L'abaco di Gerberto d'Aurillac
e il suo uso con i numeri naturali
Mariairene Guagnini
(irene.guagnini@alice.it)
L'abaco di Gerberto d'Aurillac e il suo uso con i numeri naturali
Mariairene Guagnini (irene.guagnini@alice.it)
Gerberto d'Aurillac viene ricordato nella storia della matematica come colui che “fu forse il primo
in Europa a insegnare l'uso delle cifre indo-arabiche”
1
, con l'ausilio di un nuovo tipo di abaco. In
questa relazione, dopo aver dato alcune sommarie informazioni sulla vita e sugli studi di Gerberto,
si illustrerà la struttura di tale abaco e il modo in cui veniva usato per eseguire le operazioni con i
numeri naturali. Ogni parte sarà preceduta da un breve testo scritto da Gerberto o da uno dei suoi
allievi. Se non interessano, questi testi possono essere saltati, senza pregiudizio per la lettura della
parte matematica seguente. Consiglio comunque di provare a guardarli: è interessante e utile vedere
direttamente dai protagonisti come nacquero e vennero trasmessi i concetti matematici.
Gerberto (940 circa 1003), entrò molto giovane, come oblato, nel convento di Aurillac, dove
iniziò gli studi di base e delle materie del trivio. Nel 967 venne mandato in Catalogna e studiò il
quadrivio (aritmetica, geometria, astronomia, musica) ed entrò in contatto con la scienza araba. Nel
970, a Roma, stupì il papa Giovanni XIII e l'imperatore Ottone I con la sua cultura, ma preferì
tornare in Francia per proseguire gli studi e insegnò per vari anni logica e scienze alla scuola di
Reims. Nel 981 prevalse in un dibattito a Ravenna, alla presenza di Ottone II e venne poi nominato
abate del monastero di Bobbio, allora sede di una importante e ricca biblioteca. Pur mantenendo la
carica di abate di Bobbio, ritornò dopo poco tempo a Reims dove rimase coinvolto in varie lotte
religiose e politiche. Nel 996 incontrò a Roma il giovane imperatore Ottone III, che lo volle come
proprio istitutore. Fu poi nominato arcivescovo di Ravenna e infine, nel 999, divenne papa
assumendo il nome di Silvestro II. Dopo la sua morte, avvenuta a Roma nel maggio 1003, fu
sepolto nella basilica di S. Giovanni in Laterano.
Gerberto d'Aurillac mostrò sempre un grande interesse per gli studi di numerose discipline;
notevole per i tempi fu la sua ricerca continua e mirata di nuovi manoscritti da esaminare. Un altro
suo interesse fu l'insegnamento, come testimoniano anche varie lettere, indirizzate a suoi studenti
per rispondere ai loro dubbi, e l'uso a fini didattici di strumenti come l'abaco (che serviva non solo
per l'aritmetica, ma anche per disegnare figure geometriche), l'astrolabio (per lo studio
dell'astronomia) e il monocordo (per la musica).
I suoi studi gli diedero onori e fama, ma le conoscenze scientifiche da lui trasmesse (compreso
l'uso dell'abaco), probabilmente troppo avanzate per i tempi, vennero considerate diaboliche e
quindi usate per screditarlo.
LA SCRITTURA DEI NUMERI
Esaminando i numerosi scritti di Gerberto, anche i suoi trattati scientifici e le lettere ai suoi
discepoli, troviamo che i numeri sono sempre scritti con la notazione romana (*) e che non compare
mai alcun cenno esplicito alla notazione posizionale decimale. La novità apportata da Gerberto fu il
modo di rappresentare i numeri sull'abaco.
(*) Spesso troviamo IIII al posto di IV, CCCC al posto di CD ecc.
1 BOYER, Carl, Storia della Matematica, Oscar studio Mondadori, Milano 1980, p. 292
1
L'ABACO
Gerberto che citò varie volte l'abaco nei suoi scritti, senza tuttavia darne una descrizione.
Troviamo informazioni sull'abaco in scritti di altri autori, per esempio in un testo di Richer, un
allievo di Gerberto.
Abacum id est tabulam dimensionibus aptam opere scutari effecit. Cujus longitudini,
in XVII partibus diductæ, novem numero notas omnem numerum significantes
disposuit. Ad quarum etiam similitudinem, mille corneos effecit caracteres, qui per XVII
abaci partes mutuati, cujusque numeri multiplicationem sive divisionem designarent;
tanto compendio numerorum multitudinem dividentes vel multiplicantes, ut præ nimia
numerositate potius intelligi quam verbis valerent ostendi.
2
L'abaco era quindi una tavola, divisa in 27 colonne, su cui tutti numeri naturali (tranne lo
zero) venivano rappresentati usando solo nove simboli, secondo la posizione di questi simboli.
Questa fu la novità apportata da Gerberto: gli abachi a colonne esistevano anche in precedenza, ma
in essi i numeri nelle colonne erano rappresentati con un adeguato numero di oggetti (sassolini,
bastoncini… ). Per esempio per indicare il numero 2019 si sarebbero messi 9 sassolini nella colonna
dell'unità, 1 sassolino in quello delle decine, nessun sassolino nella colonna delle centinaia e 2
sassolini nella colonna delle migliaia. Nel nuovo abaco invece si usavano tre gettoni, uno recante il
simbolo del nove nella colonna delle unità, e due recanti rispettivamente i simboli dell'uno e del due
nelle colonne della decina e delle migliaia. Mancava un simbolo per lo zero, ma questo non
creava problemi perché basta lasciare al suo posto nella colonna dell'abaco uno spazio vuoto.
Gerberto fece costruire mille gettoni recanti ognuno uno dei nove simboli. Utilizzando questi
gettoni si potevano rappresentare i numeri ed eseguire rapidamente le operazioni di divisione e di
moltiplicazione.
Non sappiamo con sicurezza quali simboli venissero usati per indicare le varie cifre, ma è
probabile che fossero simili a quelli sottostanti.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nella prima riga i simboli presenti nel Liber abaci di Bernelino (allievo di Gerberto)
3
;
nella seconda i simboli presenti in un Trattato dell'abaco scritto intorno all'anno 1200.
A volte nell'eseguire i calcoli i gettoni venivano per errore ruotati e da questi “errori” sono poi nati i
simboli che ancora usiamo
4
.
