L'abaco di Gerberto d'Aurillac
e il suo uso con i numeri naturali
Mariairene Guagnini
(irene.guagnini@alice.it)
L'abaco di Gerberto d'Aurillac e il suo uso con i numeri naturali
Mariairene Guagnini (irene.guagnini@alice.it)
Gerberto d'Aurillac viene ricordato nella storia della matematica come colui che “fu forse il primo
in Europa a insegnare l'uso delle cifre indo-arabiche”
1
, con l'ausilio di un nuovo tipo di abaco. In
questa relazione, dopo aver dato alcune sommarie informazioni sulla vita e sugli studi di Gerberto,
si illustrerà la struttura di tale abaco e il modo in cui veniva usato per eseguire le operazioni con i
numeri naturali. Ogni parte sarà preceduta da un breve testo scritto da Gerberto o da uno dei suoi
allievi. Se non interessano, questi testi possono essere saltati, senza pregiudizio per la lettura della
parte matematica seguente. Consiglio comunque di provare a guardarli: è interessante e utile vedere
direttamente dai protagonisti come nacquero e vennero trasmessi i concetti matematici.
Gerberto (940 circa 1003), entrò molto giovane, come oblato, nel convento di Aurillac, dove
iniziò gli studi di base e delle materie del trivio. Nel 967 venne mandato in Catalogna e studiò il
quadrivio (aritmetica, geometria, astronomia, musica) ed entrò in contatto con la scienza araba. Nel
970, a Roma, stupì il papa Giovanni XIII e l'imperatore Ottone I con la sua cultura, ma preferì
tornare in Francia per proseguire gli studi e insegnò per vari anni logica e scienze alla scuola di
Reims. Nel 981 prevalse in un dibattito a Ravenna, alla presenza di Ottone II e venne poi nominato
abate del monastero di Bobbio, allora sede di una importante e ricca biblioteca. Pur mantenendo la
carica di abate di Bobbio, ritornò dopo poco tempo a Reims dove rimase coinvolto in varie lotte
religiose e politiche. Nel 996 incontrò a Roma il giovane imperatore Ottone III, che lo volle come
proprio istitutore. Fu poi nominato arcivescovo di Ravenna e infine, nel 999, divenne papa
assumendo il nome di Silvestro II. Dopo la sua morte, avvenuta a Roma nel maggio 1003, fu
sepolto nella basilica di S. Giovanni in Laterano.
Gerberto d'Aurillac mostrò sempre un grande interesse per gli studi di numerose discipline;
notevole per i tempi fu la sua ricerca continua e mirata di nuovi manoscritti da esaminare. Un altro
suo interesse fu l'insegnamento, come testimoniano anche varie lettere, indirizzate a suoi studenti
per rispondere ai loro dubbi, e l'uso a fini didattici di strumenti come l'abaco (che serviva non solo
per l'aritmetica, ma anche per disegnare figure geometriche), l'astrolabio (per lo studio
dell'astronomia) e il monocordo (per la musica).
I suoi studi gli diedero onori e fama, ma le conoscenze scientifiche da lui trasmesse (compreso
l'uso dell'abaco), probabilmente troppo avanzate per i tempi, vennero considerate diaboliche e
quindi usate per screditarlo.
LA SCRITTURA DEI NUMERI
Esaminando i numerosi scritti di Gerberto, anche i suoi trattati scientifici e le lettere ai suoi
discepoli, troviamo che i numeri sono sempre scritti con la notazione romana (*) e che non compare
mai alcun cenno esplicito alla notazione posizionale decimale. La novità apportata da Gerberto fu il
modo di rappresentare i numeri sull'abaco.
(*) Spesso troviamo IIII al posto di IV, CCCC al posto di CD ecc.
1 BOYER, Carl, Storia della Matematica, Oscar studio Mondadori, Milano 1980, p. 292
1
L'ABACO
Gerberto che citò varie volte l'abaco nei suoi scritti, senza tuttavia darne una descrizione.
Troviamo informazioni sull'abaco in scritti di altri autori, per esempio in un testo di Richer, un
allievo di Gerberto.
Abacum id est tabulam dimensionibus aptam opere scutari effecit. Cujus longitudini,
in XVII partibus diductæ, novem numero notas omnem numerum significantes
disposuit. Ad quarum etiam similitudinem, mille corneos effecit caracteres, qui per XVII
abaci partes mutuati, cujusque numeri multiplicationem sive divisionem designarent;
tanto compendio numerorum multitudinem dividentes vel multiplicantes, ut præ nimia
numerositate potius intelligi quam verbis valerent ostendi.
