Un testamento curioso (XII.7.12)
Franco Ghione
(XII.7.12)!Un tale, in punto di morte, si raccomandò al maggiore dei figli dicendo: dividete tra voi i miei beni mobili
così: tu prendi un bisante e la settima parte dei restanti; poi disse al secondo figlio: anche tu prendi 2 bisanti, e la settima
parte dei restanti. E al terzo impose di prendere 3 bisanti e 1/7 dei restanti. E così convocò tutti i suoi figli in ordine,
dando a ciascuno un bisante in più del precedente e poi sempre 1/7 dei restanti, infine l’ultimo ha avuto il rimanente.
Insomma, succede che ciascuno di loro abbia avuto una parte dei beni del padre in maniera uguale, secondo il
procedimento predetto. Si chiede quanti erano i figli, e quanto era il suo denaro. Dunque farai così: per il settimo che si
dava a ciascuno tieni 7; sottraine 1, resta 6; e tanti erano i figli di quel tale: e 6 moltiplicato per se stesso fa 36; e tanti
furono i suoi bisanti.
In generale il problema, da un punto di vista astratto, si pone in questi termini.
È dato un numero B >0 (l’eredità da dividere), un numero 0 < a <1 (la parte che viene data a
ciascun figlio) e una progressione aritmetica p
1
, p
2
, p
3
, ...
p
k+1
– p
k
= q (k=1,2,3,...)
ecco le condizioni ricorsive che definiscono le parti che vengono via via calcolate.
B
0
= B
P
k
= p
k
+ a(B
k-1
– p
k
) (è la parte che spetta al k-esimo figlio)
B
k
= B
k-1
– P
k
(è il residuo del capitale che resta da dividere)
k= 1, 2, ...
Teorema
In queste condizioni se P
1
= P
2
allora
1)
P
1
= P
k
= q
1− a
a
per ogni k
2)
B =
1− a
a
2
q − ap
1
( )
3)
B = sP
1
con
s =
q − ap
1
aq
La dimostrazione del teorema si trova in (XII.7.16) nel caso in cui
a =
6
31
!!,!! p
1
= 2!!,!!q = 3
. Il
risultato è P = 12 1/2, B = 56 1/4 , n = 4 1/2 ottenuto con la “regola retta” ponendo B = “una cosa” .
Ecco la dimostrazione. Abbiamo in generale per k= 1, 2, ...
P
k
− P
k+1
=
!!!!!!!!!!!!!!= p
k
+ a B
k−1
− p
k
( )
( )
− p
k+1
+ a B
k
− p
k+1
( )
( )
=
!!!!!!!!!!!!!!= a B
k−1
− B
k
( )
− 1− a
( )
p
k+1
− p
k
( )
=
!!!!!!!!!!!!!!= a B
k−1
− B
k
( )
− 1− a
( )
q =
!!!!!!!!!!!!!!= aP
k
− 1− a
( )
q
quindi se P
1
= P
2
allora
P
1
= P
2
=
1− a
a
q
e in generale i P
k
sono tutti uguali. Inoltre
P
1
= p
1
+ a B − p
1
( )
= (1− a)p
1
+ aB =
1− a
a
q
quindi
B =
1− a
a
2
q − ap
1
( )
e
s =
q − ap
1
aq
Se a = m/n abbiamo
B =
1−
m
n
m
2
n
2
q −
m
n
p
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
n − m
m
2
nq − mp
1
( )
P =
n − m
m
q
e
s =
nq − mp
1
mq
Nel dare il suo algoritmo Fibonacci scrive:
nq - mp
1
= (q - p
1
) n + (n - m) p
1
e utilizza il diagramma seguente
n - m p
1
m
n
q
q-p
1
ALGORITMO
Per trovare B:
1. Si trova (q - p
1
) n + (n - m) p
1
;
2. si moltiplica per (n – m);
3. si divide per m
2
.
Per trovare s:
1. Si trova (q - p
1
) n + (n - m) p
1
;
2. si divide per mq.
Per trovare P:
1. Si moltiplica n-m per q e si divide per m
Fibonacci tratta i seguenti casi
6 1
1
7
1
0
6 3
1
7
3
0
9 1
2
11
1
0
6 2
6
31
3
1
XII.7.12
XII.7.14
XII.7.15
XII.7.16
Una variante
È dato un numero B >0 (l’eredità di dividere), un numero 0 < a <1 (la parte che viene data a ciascun
figlio) e una progressione aritmetica p
1
, p
2
, p
3
, ...
p
k+1
– p
k
= q (k=1,2,3,...)
ecco le condizioni ricorsive che definiscono le parti che vengono via via calcolate.
B
0
= B
P
k
= p
k
+ aB
k-1
(è la parte che spetta al k-esimo figlio)
B
k
= B
k-1
– P
k
(è il residuo del capitale che resta da dividere)
k= 1, 2, ...
Teorema
In queste condizioni se P
1
= P
2
allora
1)
P
1
= P
k
=
q
a
per ogni k=1,2 ...
2)
B =
q − ap
1
a
2
3)
B = sP
1
con
s =
q − ap
1
a
La dimostrazione è molto simile alla precedente. Per ogni k=1,2,... abbiamo
P
k
− P
k+1
=
!!!!!!!!!!!!!!= p
k
+ aB
k−1
( )
− p
k+1
+ aB
k
( )
=
!!!!!!!!!!!!!!= a B
k−1
− B
k
( )
− p
k+1
− p
k
( )
=
!!!!!!!!!!!!!!= a B
k−1
− B
k
( )
− q =
!!!!!!!!!!!!!!= aP
k
− q
Quindi se P
1
= P
2
allora
P
k
=
q
a
!
non dipende da k. Inoltre
P
1
= p
1
+ aB =
q
a
!
B =
q − ap
1
a
2
s =
q − ap
1
aq
L’algoritmo di Fibonacci è molto simile al precedente. Se
a =
m
n
!
allora
P
1
=
qn
m
!
B = n
(nq − mp
1
)
m
2
= n
(q − p
1
)n + (n − m)p
1
m
2
!s =
nq − mp
1
mq
!=
(q − p
1
)n + (n − m)p
1
mq
n - m p
1
m
n
q
q-p
1
ALGORITMO
Per trovare B:
1. Si trova (q - p
1
) n + (n - m) p
1
;
2. si moltiplica per n;
3. si divide per m
2
.
Per trovare s:
1. Si trova (q - p
1
) n + (n - m) p
1
;
2. si divide per mq.
Per trovare P:
1. Si moltiplica n per q e si divide per m