2 RICHER DE REIMS, Richeri Historiarum libri quatuor, Académie impériale de Reims ed., a cura di A. M. Poinsignon,
Reims 1855, p. 290. “[Gerberto] fece costruire da un fabbricante di scudi un abaco, cioè una tavola di dimensioni
adatte per il suo uso. Dopo una sua suddivisione in 27 parti in lunghezza, dispose su di essa nove simboli numerici,
con cui si potevano rappresentare tutti i numeri. Fece anche fare mille gettoni simili di corno che, disposti nelle 27
colonne dell'abaco, producevano la moltiplicazione e la divisione di tutti i numeri; e tanto velocemente si
moltiplicavano o dividevano numeri in gran quantità che, a causa della grande estensione dei numeri, era più facile
farsi un'idea che esprimerla a parole.”
3 M.S., Piacenza, Biblioteca e Archivio Capitolare della Basilica di S. Antonino cass. 48, fr. 22, sec. XII primo quarto.
4 Rotazione paleografica delle cifre; vedere MATERNI , Marta, Attività scientifiche di Gerberto d'Aurilliac, Archivum
2
In ogni caso questi nuovi simboli furono usati solo sui gettoni. Le colonne dell'abaco venivano
indicate con numeri romani: la fig. 1 mostra le intestazioni delle prime otto colonne
5
.
X M I M I C X I C X I
( Col. decine
di migliaia di
migliaia )
( Colonna
migliaia di
migliaia )
( Colonna
centinaia di
migliaia )
( Colonna
decine di
migliaia )
( Colonna
migliaia )
( Colonna
centinaia )
( Colonna
decine )
( Colonna
unità )
Fig.1
Analoghe le intestazioni delle restanti diciannove colonne. Osserviamo che M e I indicano entrambi
il numero mille. Ci possono essere delle variazioni in altri autori: M per le migliaia, X M per le
decine di migliaia ecc.
Fig. 2
In alcuni abachi c'erano anche tre
ulteriori colonne a destra che venivano
usate per i calcoli con le frazioni, ma
non vengono esaminate perché qui
trattiamo solo di calcoli con i numeri
naturali.
Spesso le colonne degli abachi erano
contrassegnate da archi, come nel
disegno a lato
6
. Per questo, egli scritti
dell'epoca troviamo talvolta il termine
arcus per indicare una colonna.
LA NOTAZIONE DECIMALE POSIZIONALE
In passato alcuni studiosi ritennero che i gerbertisti
7
non capissero realmente il significato delle
colonne dell'abaco e quindi della rappresentazione decimale posizionale dei numeri sull'abaco
stesso. Tuttavia negli ultimi decenni, a seguito dell'esame di vari testi, è stato espresso a riguardo un
giudizio più positivo
8
.
Vediamo cosa scrive Bernelino, un allievo di Gerberto, relativamente alle colonne dell'abaco.
Prima libri series abaci tabulam tibi ostendet. Hoc autem ideo facere proposui non
quod priscos emendare præsumam, sed qui forte hunc libellum sibi legendum
sumpserunt quid ad mediocrem intelligentiam expectare debeant in hoc reperire
Bobiense, XXIX (2007), p. 251
5 BERNELINUS, Liber abaci , in OLLERIS, Alexandre, Œuvres de Gerbert, pape sous le nom de Sylvestre II, , Thimbaud,
Clermont-F. 1867, p. 360 - 361
6 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 359
7 Così venivano chiamati coloro che usavano l'abaco di Gerberto.
8 BORZACCHINI, Luigi, Il computer di Ockham: genesi e struttura della rivoluzione scientifica, Dedalo, Bari 2010, pp.
156 -157
3
possint. Deinde apponemus ipsos caracteres et quo modo hi numeri quos digitos
vocamus se vel alios metiantur. Neque enim potest servari aliter abaci dignitas nisi
horum ad invicem dimensio plenissime sit cognita.
9
Qui l'autore spiega, nell'introduzione del suo trattato, che parlerà della struttura e dell'uso
dell'abaco e sottolinea l'importanza di conoscere il modo in cui i numeri indicati dai simboli nelle
varie colonne si rapportino fra di loro. Poi affronta l'argomento nel testo nel seguente modo.
Sicut multiplicatione primæ unitatis secunda unitas, id est denario, excrescit, sic
ejusdem secundæ unitatis multiplicatione, tertia unitas, idest centenarius, exsurgit. Et
tunc quodam modo ad primam redit unitatem, non dico re, sed caractere. Nam sicut
prima unitas notatur per elementum I, ita millenarius primus per idem I, superaddito
tantum titulo. Et sicut secunda unitas assignatur per elementum X, ita decenus millenus
per idem X, superaddito tantum titulo. Et quemadmodum tertia unitas, id est
centenarius, inscribitur per elementum C, sic centus millenus per idem C, superscripto
tantum titulo.[ ... ] Omnes abaci lineae decuplo superant aut superarantur.
10
Bernelino afferma che l'unità del secondo ordine, cioè la decina, nasce dalla moltiplicazione delle
unità (del primo ordine), mentre l'unità del terzo ordine nasce dal prodotto di quella del secondo
ordine. Spiega poi come nascono i simboli che contraddistinguono le colonne delle migliaia, delle
decine di migliaia e le migliaia di migliaia: un trattino posto sopra un simbolo moltiplica il valore
indicato da questo simbolo per 1000. Così I indica un migliaio, X una decina di migliaia ecc., come
si vede nella fig. 1. Ribadisce anche che le colonne dell'abaco sono legate da un fattore 10.
OSSERVAZIONI SULLA NOMENCLATURA DEI NUMERI
Troviamo usata dai gerbertisti una particolare nomenclatura relativa ai numeri. I termini utilizzati
sono digitus, articulus, denominatio.
Digiti sunt omnes usque ad X; decem vero articulus est, et quicumque denario vel
pluribus denariis additis numeri surgunt. Ceteri vero, sicut XI, XII, et reliqui usque ad XX,
ex digito et articulo compositi sunt, et, ut breviter dicam, ceteri omnes qui non ex
denario vel denariis denario additis consurgunt. Et notandum est quod sicut omnes
usque ad decem, digiti ad ipsum X sunt, sic X et ceteri articuli usque ad ... sunt; centum
vero et ceteri usque mille sunt digiti ad ipsum mille; et sic de qualibet inferiori unitate
usque ad proximam superiorem unitatem.
11
9 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 358. Traduzione. “Nella prima parte del libro ti presenterò la tavola dell'abaco.