2
L'abaco era quindi una tavola, divisa in 27 colonne, su cui tutti numeri naturali (tranne lo
zero) venivano rappresentati usando solo nove simboli, secondo la posizione di questi simboli.
Questa fu la novità apportata da Gerberto: gli abachi a colonne esistevano anche in precedenza, ma
in essi i numeri nelle colonne erano rappresentati con un adeguato numero di oggetti (sassolini,
bastoncini… ). Per esempio per indicare il numero 2019 si sarebbero messi 9 sassolini nella colonna
dell'unità, 1 sassolino in quello delle decine, nessun sassolino nella colonna delle centinaia e 2
sassolini nella colonna delle migliaia. Nel nuovo abaco invece si usavano tre gettoni, uno recante il
simbolo del nove nella colonna delle unità, e due recanti rispettivamente i simboli dell'uno e del due
nelle colonne della decina e delle migliaia. Mancava un simbolo per lo zero, ma questo non
creava problemi perché basta lasciare al suo posto nella colonna dell'abaco uno spazio vuoto.
Gerberto fece costruire mille gettoni recanti ognuno uno dei nove simboli. Utilizzando questi
gettoni si potevano rappresentare i numeri ed eseguire rapidamente le operazioni di divisione e di
moltiplicazione.
Non sappiamo con sicurezza quali simboli venissero usati per indicare le varie cifre, ma è
probabile che fossero simili a quelli sottostanti.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nella prima riga i simboli presenti nel Liber abaci di Bernelino (allievo di Gerberto)
3
;
nella seconda i simboli presenti in un Trattato dell'abaco scritto intorno all'anno 1200.
A volte nell'eseguire i calcoli i gettoni venivano per errore ruotati e da questi “errori” sono poi nati i
simboli che ancora usiamo
4
.
2 RICHER DE REIMS, Richeri Historiarum libri quatuor, Académie impériale de Reims ed., a cura di A. M. Poinsignon,
Reims 1855, p. 290. “[Gerberto] fece costruire da un fabbricante di scudi un abaco, cioè una tavola di dimensioni
adatte per il suo uso. Dopo una sua suddivisione in 27 parti in lunghezza, dispose su di essa nove simboli numerici,
con cui si potevano rappresentare tutti i numeri. Fece anche fare mille gettoni simili di corno che, disposti nelle 27
colonne dell'abaco, producevano la moltiplicazione e la divisione di tutti i numeri; e tanto velocemente si
moltiplicavano o dividevano numeri in gran quantità che, a causa della grande estensione dei numeri, era più facile
farsi un'idea che esprimerla a parole.”
3 M.S., Piacenza, Biblioteca e Archivio Capitolare della Basilica di S. Antonino cass. 48, fr. 22, sec. XII primo quarto.
4 Rotazione paleografica delle cifre; vedere MATERNI , Marta, Attività scientifiche di Gerberto d'Aurilliac, Archivum
2
In ogni caso questi nuovi simboli furono usati solo sui gettoni. Le colonne dell'abaco venivano
indicate con numeri romani: la fig. 1 mostra le intestazioni delle prime otto colonne
5
.
X M I M I C X I C X I
( Col. decine
di migliaia di
migliaia )
( Colonna
migliaia di
migliaia )
( Colonna
centinaia di
migliaia )
( Colonna
decine di
migliaia )
( Colonna
migliaia )
( Colonna
centinaia )
( Colonna
decine )
( Colonna
unità )
Fig.1
Analoghe le intestazioni delle restanti diciannove colonne. Osserviamo che M e I indicano entrambi
il numero mille. Ci possono essere delle variazioni in altri autori: M per le migliaia, X M per le
decine di migliaia ecc.
Fig. 2
In alcuni abachi c'erano anche tre
ulteriori colonne a destra che venivano
usate per i calcoli con le frazioni, ma
non vengono esaminate perché qui
trattiamo solo di calcoli con i numeri
naturali.
Spesso le colonne degli abachi erano
contrassegnate da archi, come nel
disegno a lato
6
. Per questo, egli scritti
dell'epoca troviamo talvolta il termine
arcus per indicare una colonna.
