CAPITOLO DECIMO

Inizia il capitolo decimo delle società costituite tra consoci.
pg.135


Ladri, maiali e cammelli
(X.1) Q
ualora invece si verificasse il caso di alcuni soci che hanno costituito una società, nella quale ciascuno di essi avrà avuto in modo diseguale la propria parte, e con questa stessa società abbiano guadagnato una qualche quantità; avranno voluto dividere tra loro questa quantità secondo le loro parti. E si sarà voluto sapere quanto spetti di questo profitto a ciascuno di loro; scrivi la parte del primo socio in cima alla tavola nella parte destra; poi sulla stessa riga verso sinistra ingegnati a porre in ordine le parti degli altri; il profitto, poi, che avranno ricavato [ scrivilo ] sull'altro capo della tavola, sulla stessa riga, cioè sulla parte sinistra. Allora unirai le parti di tutti i soci in una sola, e riporterai il totale unito. Dividerai per esso una ad una, le moltiplicazioni della parte di ciascun socio per tutto il profitto, e così avrai ciò che a ciascuno spetta di questo profitto. E perché tutto ciò sia reso più evidente, lo dimostreremo in diverse parti: in primo luogo nel caso di una società tra due uomini nella prima parte; tra tre uomini nella seconda; quattro nella terza parte; inoltre poi, nella quinta parte termineremo con le divisioni di alcuni numeri in parti di rotti nel modo delle società.

Si suppone che il guadagno sia distribuito proporzionalmente all’investimento di ciascuno.

C è il capitale investito e
p(C) è il guadagno prodotto da C
A è la parte di un socio
p(A) è il suo guadagno

C : A = p(C) : p(A)

Sulla società tra due uomini.
(X.2) S
ia detto di due uomini, che costituirono una società, di questi uno mise in detta società 18 lire di una qualche moneta; e l'altro ne mise 25 lire; e ne fu ricavato un profitto di 7 lire; ci si chieda quanto di queste 7 lire spetti a ciascuno di loro, farai così: scriverai la parte del primo socio, cioè 18 lire, in cima alla tavola nella parte destra; poi verso sinistra, nella stessa linea, le 25 lire; scrivi il profitto, cioè le 7 lire; di nuovo a sinistra, ponilo a piacere separatamente da essi, come qui in basso si mostra. E unisci insieme le parti di entrambi i soci, cioè 18 con 25, farà 43; ponilo nel riquadro sotto il 18 e traccia una linea di frazione sopra il 43, e un altro 43 con la linea di frazione ponilo sotto al 25, come si mostra nel riquadro. Poi moltiplica la parte del primo socio, cioè 18, per il profitto, cioè per 7, farà 126; dividilo per il 43, che è posto sotto il 18, farà
40
43
2 lire e tanto di questo profitto spetta al primo socio, cioè 2 lire, e 18 soldi, e
11
43
7 [NdT]
11 nel testo è un chiaro errore
denari. Il resto del profitto spetta all'altro: tuttavia, affinché si calcoli in questo modo, moltiplica la parte dell'altro socio per il profitto, cioè 25 per 7, farà 175; dividilo per il 43 che è posto sotto il 25, farà
3
43
4 lire, e tanto spetta al secondo, cioè 4 lire, e
32
43
16 denari; se a questi aggiungerai 2 lire, e 18 soldi, e i
11
43
7 denari che spettano al primo, si avranno le stesse 7 lire.