Mi sono proposto di farlo non perché abbia l'ardire di correggere gli antichi, ma perché coloro che eventualmente
abbiano preso questo libro per leggerlo possano trovare in esso ciò di cui debba avere bisogno un'intelligenza media
[cioè una persona di media cultura N.d.T.]. Poi aggiungeremo i segni stessi e il modo in cui i numeri che chiamiamo
digiti si misurano fra di loro e con gli altri. Infatti non altrimenti si può salvaguardare il valore dei calcoli che se non
è nota completamente la loro misura reciproca.”
10 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 360, p.361. Traduzione. “Come la seconda unità, cioè la decina, si sviluppa
dalla moltiplicazione della prima unità, così la terza unità, cioè il centinaio, si sviluppa dalla moltiplicazione della
stessa seconda unità. E allora, in un certo qual modo, si ritorna alla prima unità, non dico realmente, ma come
simbolo. E poiché proprio come la prima unità è indicata con la lettera I, così il primo migliaio è indicato con la
stessa I, solamente con l'aggiunta di un trattino sopra. E proprio come la seconda unità è indicata con la lettera X,
così la decina di migliaia è indicata con la lettera X, soltanto con un trattino sopra. E allo stesso modo come la terza
unità, che è il centinaio, è contrassegnata dalla lettera C, così il centinaio di migliaia è contrassegnato dalla stessa C,
soltanto soprascritta con un trattino. [ ] Tutte le colonne dell'abaco superano o sono superate secondo un fattore
10”
11 Da un Trattato sull'abaco scritto all'incirca nell'anno 1200; vedere CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus, in Compte
rendu des séances de l'Académie des sciences, XVI 1843, pp. 238-239. “ Digiti sono tutti i numeri fino a 10; dieci è
un articulus e anche i numeri che si formano da una decina o più decine sommate [cioè i multipli di 10 N.d.T.]. I
restanti, cioè 11, 12 e gli altri numeri fino a 20 sono composti da un digitus e da un articulus e, in breve, anche gli
4
Il termine digitus (digiti pl.) indica i numeri da 1 a 9. Il termine articulus (articuli pl.) indica 10 e
tutti suoi multipli fino a cento. Gli altri numeri (per es. 11, 12, …) si dicono composti: per esempio
25 è un numero composto da 5 (digitus) e 2 (articulus).
L'autore spiega tuttavia che i termini digitus e articulus hanno un significato più ampio: 10 e tutti i
suoi multipli fino a 100 sono digiti rispetto a 100, mentre 100 e tutti i suoi multipli fino a 1000
sono digiti rispetto a 1000 ecc. Digitus non indica quindi sempre una unità; negli scritti dei
gerbertisti un'unità (del primo ordine) viene indicata con il termine singularis.
Vedremo più avanti come questa relazione fra digiti e articuli permise ai gerbertisti di descrivere e
di svolgere le operazioni di moltiplicazione e di divisione.
Riguardo al termine denominatio (denominationes pl.), esso viene generalmente usato nei trattati
sull'abaco per indicare il valore che contraddistingue un digitus o un articulus: la denominatio di
trenta (tre decine) è 3, di settecento (7 centinaia) è 7 ecc. In alcuni casi può indicare un quoziente
parziale nel procedimento di divisione.
I CALCOLI CON L'ABACO. OSSERVAZIONI PRELIMINARI
Il fatto che i numeri sull'abaco fossero indicati con una notazione decimale posizionale permise di
avere delle tecniche di calcolo efficaci, grazie alle quali si poteva operare rapidamente con grandi
quantità di numeri, anche molto estesi.
Poiché i valori delle unità, decine, centinaia ecc. venivano
rappresentati da simboli e non da un numero corrispondenti di
oggetti (sassolini per esempio), era necessario che gli allievi
imparassero innanzitutto a memoria i risulti dei calcoli elementari
delle quattro operazioni, cioè le tavole dell'addizione, della
moltiplicazione ecc. Ad esempio il risultato di 5 + 3 andava
conosciuto a memoria, perché non poteva essere trovato unendo 5
sassolini con 3 sassolini e contando il numero totale degli oggetti
così ottenuti. Si trovano esempi di queste tavole in vari trattati
sull'abaco; anche la cosiddetta tavola pitagorica, nonostante il nome,
è una tavola di calcolo dovuta ai gerbertisti
12
.
Per quando riguarda le tecniche di calcolo, il modo di operare con
Tabellina del 3
13
l'abaco veniva trasmesso in modo diretto da maestro ad allievo all'interno della scuola. Ci sono
pervenuti sono dei brevi testi dell'epoca relativi alle operazioni di moltiplicazione e divisione
14
.
Alcuni di questi scritti sono piuttosto sintetici e riportano solo regole pratiche, mentre altri mostrano
una maggiore attenzione per l'aspetto didattico.
Volendo presentare i procedimenti matematici a partire da testi originali, ho scelto di fare
riferimento per la moltiplicazione al Trattato di Bernelino
15
, scritto durante il papato di Gerberto
(999-1003), e per la divisione a un testo attribuito allo stesso Gerberto (scritto all'incirca nel 980)
16
.
Per completare la trattazione, ho aggiunto anche una parte relativa all'addizione, presa da un
manoscritto posteriore di vari decenni, di autore anonimo
17
e un cenno sulla sottrazione.
altri che non nascono da una o più decine sommate. E si deve osservare che come tutti i numeri fino a dieci sono dei
digiti in rapporto a dieci, allo stesso modo dieci egli altri articuli fino a cento sono digiti in rapporto a cento e cento
e le altre centinaia fino a mille sono digiti in rapporto a mille e così ogni unità inferiore in rapporto all'unità
immediatamente superiore.”
12 Vedere, per esempio, http://matematica.unibocconi.it/articoli/la-tavola-pitagorica .
13 M.S., Piacenza, Biblioteca e Archivio Capitolare della Basilica di S. Antonino cass. 48, fr. 22, sec. XII primo quarto.
14 Vedere BUBNOV, Nicolaj , Gerberti Opera Mathematica (972 – 1003) , R. Friedländer & Sohn, Berlino1899
15 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., pp. 357 - 400
16 GERBERT, Libellus de numerorum divisione, in OLLERIS, Alexandre, Œuvres de Gerbert, op. cit., pp. 351- 353
17 CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus, in Compte rendu, op. cit., pp. 237-246
5
LA MOLTIPLICAZIONE
Le spiegazioni fornite da Bernelino riguardo alla moltiplicazione si dividono in quattro parti.
La prima riguarda la preparazione dell'abaco.
A prima priori linea usque ad primæ vicesimam septimam, quator trahantur linæ
æquali spatio differentes inter se, quarum prima primus trames, ultima vero quartus
nuncupabitur, duarum autem mediarum secunda secundus, tertia tertius nominabitur.