LA NOTAZIONE DECIMALE POSIZIONALE
In passato alcuni studiosi ritennero che i gerbertisti
7
non capissero realmente il significato delle
colonne dell'abaco e quindi della rappresentazione decimale posizionale dei numeri sull'abaco
stesso. Tuttavia negli ultimi decenni, a seguito dell'esame di vari testi, è stato espresso a riguardo un
giudizio più positivo
8
.
Vediamo cosa scrive Bernelino, un allievo di Gerberto, relativamente alle colonne dell'abaco.
Prima libri series abaci tabulam tibi ostendet. Hoc autem ideo facere proposui non
quod priscos emendare præsumam, sed qui forte hunc libellum sibi legendum
sumpserunt quid ad mediocrem intelligentiam expectare debeant in hoc reperire
Bobiense, XXIX (2007), p. 251
5 BERNELINUS, Liber abaci , in OLLERIS, Alexandre, Œuvres de Gerbert, pape sous le nom de Sylvestre II, , Thimbaud,
Clermont-F. 1867, p. 360 - 361
6 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 359
7 Così venivano chiamati coloro che usavano l'abaco di Gerberto.
8 BORZACCHINI, Luigi, Il computer di Ockham: genesi e struttura della rivoluzione scientifica, Dedalo, Bari 2010, pp.
156 -157
3
possint. Deinde apponemus ipsos caracteres et quo modo hi numeri quos digitos
vocamus se vel alios metiantur. Neque enim potest servari aliter abaci dignitas nisi
horum ad invicem dimensio plenissime sit cognita.
9
Qui l'autore spiega, nell'introduzione del suo trattato, che parlerà della struttura e dell'uso
dell'abaco e sottolinea l'importanza di conoscere il modo in cui i numeri indicati dai simboli nelle
varie colonne si rapportino fra di loro. Poi affronta l'argomento nel testo nel seguente modo.
Sicut multiplicatione primæ unitatis secunda unitas, id est denario, excrescit, sic
ejusdem secundæ unitatis multiplicatione, tertia unitas, idest centenarius, exsurgit. Et
tunc quodam modo ad primam redit unitatem, non dico re, sed caractere. Nam sicut
prima unitas notatur per elementum I, ita millenarius primus per idem I, superaddito
tantum titulo. Et sicut secunda unitas assignatur per elementum X, ita decenus millenus
per idem X, superaddito tantum titulo. Et quemadmodum tertia unitas, id est
centenarius, inscribitur per elementum C, sic centus millenus per idem C, superscripto
tantum titulo.[ ... ] Omnes abaci lineae decuplo superant aut superarantur.
10
Bernelino afferma che l'unità del secondo ordine, cioè la decina, nasce dalla moltiplicazione delle
unità (del primo ordine), mentre l'unità del terzo ordine nasce dal prodotto di quella del secondo
ordine. Spiega poi come nascono i simboli che contraddistinguono le colonne delle migliaia, delle
decine di migliaia e le migliaia di migliaia: un trattino posto sopra un simbolo moltiplica il valore
indicato da questo simbolo per 1000. Così I indica un migliaio, X una decina di migliaia ecc., come
si vede nella fig. 1. Ribadisce anche che le colonne dell'abaco sono legate da un fattore 10.
OSSERVAZIONI SULLA NOMENCLATURA DEI NUMERI
Troviamo usata dai gerbertisti una particolare nomenclatura relativa ai numeri. I termini utilizzati
sono digitus, articulus, denominatio.
Digiti sunt omnes usque ad X; decem vero articulus est, et quicumque denario vel
pluribus denariis additis numeri surgunt. Ceteri vero, sicut XI, XII, et reliqui usque ad XX,
ex digito et articulo compositi sunt, et, ut breviter dicam, ceteri omnes qui non ex
denario vel denariis denario additis consurgunt. Et notandum est quod sicut omnes
usque ad decem, digiti ad ipsum X sunt, sic X et ceteri articuli usque ad ... sunt; centum
vero et ceteri usque mille sunt digiti ad ipsum mille; et sic de qualibet inferiori unitate
usque ad proximam superiorem unitatem.
11
9 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 358. Traduzione. “Nella prima parte del libro ti presenterò la tavola dell'abaco.
Mi sono proposto di farlo non perché abbia l'ardire di correggere gli antichi, ma perché coloro che eventualmente
abbiano preso questo libro per leggerlo possano trovare in esso ciò di cui debba avere bisogno un'intelligenza media
[cioè una persona di media cultura N.d.T.]. Poi aggiungeremo i segni stessi e il modo in cui i numeri che chiamiamo
digiti si misurano fra di loro e con gli altri. Infatti non altrimenti si può salvaguardare il valore dei calcoli che se non
è nota completamente la loro misura reciproca.”