Sullo stesso


pg.136

(X.3) P
ossiamo fare tutto ciò, in un altro modo, cioè che tu ottenga con una sola moltiplicazione e con una sola divisione i soldi e i denari, che spettano a ciascuno in proporzione al proprio profitto, come insegnammo a fare nei grandi commerci precedenti; ovvero, quando devi moltiplicare il profitto per la parte di ciascuno, e dividere per 43; moltiplica prima di tutto il profitto, cioè 7 per 12; e per 20, cioè per 240; poiché 7 sono lire di denari; e così facciamone denari, farà 1680 denari; ponili sopra il 7, come si vede in quest'altra descrizione. E moltiplica gli stessi denari, cioè 1680 per 18, e dividi il prodotto per
1
0
0
43
12
20
, farà, per la parte del primo uomo,
11
7
18
43
12
20
2 lire, ponile nel riquadro sotto il 18 come qui si mostra: e moltiplica 1680 per 25, e dividi il totale per
1
0
0
43
12
20
, farà
32
4
1
43
12
20
4; e tanto spetta al secondo, ponili nel riquadro sotto il 25: e si può sapere in due modi se questo risultato è corretto. Il primo dei metodi è quello stesso, che mostrammo nelle precedenti compravendite: cioè che prenderai il resto di quella moltiplicazione che riguarda il primo socio, e lo conserverai; e saprai grazie ad essa, se la sua parte di profitto sussiste, lo stesso farai con l'altro socio. L'altro modo è quello di sommare la parte di profitto di ciascuno in un solo numero: e se avrà fatto tutto il profitto, saprai di aver proceduto correttamente in entrambi.
(X.4) E allora impara con una regola ottima e rigorosa in che modo debbano essere aggiunti insieme i profitti: cioè traccia sotto il profitto, nel riquadro una linea di frazione, sotto la quale poni i rotti che sono sotto gli altri
1
0
0
43
12
20
; poi prendi l'11 che è sopra il 43 della frazione del primo socio, e sommalo al 32, che è sopra il 43 del secondo socio, farà 43; dividilo per 43, farà 1, e resta 0: poni così lo 0 sopra il 43, che è nella frazione posta sotto il profitto, e tieni l'1 in mano; sommalo con il 7, che è sopra il 12 della frazione del primo [ socio ] e con il 4 che sta sopra il 12 della frazione del secondo, farà 12 denari che devi dividere per 12, farà 1 soldo, e resta 0, poni lo 0 sopra il 12 e tieni in mano l'1; sommalo con i 18 soldi, che stanno sopra il 20 della frazione del primo [ socio ] e con l'1, che sta sopra il 20 della frazione del secondo, farà 20 soldi, dividili per 20, farà 1 lira, e resta 0, poni lo 0 sopra il 20, e tieni l'1 in mano; sommalo con le 2 lire; che sono davanti alla frazione del primo, e con il 4, che sta davanti alla frazione del secondo, farà 7 lire; ponile sopra la frazione del profitto; e questo dobbiamo fare perché si abbiano 7 lire, e non rimanga nulla sopra la linea di frazione.

Sullo stesso
pg.137



(X.5) U
gualmente due uomini fecero una società: uno di essi mise 15 lire, e 7 soldi, cioè
7
20
15 lire; e l'altro mise 19 lire; e insieme hanno lucrato 14 lire e 14 soldi e 5 denari, cioè
5
14
12
20
14 lire. Ci si chiede quanto spetti a ciascuno del prescritto profitto: scrivi il problema come qui si mostra, e moltiplica il 15 per il 20, che sta sotto la linea di frazione, e somma il 7 che sta sopra il 20, farà 307 soldi, ponili sopra
7
20
15 nel riquadro. Ancora moltiplica per 20 le 19 lire dell'altro socio affinché tu faccia soldi dalle 19 lire, come facesti per le
7
20
15 lire, farà 380 soldi, ponili a sopra il 19 nel riquadro. Allora sarà chiaro che il primo mise 307 soldi nella suddetta società; e l'altro mise similmente 380 soldi. Per cui somma 307 con 380, farà 687. Ancora moltiplica le 14 [NdT]
11 nel testo è un chiaro errore
lire, cioè il profitto per la sua frazione, farà 3533 denari; ponili sopra lo stesso profitto, e moltiplica 307 per 3533, e dividi il totale per la regola di 687, che è
1
0
3
229
e per i rotti, che sono sotto la frazione del lucro, cioè per
1
0
12
20
, farà
2
181
6
11
3
229
12
20
6 lire per la parte del lucro che spetta al primo socio, ponilo nel riquadro sotto di esso. Poi moltiplica 380 per 3533 e dividi il loro totale per
1
0
0
0
3
229
12
20
, farà
1
47
10
2
3
229
12
20
8 lire, come parte del profitto dell'altro secondo socio, che poni in corrispondenza di questo socio.