18
Si dovevano tracciare quattro linee orizzontali sull'abaco, in modo da formare quattro zone
chiamate (dall'alto in basso) prima, seconda, terza e quarta traccia (vedere fig. 2).
La seconda parte presenta una tavola della moltiplicazione.
Semel II II Bis IV VIII Ter VII XXI Quinquies VII XXV
Semel III III Bis V X Ter VIII XIV Quinquies VIII XL
Semel IV IV Bis VI XII Ter VIIII XXVII Quinquies VIIII XLV
Semel V V Bis VII XIV Quater V XX Sexies VII XLII
Semel VI VI Bis VIII XVI Quater VI XXIV Sexies VIII XLVIII
Semel VII VII Bis VIIII XVIII Quater VII XXVIII Sexies VIIII LIV
Semel VIII VIII Ter IV XII Quater VIII XXXII Septies VIII LVI
Semel IX IX Ter V XV Quater VIIII XXXVI Septies VIIII LXIII
Bis III VI Ter VI XVIII Quinquies VI XXX Octies VIIII LXIXI
Una volta 2 2 Due volte 4 8 Tre volte 7 21 Cinque volte 7 35
Una volta 3 3 Due volte 5 10 Tre volte 8 24 Cinque volte 8 40
Una volta 4 4 Due volte 6 12 Tre volte 9 27 Cinque volte 9 45
Una volta 5 5 Due volte 7 14 Quattro volte 5 20 Sei volte 7 42
Una volta 6 6 Due volte 8 16 Quattro volte 6 24 Sei volte 8 48
Una volta 7 7 Due volte 9 18 Quattro volte 7 28 Sei volte 9 54
Una volta 8 8 Tre volte 4 12 Quattro volte 8 32 Sette volte 8 56
Una volta 9 9 Tre volte 5 15 Quattro volte 9 36 Sette volte 9 63
Due volte 3 6 Tre volte 6 18 Cinque volte 6 30 Otto volte 9 72
Nella terza parte si una serie di regole per la moltiplicazione: l'autore dice come si deve
posizionare sull'abaco il prodotto di unità per decine, decine per decine ecc. come indicato nel testo
seguente.
Singularis quemcumque multiplicaverit, sive decenum, sive centenum, sive millenum
vel ulteriores, in eodem ponet digitum, in secundo articolum. Et quemcumque decenus
multiplicaverit, in secundo ab illo ponet digitum, in tertio articulum. Et quemcumque
18 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 361. Traduzione. “Si traccino dalla prima linea alla ventisettesima quattro
strisce di uguale ampiezza, differenti fra loro, delle quali la prima sarà chiamata prima traccia, l'ultima sarà detta
quarta, le altre due intermedie, la seconda seconda traccia e la terza terza traccia”.
6
centenus multiplicaverit, in tertio ponet digitum, in quarto articulum, sicque per reliquos
usque in infinitum potest ascendendo progredi. [... ]
19
Per capire i termini utilizzati da Bernelino, dobbiamo sempre tenere conto che nella
rappresentazione dei numeri sull'abaco non c'erano gli zeri. Per esempio, per i gerbertisti il numero
cinquanta era rappresentato da un solo simbolo, corrispondente a 5, posto nella colonna delle
decine. Questa era, nel loro linguaggio, la “colonna del numero [cinquanta]”.
Ciò premesso, l'autore spiega che quando si moltiplica per un numero di unità un certo numero di
decine, o di centinaia, o di migliaia ecc., il digitus del prodotto va nella colonna del moltiplicando,
mentre l'articulus va nella colonna successiva (esempi A e B).
Quando invece si moltiplica per un numero di decine un certo numero di decine, o di centinaia, o di
migliaia ecc., il digitus del prodotto va nella colonna dopo il moltiplicando, mentre l'articulus va
nella colonna successiva (esempio C).
Analogamente, se si moltiplica per un numero di centinaia un certo numero di decine, o di
centinaia, o di migliaia ecc., il digitus del prodotto va posto nella seconda colonna a sinistra rispetto
a quella del moltiplicando, mentre l'articulus va nella colonna successiva (esempio D).
Seguono poi numerosi casi di moltiplicazione di numeri rappresentanti, secondo la nomenclatura
attuale, multipli di 10, 100 ecc.
Esempi. Il primo fattore (moltiplicando) è posto nella prima traccia, il secondo (moltiplicatore)
nella quarta traccia.
C X I C X
4
I
1 2
3
(A)
40 x 3 calcolato con l'abaco
C X I
7
C X I
2 1
3
(B)
7000 x 3 calcolato con l'abaco
C X I C
7
X I
2 1
3
(C)
700 x 30 calcolato con l'abaco
19 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 362. Traduzione. “Se si moltipliche un qualunque numero di unità
[moltiplicatore N.d.T.] per un numero [moltiplicando N.d.T.] di decine o di centinaia o di migliaia ecc., nella
colonna di questo [ultimo] numero di porrà il digitus e nella successiva l'articulus. E se si moltiplicherà un
qualunque numero di decine, nella seconda colonna a partire da quella del numero [moltiplicando N.d.T.] si porrà il
digitus e nella successiva l'articulus. E se si moltiplicherà un qualunque numero di centinaia, nella terza colonna a
partire dal numero [moltiplicando N.d.T.] si porrà il digitus e nella successiva l'articulus. E così per i numeri
rimanenti salendo fino all'infinito.”
7
C X I C X
8
I
2 4
3
(D)
80 x 300 calcolato con l'abaco
Con queste ultime regole Bernelino ritiene di avere spiegato come si esegue la moltiplicazione,
ma ritiene opportuno presentare un esempio. Propone quindi il seguente problema.
Proposita una turri quæ XII tantum contenta fenestris, in harum unaquaque XII stratus
habeat, quorum unusquisque, susceptis XII viris, eorum unusquisque mulieres totidem
habeat, quarum quæque XII lactet infantes. Quæratur ad cujus numerositatis perveniant
quantitatem per multiplicationis regulam.
20
In una torre ci sono dodici stanze, ogni stanza contiene dodici letti, ogni letto accoglie 12 uomini e
12 mogli per ognuno di essi, e ogni moglie allatta dodici bambini. Si domanda di trovare il numero
corrispondente alla totalità degli elementi contenuti nella torre (torre compresa).
La risoluzione comprende quattro moltiplicazioni con numeri sempre più grandi e un'addizione
finale. La prima moltiplicazione viene spiegata per esteso, delle altre si danno unicamente i risultati.