10 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 360, p.361. Traduzione. “Come la seconda unità, cioè la decina, si sviluppa
dalla moltiplicazione della prima unità, così la terza unità, cioè il centinaio, si sviluppa dalla moltiplicazione della
stessa seconda unità. E allora, in un certo qual modo, si ritorna alla prima unità, non dico realmente, ma come
simbolo. E poiché proprio come la prima unità è indicata con la lettera I, così il primo migliaio è indicato con la
stessa I, solamente con l'aggiunta di un trattino sopra. E proprio come la seconda unità è indicata con la lettera X,
così la decina di migliaia è indicata con la lettera X, soltanto con un trattino sopra. E allo stesso modo come la terza
unità, che è il centinaio, è contrassegnata dalla lettera C, così il centinaio di migliaia è contrassegnato dalla stessa C,
soltanto soprascritta con un trattino. [ ] Tutte le colonne dell'abaco superano o sono superate secondo un fattore
10”
11 Da un Trattato sull'abaco scritto all'incirca nell'anno 1200; vedere CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus, in Compte
rendu des séances de l'Académie des sciences, XVI 1843, pp. 238-239. “ Digiti sono tutti i numeri fino a 10; dieci è
un articulus e anche i numeri che si formano da una decina o più decine sommate [cioè i multipli di 10 N.d.T.]. I
restanti, cioè 11, 12 e gli altri numeri fino a 20 sono composti da un digitus e da un articulus e, in breve, anche gli
4
Il termine digitus (digiti pl.) indica i numeri da 1 a 9. Il termine articulus (articuli pl.) indica 10 e
tutti suoi multipli fino a cento. Gli altri numeri (per es. 11, 12, …) si dicono composti: per esempio
25 è un numero composto da 5 (digitus) e 2 (articulus).
L'autore spiega tuttavia che i termini digitus e articulus hanno un significato più ampio: 10 e tutti i
suoi multipli fino a 100 sono digiti rispetto a 100, mentre 100 e tutti i suoi multipli fino a 1000
sono digiti rispetto a 1000 ecc. Digitus non indica quindi sempre una unità; negli scritti dei
gerbertisti un'unità (del primo ordine) viene indicata con il termine singularis.
Vedremo più avanti come questa relazione fra digiti e articuli permise ai gerbertisti di descrivere e
di svolgere le operazioni di moltiplicazione e di divisione.
Riguardo al termine denominatio (denominationes pl.), esso viene generalmente usato nei trattati
sull'abaco per indicare il valore che contraddistingue un digitus o un articulus: la denominatio di
trenta (tre decine) è 3, di settecento (7 centinaia) è 7 ecc. In alcuni casi può indicare un quoziente
parziale nel procedimento di divisione.
I CALCOLI CON L'ABACO. OSSERVAZIONI PRELIMINARI
Il fatto che i numeri sull'abaco fossero indicati con una notazione decimale posizionale permise di
avere delle tecniche di calcolo efficaci, grazie alle quali si poteva operare rapidamente con grandi
quantità di numeri, anche molto estesi.
Poiché i valori delle unità, decine, centinaia ecc. venivano
rappresentati da simboli e non da un numero corrispondenti di
oggetti (sassolini per esempio), era necessario che gli allievi
imparassero innanzitutto a memoria i risulti dei calcoli elementari
delle quattro operazioni, cioè le tavole dell'addizione, della
moltiplicazione ecc. Ad esempio il risultato di 5 + 3 andava
conosciuto a memoria, perché non poteva essere trovato unendo 5
sassolini con 3 sassolini e contando il numero totale degli oggetti
così ottenuti. Si trovano esempi di queste tavole in vari trattati
sull'abaco; anche la cosiddetta tavola pitagorica, nonostante il nome,
è una tavola di calcolo dovuta ai gerbertisti
12
.
Per quando riguarda le tecniche di calcolo, il modo di operare con
Tabellina del 3
13
l'abaco veniva trasmesso in modo diretto da maestro ad allievo all'interno della scuola. Ci sono
pervenuti sono dei brevi testi dell'epoca relativi alle operazioni di moltiplicazione e divisione
14
.
Alcuni di questi scritti sono piuttosto sintetici e riportano solo regole pratiche, mentre altri mostrano
una maggiore attenzione per l'aspetto didattico.
