
i
y − b
i
D
e quindi quei valori risolvono, per ogni t, il sistema proposto. Fibonacci, per avere soluzioni intere,
sceglie come valore t un numero che contenga tutti i denominatori delle frazioni coinvolte.
Non è chiaro come Fibonacci sia arrivato a trovare questo algoritmo. Prima di esporlo tuttavia
considera il caso semplificato (XII.7.52) in cui b
i
= c
i
per ogni i e quindi le equazioni diventano
(1− a
i
)x
i
= c
i
K = b
i
K
dove K = y-D non dipende da i. Da cui
D = a
i
x
i
= a
i
c
i
1− a
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
K
y = K + D = 1+ a
i
b
i
1− a
i
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
K
essendo b
i
= c
i
.
Vediamo ora come Fibonacci propone l’algoritmo.
Scriviamo i numeri in una tabella come segue
tc
1
c
1
tc
2
c
2
. . .
tc
n
c
n
Prima posizione
a
1
c
1
t/(1-a
1
)
a
1
1− a
1
a
2
c
2
t/(1-a
2
)
a
2
1− a
2
. . .
a
n
c
n
t/(1-a
n
)
a
n
1− a
n
Seconda posizione
tb
1
b
1
tb
2
b
2
. . .
tb
n
b
n
Terza posizione
1. Si sceglie una parametro t che comprenda (come fattori tutti i denominatori)
2. Calcola il prodotto di t c
i
e scrive il risultato in prima posizione
3. Moltiplica questi numeri per i rispettivi in seconda posizione e li somma: il risultato è
D =
a
i
c
i
1− a
i
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
i=1
n
∑
t = ct
4. Calcola il prodotto di tb
i
e scrive il risultato in terza posizione
5. Sottrae t c
i
- t b
i
e moltiplica il risultato per i rispettivi numeri in seconda posizione e somma
tutti i fattori (la somma è una somma tra numeri relativi). Il risultato è t c- t b.
6. Calcola (sempre nell’ambito dell’aritmetica dei numeri relativi) t -( t c- t b) aggiunge D= t c e
trova
y = (1+b) t
7. Calcola ora le incognite
x
i
=
c
i
1− a
i
y −
b
i
1− a
i
D
.
Fibonacci propone questo problema nei seguenti casi
1/2
1/3
1/6
1
1/2
1/5
1/3
1/3
1/3
XII.7.49
XII.7.53
1/2
1/3
1/6
1
1/2
1/5
1/2
1/3
1/6
XII.7.52
1/2
1/3
1/6
1/2
1/3
1/4
1/3
1/3
1/3
XII.7.53
1/2
1/3
1/6
1/2
1/3
1/4
1/2
1/3
1/6
XII.7.55
1/2
1/3
1/6
1/2
1/3
1/4
1/2
2/5
1/10
XII.7.56
L’ultimo esempio XII.7.57 è molto interessante perché le equazioni implicano che x
3
è negativo
1/2
2/5
1/10
1
1/2
1/5
1/3
1/3
1/3
D =
1
2
+
1
5
+
1
50
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T =
36
50
T
b =
1
3
+
1
6
+
1
15
=
17
30
e
y = 1+
17
30
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T =
47
30
T
x
1
=
1
2
1−
1
2
y −
1
3
1−
1
3
D =
47
30
−
2
3
36
50
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T =
163
150
T
x
2
=
2
5
1−
1
3
y −
1
3
1−
1
3
D =
3
5
y −
1
2
D
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
29
50
T
x
3
=
1
10
1−
1
6
y −
1
3
1−
1
6
D =
6
50
y −
2
5
D
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= −
1
10
T
In Fibonacci T=300
E’ interessante che Fibonacci interpreta concretamente il numero negativo come denari che il terzo
uomo prende dai denari che gli altri due avevano messo a disposizione quindi in D c’è anche 1/6 di
-30 e quindi questi 30 sono stati sottratti dai denari messi in comune dagli altri due soci.
Infine Fibonacci propone il problema per 4 uomini (XII.7.57) dando così l’idea che il numero di
uomini è irrilevante.
1/3
3/10
1/5
1/6
1
1/2
1/3
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
D =
1
3
+
3
20
+
1
15
+
1
24
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T =
87
120
T
b =
1
4
+
1
8
+
1
12
+
1
16
=
25
48
e
y = 1+
25
48
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T =
73
48
T