Quod fiat tali modo: in quarto deceni tramite, tibi denarium ad denominationem
sumito; binarium quoque similiter in singularis quarto. [ ... ] Quibus sumptis, statuatur
alter duodenarius in primo tramite singularis et deceni per denominationes
multiplicandus, hoc modo: bis duo, IIII; in secundo singularis tramite. Quemcumque
enim singularis multiplicat, in eodem ponit digitum quem multiplicat. Bis unus, II; in
deceni secundo. Semel duo, in ejusdem eodem, II. Quemcumque enim decenus
multiplicat, in secundo ab illo ponit digitum. Semel unus in centeni secundo, unus.
Duodecim igitur fenestræ in se ductæ, CXLIIII stratus reddent sua incursione. Quos si a
secundo in primo tramite loces, eisdem denominationibus modo simili multiplicandos,
habebit horum incursione I DCCXXVIII viros. Quibus simili modi permutatis eisdemque
denominationibus multiplicatis, reddetur mulierum numerus X X DCCXXXVI. Quibus simili
modo diductis, habebitur numerus infantium C C X L V I I I DCCCXXXII. Quibus omnibus in
unum redactis turris fenestrarum, stratuum, virorum quoque ac mulierum nec non
infantum reddetur numerus C C L X X I CCCCLIII.
21
20 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 363. Traduzione. “Dato un palazzo che abbia solamente 12 stanze, in ciascuna
di queste si abbiano 12 letti, ciascuno dei quali accolti 12 uomini, accolga per ognuno di essi altrettante mogli,
ognuna delle quali allatti 12 bambini. Si domanda a quale valore numerico si pervenga con la regola della
moltiplicazione.”
21 BERNELINUS, Liber abaci, op. cit., p. 363. Traduzione. “Ciò si fa nel seguente modo: sceglierai la decina della
denominatio per la quarta traccia della decina e anche nello stesso modo il due per la quarta traccia delle unità. [… ]
Scelti questi [numeri], l'altro dodici sia posto nella prima traccia dell'unità e della decina, per essere moltiplicato
attraverso le denominationes nel seguente modo: due volte due, 4, nella seconda traccia dell'unità. Infatti quando
un'unità moltiplica un numero qualsiasi pone nella sua colonna il digitus del prodotto. Due volte uno, 2, nella
seconda traccia della decina. Una volta due, 2, nella stessa colonna. Infatti quando una decina moltiplica un numero
qualsiasi, pone il digitus [del prodotto] nella colonna successiva ad esso. Una volta uno, 1, nella seconda traccia
delle centinaia. Quindi dodici stanze moltiplicate per se stesse daranno con il loro prodotto 144 letti. Se si passa
questo numero dalla seconda alla prima traccia, dopo aver moltiplicato in modo simile per le stesse denominationes,
si avrà dal loro prodotto [il numero di]1728 uomini. Con questi numeri scambiati in maniera simile e moltiplicati per
le stesse denominationes si otterrà il numero di 20 736 mogli. Con questi numeri sviluppati in maniera simile si av
un numero di 248 832 bambini. Con tutti questi numeri della torre, delle stanze, dei letti, degli uomini, delle donne e
dei bambini, ridotti a uno [cioè sommati N.d.T.], si avrà il numero di 271 453 [elementi].
8
Seguiamo le indicazioni date dal testo per l'esecuzione della prima moltiplicazione
X I C X
1
I
2
Primo fattore (moltiplicando) nella prima traccia
1
2
2
4 2 x 2
2 x 1
1 x 2
1 x 1
1 4 4 Risultato della prima moltiplicazione
1 2 Secondo fattore (moltiplicatore) nella quarta traccia
Esecuzione della seconda moltiplicazione.
C X I C
1
X
4
I
4
144 spostato nella prima riga (1° fattore)
1
2
4
8
4
8 Primo fattore x unità secondo fattore
Primo fattore x decine secondo fattore
1
7 2 8 Risultato della seconda moltiplicazione
1 2 Secondo fattore nella quarta riga
E' immediato osservare che il procedimento è molto simile a quello che viene utilizzato oggi.
LA DIVISIONE
A differenza dell'operazione di moltiplicazione, quella di divisione presenta un procedimento
decisamente diverso da quello attualmente in uso, come possiamo vedere direttamente da uno
scritto di Gerberto. L'autore esamina numerosi casi.
PRIMO CASO.
Si volueris dividere singulares per singulares, vel decenum per decenum, vel
centenum per centenum, vel millenum per millenum, secundum denominationem
eorum singulares singularibus subtrahes.
22
Gerberto propone un metodo di divisione “con differenza”. L'idea di base è vedere quante volte il
divisore sta nel dividendo sottraendo progressivamente il divisore dal dividendo fino a quanto ciò è
possibile. Il numero che rimane dopo l'ultima sottrazione è il resto della divisione, mentre il numero
22 GERBERT, Libellus de numerorum divisione, op. cit., p. 351-352. Traduzione. “Se vorrai dividere unità per unità, o
decine per decine, o centinaia per centinaia, o migliaia per migliaia, sottrarrai le unità dalle unità rispettando la loro
denominatio.”
9
delle sottrazioni eseguite è il quoziente.
Esempio. 7 : 2
7 – 2 = 5 ; 1 primo quoziente parziale
5 – 2 = 3 ; 1 secondo quoziente parziale
3 – 2 = 1 ; 1 terzo quoziente parziale ; 1 resto
3 quoziente (somma quozienti parziali)
Il procedimento corrisponde ai seguenti passaggi matematici:
7 : 2 = 7 : 2 = (2 + 7 – 2) : 2 = 2 : 2 + (7 – 2) : 2 = 1 + 5 : 2 = 1 + (2 + 5 – 2) : 2 = 1 + 2 : 2 + (5 – 2) : 2=
= 1 + 1 + 3 : 2 = 1 + 1 + (2 + 3 – 2) : 2 = 1 + 1 + 2 : 2 + (3 – 2) : 2 = 1 + 1 + 1 + 1 : 2 = 3 + 1 : 2 Q = 3 R = 1
Gerberto dice di applicare questo procedimento anche nel caso di divisione di decine per decine,
centinaia per centinaia, utilizzando il valore (denominatio) delle decine, centinaia ecc.
Esempio 700 : 200
Si calcola 7 : 2 nel modo visto prima e poi si aggiungono le centinaia al resto.