Volendo presentare i procedimenti matematici a partire da testi originali, ho scelto di fare
riferimento per la moltiplicazione al Trattato di Bernelino
15
, scritto durante il papato di Gerberto
(999-1003), e per la divisione a un testo attribuito allo stesso Gerberto (scritto all'incirca nel 980)
16
.
Per completare la trattazione, ho aggiunto anche una parte relativa all'addizione, presa da un
manoscritto posteriore di vari decenni, di autore anonimo
17
e un cenno sulla sottrazione.
altri che non nascono da una o più decine sommate. E si deve osservare che come tutti i numeri fino a dieci sono dei
digiti in rapporto a dieci, allo stesso modo dieci egli altri articuli fino a cento sono digiti in rapporto a cento e cento
e le altre centinaia fino a mille sono digiti in rapporto a mille e così ogni unità inferiore in rapporto all'unità
immediatamente superiore.”
12 Vedere, per esempio, http://matematica.unibocconi.it/articoli/la-tavola-pitagorica .
13 M.S., Piacenza, Biblioteca e Archivio Capitolare della Basilica di S. Antonino cass. 48, fr. 22, sec. XII primo quarto.
14 Vedere BUBNOV, Nicolaj , Gerberti Opera Mathematica (972 – 1003) , R. Friedländer & Sohn, Berlino1899
15 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., pp. 357 - 400
16 GERBERT, Libellus de numerorum divisione, in OLLERIS, Alexandre, Œuvres de Gerbert, op. cit., pp. 351- 353
17 CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus, in Compte rendu, op. cit., pp. 237-246
5
LA MOLTIPLICAZIONE
Le spiegazioni fornite da Bernelino riguardo alla moltiplicazione si dividono in quattro parti.
La prima riguarda la preparazione dell'abaco.
A prima priori linea usque ad primæ vicesimam septimam, quator trahantur linæ
æquali spatio differentes inter se, quarum prima primus trames, ultima vero quartus
nuncupabitur, duarum autem mediarum secunda secundus, tertia tertius nominabitur.
18
Si dovevano tracciare quattro linee orizzontali sull'abaco, in modo da formare quattro zone
chiamate (dall'alto in basso) prima, seconda, terza e quarta traccia (vedere fig. 2).
La seconda parte presenta una tavola della moltiplicazione.
Semel II II Bis IV VIII Ter VII XXI Quinquies VII XXV
Semel III III Bis V X Ter VIII XIV Quinquies VIII XL
Semel IV IV Bis VI XII Ter VIIII XXVII Quinquies VIIII XLV
Semel V V Bis VII XIV Quater V XX Sexies VII XLII
Semel VI VI Bis VIII XVI Quater VI XXIV Sexies VIII XLVIII
Semel VII VII Bis VIIII XVIII Quater VII XXVIII Sexies VIIII LIV
Semel VIII VIII Ter IV XII Quater VIII XXXII Septies VIII LVI
Semel IX IX Ter V XV Quater VIIII XXXVI Septies VIIII LXIII
Bis III VI Ter VI XVIII Quinquies VI XXX Octies VIIII LXIXI
Una volta 2 2 Due volte 4 8 Tre volte 7 21 Cinque volte 7 35
Una volta 3 3 Due volte 5 10 Tre volte 8 24 Cinque volte 8 40
Una volta 4 4 Due volte 6 12 Tre volte 9 27 Cinque volte 9 45
Una volta 5 5 Due volte 7 14 Quattro volte 5 20 Sei volte 7 42
Una volta 6 6 Due volte 8 16 Quattro volte 6 24 Sei volte 8 48
Una volta 7 7 Due volte 9 18 Quattro volte 7 28 Sei volte 9 54
Una volta 8 8 Tre volte 4 12 Quattro volte 8 32 Sette volte 8 56
Una volta 9 9 Tre volte 5 15 Quattro volte 9 36 Sette volte 9 63
Due volte 3 6 Tre volte 6 18 Cinque volte 6 30 Otto volte 9 72
Nella terza parte si una serie di regole per la moltiplicazione: l'autore dice come si deve
posizionare sull'abaco il prodotto di unità per decine, decine per decine ecc. come indicato nel testo
seguente.