Sullo stesso
(X.6) U
gualmente due uomini fecero una società, di questi uno mise 24 lire, e 11 soldi, e 8 denari, cioè
8
11
12
20
24 lire, e l'altro mise 41 lire e 9 soldi, cioè
9
20
41 lire, e furono lucrati
3
8
31 lire. Si chiede quanto spetti a ciascuno del sovrascritto profitto. Scrivi il problema, come qui si mostra, e moltiplica 24 per la sua frazione, farà 5900 denari, ponili sopra
8
11
12
20
24. Ancora fa in denari le
9
20
41 lire, così moltiplica 41 per la sua frazione cioè moltiplica per 20, e somma il 9, farà 829 soldi; di questi fanne denari, cioè moltiplicali per il 12, che è sotto la linea di frazione dell'altro socio. Farà 9948 denari, che poni nel riquadro sopra il 41, da ciò sarà chiaro che il primo mise 5900 denari, e l'altro mise 9948 denari; e così ingegnati sempre a ridurre simili le parti dei soci: poi moltiplica 31 per 8 e somma il 3, farà 251; ponilo sopra il
3
8
31, e somma 5900 a 9948, farà 15848, di cui troverai la regola, che è
1
0
0
7
8
283
, alla quale unisci il rotto, che è nel lucro, cioè
1
8
, farà
1
0
0
0
7
8
8
283
, ingegnati a sistemare questa frazione affinché in cima ad essa si abbia
1
0
12
20
; poiché nel profitto sono poste le lire, se in esso fossero posti i soldi, dovremmo avere solo
1
12
in cima; e se fossero posti bizanti ciprioti, o saraceni [NdT]
1 bizante cipriota o saraceno equivale a 24 carati
dovremmo avere
1
0
3
8
; se tareni [NdT]
1 tareno equivale a 20 grani
1
20
; e se nello stesso luogo si scrivessero bizanti Garbi [NdT]
1 bizante di Garbo equivale a 10 miliari
, dovremmo avere
1
10
in cima alla frazione, come abbiamo detto spesso nelle transazioni commerciali.
Per cui poiché nella prescritta frazione
1
0
12
20
non hai nulla se non solo l’
1
4
di
1
12
e l’altro
1
4
di
1
20
, prendiamo questi due quarti dai due ottavi che sono sotto la linea di frazione, e di questi ci rimane un altro
1
4
nella frazione; e così ci mancano
1
3
di
1
12
e
1
5
di
1
20
, cioè
1
15
per entrambi. Per cui poni il 15 sopra il 251, e moltiplica 251 per 15, farà 3765; ponilo sopra il 251, e poi avrai
1
0
0
0
0
4
7
283
12
20
nella sistemazione della frazione della divisione: poi moltiplica 3765 per 5900, e dividi il prodotto per
1
0
0
0
0
4
7
283
12
20
, e avrai la parte di lucro del primo socio. Ugualmente moltiplica 3765 per 9948, e dividi per la medesima frazione, e avrai la porzione di lucro dell'altro socio, come si mostra sopra nel riquadro.
pg.138 (X.7) E ancora due uomini fecero una società nella quale il primo mise
1
2
112 lire, e l'altro
1
5
237 lire; e ne ricavarono un lucro di
1
8
2
3
328 lire: si chiede quanto del suddetto lucro spetti a ciascuno: scrivi il problema come qui si mostra; poi moltiplica 112 per 2 e somma l'1, farà 225 mezzi; moltiplicali per il 5, che sta sotto la linea di frazione dell'altro socio, farà 1125 decimi; e questa è il metodo che abbiamo insegnato nelle addizioni dei numeri con i rotti: poni quindi il 1125 sopra
1
2
112. Ugualmente fa decimi dall'altro socio così: moltiplicherai 237 per 5, e sommerai l'1, che sta sopra al 5, farà 1186 quinti; moltiplicali per il 2 che è sotto la linea di frazione del primo socio, farà similmente 2372 decimi, che poni sopra
1
5
237 [NdT]
537 nel testo è un chiaro errore di scrittura
: quindi uno mise 1125 decimi di una cosa, cioè di una lira; e l'altro mise 2372 decimi della stessa cosa. Poi moltiplica il profitto, cioè 328, per le sue frazioni, farà 7891 ventiquattresimi: e poi somma 1125 con 2372, farà 3497; e per la sua regola, che è
1
0
13
269
, e per i rotti che sono nel profitto, cioè
1
0
3
8
, dividerai il prodotto di 7891 per 1125, e avrai la parte di profitto che spetta al primo socio: poi viene sistemata la frazione della divisione in modo che abbia in cima
1
0
12
20
; ma poiché lì non hai nulla di questo
1
0
12
20
, se non solo
1
0
3
8
, cioè
1
0
2
12
, sappiamo che ci manca
1
10
; perciò moltiplicherai 7891 per 10, farà 78910; e ciò lo moltiplicherai, come dicemmo, per 1125 e dividerai per
1
0
0
0
13
269
12
20
; ma prima di moltiplicare potrai semplificare
1
13
nella moltiplicazione e nella divisione; perché 78910 si può dividere interamente per 13: per cui se avremo diviso 78910 per 13, farà 6070; questo 6070 se lo avremo moltiplicato per 1125 e lo avremo diviso per
1
0
0
269
12
20
, saremmo giunti alla stessa quantità: perciò moltiplicherai ancora 6070 per 2372, e dividerai per
1
0
0
269
12
20
e avrai la porzione di profitto dell'altro socio, che è
84
4
0
269
12
20
223, come si mostra nel riquadro.