Il procedimento corrisponde ai seguenti passaggi matematici:
700 : 200 = (7 : 2) = 3 + 1 : 2 = 3 + 100 : 200 quoziente = 3 e resto = 100
SECONDO CASO.
Si volueris per singularem numerum dividere decenum aut centenum, aut millenum,
vel simul vel intermisse, differentiam divisoris a singulari ad decenum per integram
denominationem dividendi multiplicabis, et articulos quidem propria denominatione et
posita differentia diminues, digitos vero digitis aggregabis: et si articuli provenient, ut
supra diminues usque ad solos digitos, et millenus quidem habebit articulos in millenis,
digitos in centenis continue, centenus articulos in centenis, digitos in decenis; decenus
articulos in decenis, digitos in singularibus.
23
Qui Gerberto affronta la divisione di un numero di due cifre per un numero di una cifra.
Si potrebbe svolgere come nel primo caso, ma il procedimento sarebbe lunghissimo. L'autore
propone quindi di iniziare sottraendo il divisore da ciascuna delle decine del dividendo. In questo
modo abbiamo il primo quoziente parziale uguale al numero delle decine. Poi si calcola quello che
rimane dalle decine moltiplicando il numero delle decine per la differenza fra 10 e il divisore. Se il
risultato è un numero di due cifre si ripete il passaggio precedente, fino ad ottenere come resto un
numero di una cifra. Si sommano fra di loro le unità rimaste. Se il risultato è un numero di due cifre
si ripete il primo passaggio fino ad ottenere come resto un numero di una cifra. Si divide poi questo
numero con il procedimento visto nel primo caso.
23 GERBERT, Libellus de numerorum divisione, op. cit., p. 352. Traduzione. Se vorrai dividere un numero dell'ordine
delle unità, o da centinaia o da migliaia, con o senza interruzioni [con o senza spazi vuoti, cioè zeri, N.d.T.],
moltiplicherai la differenza fra il divisore e dieci per l'intera denominazione del dividendo e inoltre diminuirai gli
articuli [del prodotto] con la propria denominatione e la differenza trovata [prima]. Unirai i digiti con i digiti e se
rimarranno degli articuli, li ridurrai come visto prima fino ai soli digiti. E inoltre, se il numero [dividendo] è
dell'ordine delle migliaia avrai gli articuli [della moltiplicazione] nella colonna delle migliaia e i digiti in quella
delle centinaia; se il numero [dividendo] è dell'ordine delle centinaia, avrai gli articuli nella colonna delle centinaia
e i digiti in quella delle decine; se è dell'ordine delle decine, avrai gli articuli nella colonna delle decine e i digiti
nella colonna delle unità.”
10
La preparazione dell'abaco è la seguente: dividendo nella seconda traccia, divisore nella prima
traccia e, sopra di esso, la differenza fra 10 e il divisore. I calcoli successivi vengono fatti nella terza
traccia, mentre i quozienti parziali sono posti nella quarta.
Primo esempio. 51 : 7
10 – 7 = 3
5 primo quoziente parziale (da ognuna delle 5 decine del dividendo tolgo 7)
5 x 3 = 15 (è quello che resta dopo al posto delle 5 decine )
1 secondo quoziente parziale (dalla decina di 15 tolgo 7)
1 x 3 = 3 (è quello che resta dopo al posto della decina del 15)
1+ 5 + 3 ( somma delle unità rimaste: 1 dal 51; 5 dal 15; 3 dall'ultima sottrazione)
9 (somma unità rimaste) Unità quindi si procede con la regola del primo caso
1 quoziente parziale (da 9)
2 (da 9 – 7) resto
7 quoziente (somma quozienti parziali)
Svolgimento sull'abaco
X I
3
7
5 1
1
1
5
5
(1)
X I
3
7
5 1
2
7
(5)
X I
3
7
5 1
1
5
3
5
1
(2)
X I
3
7
5 1
9
5
1
(3)
X I
3
7
5 1
2
5
1
1
(4)
Il procedimento corrisponde ai seguenti passaggi:
51 : 7 = (5 x 10 + 1) : 7 = (5 x (7 + 3) + 1) : 7 = (5 x 7 + 5 x 3 + 1) : 7 = 5 x 7 : 7 + (5 x 3 + 1) : 7 =
= 5 + (15 + 1) : 7 = 5 + (1 x 10+ 5 +1) : 7 = 5 + (1 x (7 + 3) + 5 +1) : 7 = 5 + (1 x 7 + 1 x 3 + 5 + 1) : 7 =
= 5 + 1 x 7 : 7 + (1 x 3 + 5 + 1) = 5 + 1 + (3 + 5 + 1) : 7 =
= 5 + 1 + 9 : 7 = 5 + 1 + (7 + 9 – 7) : 7 = 5 + 1 + 7 : 7 + (9 – 7) : 7 = 5 + 1 + 1 + 2 : 7 = 7 + 2 : 7 Q = 7 R = 2
11
Il procedimento può essere utilizzato anche per la divisione di un numero di tre cifre per un
numero di una cifra, sottraendo inizialmente il divisore da ciascuna delle centinaia del dividendo.
Gerberto richiama l'attenzione del lettore sulla scelta delle colonne in cui porre dei quozienti e dei
resti parziali.
Secondo esempio: 341 : 8
C X I
2
8
3 4 1
4
6
1
3
(1)
C X I
2
8
3 4 1
1
4
3
1
2
(5)
C X I
2
8
3 4 1
1 1
3
(2)
C X I
2
8
3 4 1
5
3
1
2
(6)
C X I
2
8
3 4 1
2
1
3
1
(3)
C X I
2
8
3 4 1
5
4 2
(7)
C X I
2
8
3 4 1
2 1
3
1
(4)
Il procedimento corrisponde ai seguenti passaggi:
341 : 8 = (30 x 10 + 41) : 8 = (30 x (8 + 2) + 41) : 8 = (30 x 8 + 30 x 2 + 41) : 8 = 30 x 8 : 8 + ( 30 x 2 + 41) : 8 =
= 30 + (60 + 41) : 8 = 30 + (60 + 40 +1) : 8 = 30 + (100 + 1) : 8 = 30 + (10 x (8 + 2) + 1) : 8 =
= 30 + (10 x 8 + 10 x 2 +1) : 8 = 30 + 10 x 8 : 8 + (10 x 2 + 1) : 8 = 30 + 10 + 21 : 8 = 30+ 10 + (2 x 10 + 1) : 8 =
= 30 + 10 + (2 x (8 + 2) + 1 ): 8 = 30 + 10 + 2 x 8 : 8 + (2 x 2 + 1) : 8 = 30 + 10 + 2 + 5 : 8 =
= 42 + 5 : 8 Q = 42 R = 5
OSSERVAZIONE Questo metodo di calcolo è detto “divisione con differenza”. Tuttavia, a parte il
calcolo di (10 divisore ) ed eventualmente le sottrazioni finali fra unità e divisore (numeri di una
cifra), si eseguono solo addizioni e moltiplicazioni con risultati di una o due cifre. E' un
procedimento lungo, ma senza alcuna difficoltà di esecuzione.