Singularis quemcumque multiplicaverit, sive decenum, sive centenum, sive millenum
vel ulteriores, in eodem ponet digitum, in secundo articolum. Et quemcumque decenus
multiplicaverit, in secundo ab illo ponet digitum, in tertio articulum. Et quemcumque
18 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 361. Traduzione. “Si traccino dalla prima linea alla ventisettesima quattro
strisce di uguale ampiezza, differenti fra loro, delle quali la prima sarà chiamata prima traccia, l'ultima sarà detta
quarta, le altre due intermedie, la seconda seconda traccia e la terza terza traccia”.
6
centenus multiplicaverit, in tertio ponet digitum, in quarto articulum, sicque per reliquos
usque in infinitum potest ascendendo progredi. [... ]
19
Per capire i termini utilizzati da Bernelino, dobbiamo sempre tenere conto che nella
rappresentazione dei numeri sull'abaco non c'erano gli zeri. Per esempio, per i gerbertisti il numero
cinquanta era rappresentato da un solo simbolo, corrispondente a 5, posto nella colonna delle
decine. Questa era, nel loro linguaggio, la “colonna del numero [cinquanta]”.
Ciò premesso, l'autore spiega che quando si moltiplica per un numero di unità un certo numero di
decine, o di centinaia, o di migliaia ecc., il digitus del prodotto va nella colonna del moltiplicando,
mentre l'articulus va nella colonna successiva (esempi A e B).
Quando invece si moltiplica per un numero di decine un certo numero di decine, o di centinaia, o di
migliaia ecc., il digitus del prodotto va nella colonna dopo il moltiplicando, mentre l'articulus va
nella colonna successiva (esempio C).
Analogamente, se si moltiplica per un numero di centinaia un certo numero di decine, o di
centinaia, o di migliaia ecc., il digitus del prodotto va posto nella seconda colonna a sinistra rispetto
a quella del moltiplicando, mentre l'articulus va nella colonna successiva (esempio D).
Seguono poi numerosi casi di moltiplicazione di numeri rappresentanti, secondo la nomenclatura
attuale, multipli di 10, 100 ecc.
Esempi. Il primo fattore (moltiplicando) è posto nella prima traccia, il secondo (moltiplicatore)
nella quarta traccia.
C X I C X
4
I
1 2
3
(A)
40 x 3 calcolato con l'abaco
C X I
7
C X I
2 1
3
(B)
7000 x 3 calcolato con l'abaco
C X I C
7
X I
2 1
3
(C)
700 x 30 calcolato con l'abaco
19 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 362. Traduzione. “Se si moltipliche un qualunque numero di unità
[moltiplicatore N.d.T.] per un numero [moltiplicando N.d.T.] di decine o di centinaia o di migliaia ecc., nella
colonna di questo [ultimo] numero di porrà il digitus e nella successiva l'articulus. E se si moltiplicherà un
qualunque numero di decine, nella seconda colonna a partire da quella del numero [moltiplicando N.d.T.] si porrà il
digitus e nella successiva l'articulus. E se si moltiplicherà un qualunque numero di centinaia, nella terza colonna a
partire dal numero [moltiplicando N.d.T.] si porrà il digitus e nella successiva l'articulus. E così per i numeri
rimanenti salendo fino all'infinito.”
7
C X I C X
8
I
2 4
3
(D)
80 x 300 calcolato con l'abaco
Con queste ultime regole Bernelino ritiene di avere spiegato come si esegue la moltiplicazione,
ma ritiene opportuno presentare un esempio. Propone quindi il seguente problema.
Proposita una turri quæ XII tantum contenta fenestris, in harum unaquaque XII stratus
habeat, quorum unusquisque, susceptis XII viris, eorum unusquisque mulieres totidem
habeat, quarum quæque XII lactet infantes. Quæratur ad cujus numerositatis perveniant
quantitatem per multiplicationis regulam.
20
In una torre ci sono dodici stanze, ogni stanza contiene dodici letti, ogni letto accoglie 12 uomini e
12 mogli per ognuno di essi, e ogni moglie allatta dodici bambini. Si domanda di trovare il numero
corrispondente alla totalità degli elementi contenuti nella torre (torre compresa).
La risoluzione comprende quattro moltiplicazioni con numeri sempre più grandi e un'addizione
finale. La prima moltiplicazione viene spiegata per esteso, delle altre si danno unicamente i risultati.
Quod fiat tali modo: in quarto deceni tramite, tibi denarium ad denominationem
sumito; binarium quoque similiter in singularis quarto. [ ... ] Quibus sumptis, statuatur
alter duodenarius in primo tramite singularis et deceni per