Il profitto per il primo socio è

185
5
15
269
12
20
105
Verifica dello stesso
(X.8) D
unque se con la somma delle parti di profitto di entrambi volessimo essere certi che ciò che abbiamo fatto sia corretto oppure no; guarda quanti denari siano
1
8
2
3
di una lira: ebbene sono 15 soldi, e 10 denari, riducili in parti di una lira, sarà
10
15
12
20
, conservali: poi traccia una linea di frazione sotto il profitto, sotto la quale poni
1
0
0
269
12
20
, e somma il 185, che sta sopra il 269; della linea di frazione del primo socio; con l'84, che sta sopra il 269 della linea di frazione del secondo socio, farà 269 che dividi per 269, farà 1, e resta 0: poni lo 0 sopra il 269, che è, sotto la linea di frazione posta sotto il profitto e tieni l'1; sommalo con i 5 denari, che sono sopra il 12 della frazione del primo socio con i 4 denari, che sono sopra il 12 della frazione del secondo, farà 10 denari; ponili sopra il 12; e somma i 15 soldi, che sono sopra il 20 della divisione del primo socio con lo 0, che è sopra il 20 della frazione del secondo, farà 15 soldi, ponili sopra il 20 che è all'inizio della linea di frazione posta sotto la frazione del profitto: poi somma le 105 lire con le 223 lire, farà 328 lire; che porrai davanti alla linea di frazione sotto il profitto, e così avrai
10
15
12
20
328 lire come loro somma, cioè
1
8
2
3
328 lire, come fu indicato nel loro profitto.
(X.9) U
gualmente due uomini fecero una società: uno di essi mise
1
4
23 bizanti, l'altro invece mise
5
8
31 bizanti; e furono guadagnati 47 bizanti, e 11 karati, cioè
11
24
47 bizanti; si chiede quanto spetti a ciascuno del profitto suddetto: scrivi il problema come qui si mostra, e moltiplica i 23 bizanti per la sua frazione, farà 93 quarti; che dovresti moltiplicare per il rotto della frazione dell'altro socio, cioè per 8: ma poiché ciascun rotto di ciascun socio si trovano nell'8, non occorre moltiplicare il 93 se non solo per la quarta parte di 8, cioè per 2, farà 186 ottavi di un bizante, ponili nel riquadro sopra
1
4
23. Ugualmente moltiplica il 31 per la sua frazione, farà 253 ottavi di un bizante: e, essendo ottavi, come il 186 dell'altro socio, non occorre moltiplicarlo per il rotto del primo socio, o per qualunque parte di esso. Quindi poni 253 sopra
5
8
31; e allora il problema sarà questo, che uno di loro mise 186 e l'altro mise 253: ebbene possiamo trovare 186 e 253 in un altro modo, cioè capendo qual è il numero più piccolo in cui si trovino
1
4
e
5
8
, cioè nell'8; per esso moltiplica
1
4
23, farà, come abbiamo detto prima, 186. Ugualmente moltiplica
5
8
31 per 8, farà, come abbiamo detto, 253: perciò somma 186 con 253, farà 439; e per esso, mancandone la regola [ essendo primo ] , dividi la moltiplicazione di 186 per l’intero profitto, e avrai la parte di profitto del primo socio, e ciò si fa così: moltiplica i bizanti del profitto, cioè 47 per la loro frazione, cioè per 24, e somma 11, farà 1139 karati; moltiplicali per 186, farà 211854; dividili per 439 e per 24, cioè per
1
0
0
439
3
8
, farà
256
2
0
439
3
8
20 bizanti, come si vede nel riquadro. Ugualmente, nello stesso modo, moltiplica 253 per 1139 e dividi il loro prodotto per
1
0
0
439
3
8
, e avrai la porzione di profitto dell'altro socio, come si mostra nel riquadro qui sotto.