12
TERZO CASO.
Si volueris per compositum decenum cum singulari dividere, vel simplicem decenum
vel cum singulari compositum, considera quotam partem divisor teneat singularis; nam
secundus singularis habet rationem ad secundas dividendi, tertius ad tertias, quartus
ad quartas, quintus ad quintas, et deinceps; id est differentia a singulari divisoris ad
decenum multiplicabitur per denominationem secundarum, tertiarum, quartarum; quod
vero exsuperat secundas, tertias, quartas, quintas aggregabis; et si multipliciores sunt
divisore eadem regula diminuentur: similiter vero et singulares compositi ad
dividendum aggregabuntur. [ ... ]
24
Qui Gerberto presenta la divisione con un dividendo e un divisore entrambi di due cifre.
L'idea di base è di base è approssimare il divisore con il multiplo di 10 immediatamente
successivo ad esso. Si divide poi il numero delle decine del dividendo per il numero delle decine di
questo multiplo e si ottengono così il primo quoziente parziale e le decine del primo resto parziale.
Si moltiplica il quoziente parziale per (10 le unità del divisore) e si aggiungono al prodotto così
ottenuto le unità del divisore e il primo resto parziale. Se la somma è un numero maggiore o uguale
del divisore si itera il procedimento.
La preparazione dell'abaco è la seguente: dividendo nella seconda traccia, divisore nella prima
traccia e, sopra di esso, la differenza fra 10 e le unità (del primo ordine) del divisore. I calcoli
successivi vengono fatti nella terza traccia, mentre i quozienti parziali sono posti nella quarta.
Esempio. 73 : 16
Il numero per cui si devono dividere le decine del dividendo è 2 (perché si approssima 16 con 20)
X
1
I
4
6
7 3
1
1
3
2
3
(1)
X
1
I
4
6
7 3
2 5
3
(2)
X
1
I
4
6
7 3
5
4
3
1
(3)
X
1
I
4
6
7 3
9
3
1
(4)
X
1
I
4
6
7 3
9
4
(5)
24 GERBERT, Libellus de numerorum divisione, op. cit., pp. 352-353. Traduzione. “Se vorrai dividere per un numero
composto da decine e unità o formato solo da decine, considera da che parte [cioè da quale decina N.d.T.] giungano
le unità del divisore. Infatti le unità della seconda decina di rapportano con la metà del dividendo, nella terza con un
terzo [del dividendo], nella quarta con un quarto, nella quinta con un quinto ecc.; cioè la differenza fra le unità del
divisore e dieci saranno moltiplicate per due, tre, quattro. Aggregherai ciò che supera la seconda, terza, quarta,
quinta parte, e se la somma sarà più grande del divisore, la si ridurrà con la stessa regola. Allo stesso modo le unità
saranno aggiunte al [nuovo] numero da dividere.”
13
Il procedimento corrisponde ai seguenti passaggi matematici.
73 : 16 = (70 + 3) : 16 = (7 x 10 + 3) : 16 = ((3 x 2 + 1) x 10 + 3) : 16 = ( 3 x 20 + 10 + 3) : 16 =
= (3 x (16 + 4) + 10 + 3) : 16 = (3 x 16 + 3 x 4 + 10 + 3) : 16 = 3 x 16 : 16 + (3 x 4 + 10 + 3) : 16 = 3 + 25 : 16 =
= 3 + (20 + 5) : 16 = 3 + (16 + 4 + 5) : 16 = 3 + 16 : 16 + (4 + 5) : 16 = 3 + 1 + 9 : 16 = 4 + 9 : 16 Q = 4 R = 9
Ci sono altri numerosi casi esaminati da Gerberto e in essi si usa ancora un metodo “con
sottrazione”. Trattati dell'abaco di epoca successiva presentano anche una divisione “senza
sottrazione” simile a quella attualmente usata.
L'ADDIZIONE
Come detto in precedenza, nei manoscritti più antichi, attribuiti a Gerberto e ai suoi discepoli,
compaiono unicamente le operazioni di moltiplicazione e di divisione. Troviamo invece una
descrizione dello svolgimento dell'addizione con l'abaco nel manoscritto dell'inizio del 1200 prima
citato.
Purgare arcus est quando, pro multis caracteribus, unus solus caracter ponitur
secundum summulas numerorum qui in eis caracteribus scribuntur. Ponitur autem unus
caracter pro multis quandoque in eodem arcu, quandoque in diverso. Unus pro multis
in eodem arcu, quando tota summa quæ in multis continetur digitum non excedit; unus
pro multis in diverso arcu, quando de summa multorum crescit articulus solus, ut X, vel
XX, vel aliquis alius. Et semper ille articulus ponitur in proximo sibi diverso. Si vero ex
summa multorum crescit digitus et articulus, digitus manet et articulus transferetur. Et
ita ponuntur multi pro multis. Hanc purgationem semper et in multiplicatione et in
divisione, ab inferioribus tenendo ad superiora , incipere debemus.
25
Il procedimento sembra molto simile a quello che usiamo attualmente.
L'autore fa poi seguire alla regola generale un esempio, il calcolo di 1.800 + 12.000 + 12.000 +
80.000. Ecco cosa scrive.
CM XM M C X I
1 8
1 2
1 2
8
Abaco con i quattro addendi
dell'esempio
Quia in centeno nihil est purgandum, cum unus solus
caracter in eo sit, qui octonario inscribitur, transeamus ad
millenum in quo sunt duo binarii et unitas, et pro illis quinarium
ponamus. In XM est octonarius et due unitates; unde efficitur
articulus, X scilicet, et idcirco illis remotis, scilicet VIII et duabus
unitatibus, transfertur unitas, ea ratione qua supra diximus
debere transferri unitatem pro denario, binarium pro XX, et
cæteris [ ... ] His ita translatis, ecce habemus unitatem in CM;
quinarium, in M; octonarium, in C. [ ... ] surget hæc summa:
centum quinque milia et octingenta.
26
25 CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus , cit., p. 240. Traduzione: “La ripulitura di una colonna avviene quando si pone
un unico simbolo al posto di molti simboli utilizzando la somma dei numeri che sono indicati da quei simboli.
Inoltre si pone un solo simbolo al posto di molti talvolta nella stessa colonna, talvolta in una diversa. Un valore al
posto di molti nella stessa colonna quando tutta la somma dei simboli non va oltre un digitus; uno al posto di molti
in una diversa quando nella somma di molti cresce solo l'articulus, come per esempio 10, 20 o qualunque altro. E
sempre si pone quell'articulus nella colonna successiva. Se nella somma di molti compaiono un digitus e un
articulus, il digitus rimane [nella stessa colonna] e l'articulus vien spostato [in quella successiva]. E così sostituiamo
molti simboli con molti simboli. In questa ripulitura [riduzione N.d.T.], sia nella moltiplicazione che nella divisione,
dobbiamo sempre procedere dalle colonne inferiori a quelle superiori [cioè da destra a sinistra N.d.T.].
26 CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus , cit., p. 240. Traduzione: “Poiché non c'è niente da ridurre nella colonna delle
centinaia, siccome c'è un solo simbolo in essa, 8, passiamo alla colonna delle migliaia nella quale ci sono un'unità e
14
E' immediato osservare che il procedimento è quello attualmente usato. Lo stesso sembra valere
per l'operazione di sottrazione con l'abaco, di cui si trovano alcune spiegazioni in un manoscritto
inglese scritto intorno all'anno 1100
27
.
OSSERVAZIONI FINALI.
Anche se l'abaco di Gerberto permetteva di svolgere le quattro operazioni con i numeri naturali
sfruttando la rappresentazione decimale dei numeri in modo sostanzialmente uguale a quello
attualmente in uso, i gerbertisti non riuscirono a passare alla scrittura dei “nuovi” numeri e ai calcoli
scritti, probabilmente a causa alla mancata introduzione dello zero. Tra il periodo dell'insegnamento
di Gerberto e la comparsa del testo Liber abaci di Fibonacci passarono più di due secoli. In quel
lasso di tempo l'uso dell'abaco si trasmise nelle scuole dei monasteri e delle cattedrali, come
testimoniano le numerose copie dei manoscritti dei gerbertisti presenti in Europa
28
, ma fu limitato
in quell'ambito (tanto che pare fosse chiamato l' “abaco dei monaci”).
BIBLIOGRAFIA
Segnalo innanzitutto come introduzione all'opera scientifica di Gerbert :
MATERNI , Marta, Attività scientifiche di Gerberto d'Aurilliac, Archivum Bobiense, XXIX (2007),
(liberamente scaricabile da internet)
Ho inoltre consultato i libri sotto indicati. L'asterisco indica i testi liberamente
consultabili/scaricabili da internet.
BERNELIN, BAKLIOUCHE, Béatrice, CASSIUT, Jean, Libre d'abaque, Editions des Régionalismes,
Cressé 2011
BORZACCHINI, Luigi, Il computer di Ockham: genesi e struttura della rivoluzione scientifica,
Dedalo, Bari 2010
BUBNOV, Nicolaj , Gerberti Opera Mathematica (972 1003) , R. Friedländer & Sohn,
Berlino1899 (*)
CHASLES, Michel, Règles de l'Abacus, in Compte rendu des séances de l'Académie des sciences,
XVI 1843 (*)
due volte due e al loro posto mettiamo cinque. Nella colonna dei diecimila ci sono un otto e due unità, dai quali
risulta un articulus, cioè dieci, e quindi, tolti questi numeri, cioè otto e le due unità, viene trasferita un'unità [nella
colonna seguente, per la regola che abbiamo detto sopra che si deve trasportare un'unità per dieci, due unità per venti
ecc. […] Fatto questo spostamento una unità nella colonna dei diecimila, cinque in quella delle migliaia, otto in
quella delle centinaia [… ] Risulta questa somma: 105.800.”
27 Oxford. St John's College. MS 17; fol. 27v. The Calendar and the Cloister: Oxford, St John's College MS17. 2007.
McGill University Library. Digital Collections Program. http://digital.library.mcgill.ca/ms-17/folio.php?
p=42r&showitem=42r_8Math_1dAdditionalMaterial ; vedere anche la successiva sitografia.
28 Vedere il testo di Bubnov e l'esempio indicato nella sitografia.
15
FOLKER, Menso, The names and forms of the numerals on the abacus in the Gerbert tradition, in
Atti del congresso internazionale di Bobbio, Auditorium di S. Chiara, 28-30 settembre 2000,
Archivium Bobiense, Bobbio 2001
FRIEDLEIN, Gottfried, [Die ] Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Römer und
des christlichen Abendlandes, Verlang von Andreas Deichert, Erlangen 1869 (*)
GERBERT, HAVET, Julien, Lettres de Gerbert (983-997), Alphonse Picard ed., Parigi 1889 (*)
GERBERT, RICHÉ, Pierre, CALLU, Jean-Pierre, Correspondance, II, Les Belles Lettres, Parigi 2008, p.
662-708
IFRAH, Georges, Storia universale dei numeri, Mondadori, Milano 1989
OLLERIS, Alexandre, Œuvres de Gerbert, pape sous le nom de Sylvestre II, , Thimbaud, Clermont-F.
1867 (*)
RICHÉ, Pierre, Il papa dell'anno mille – Silvestro II, Milano 1988
SITOGRAFIA
Oxford. St John's College. MS 17; fol. 27v. The Calendar and the Cloister: Oxford, St John's
College MS17. 2007. McGill University Library. Digital Collections Program.
http://digital.library.mcgill.c a /ms-17/ (ultimo accesso il giorno 22/06/19)
http://digital.library.mcgill.ca/ms-17/folio.php?p=41v&showitem=41v-42r_8Math_1aAbacusTable
e pagine seguenti. (ultimo accesso il giorno 22/06/19)
https://www.academia.edu/27300766/Descriptions_and_Images_of_the_Early_Medieval_Latin_Ab
acus (ultimo accesso il giorno 28/09/19)
British Library Add MS 17808 Scientific treatises on Music, Mathematics, Astronomy and
Astrology
https://manuscrits-france-angleterre.org/view3if/pl/ark:/81055/vdc_100059055158.0x000001/f120
qui si trova l'immagine iniziale di un manoscritto del Liber abaci di Bernelinus. Seguendo le
indicazioni, si può esaminare tutto il testo. (ultimo accesso il giorno 01/10/19)
16