Sullo stesso.


pg.139
(X.10) U
gualmente c'erano due uomini, uno dei quali mise
1
7
1
2
82 tareni, e l'altro mise
1
5
2
3
97 tareni e sono stati guadagnati
1
9
3
4
112 tareni: scrivi il problema, come qui si mostra, e moltiplicherai il profitto, cioè 112, per le sue frazioni, farà 4063; ponilo sopra tale profitto: poi moltiplica la parte del primo socio per le sue frazioni, farà 1157 quattordicesimi; moltiplicali per i rotti che sono sotto le linee di frazione dell'altro socio, cioè per 3 e per 5, o per 15, farà 17355 duecentodecimi. Nello stesso modo moltiplica la parte del secondo socio, cioè 97 per le sue frazioni, farà 1468 [NdT]
1467 è un chiaro errore
quindicesimi ; moltiplicali per i rotti che sono sotto la linea di frazione del primo socio, cioè per 2, e per 7, o per 14, farà 20552, sempre duecentodecimi, ponili sopra
1
5
2
3
97: e sappi perché abbiamo fatto duecentodecimi dalle parti di entrambi: perché in 210 si trovano tutti i rotti, e non possono essere trovati in qualche altro numero più piccolo, perché i rotti non hanno tra loro nessun fattore in comune. Dunque il primo mise 17355 e l'altro mise 20552. Perciò somma 17355 e 20552, farà 37907; e devi dividere per questo numero, e per i rotti che sono nel profitto; se questi si inseriscano tutti in una sola frazione, sarebbero così espressi
1
0
0
4
9
37907
. Ma poiché il profitto è dato in tareni, è necessario che tu abbia
1
20
in cima alla linea di frazione della divisione. Perciò non potendolo calcolare tutto con la stessa frazione; poiché da essa non hai che solo
1
4
, moltiplicherai il numero del profitto, cioè 4063, per 5, farà 20315; ponilo sopra 4063, e somma
1
5
alla frazione della divisione, e farai
1
20
da esso, e da
1
4
che è nella frazione. E poni questo
1
20
in cima alla frazione; e così avrai in questa frazione
1
0
0
9
37907
20
; poni questa frazione sotto il primo socio e un'altra similmente sotto il secondo: e moltiplicherai 20315 per 17355, e dividerai per la regola posta sotto il primo socio; e avrai la parte di profitto del primo socio. Ugualmente moltiplicherai lo stesso 20315 per il numero del secondo socio, cioè per 20552, e dividi per la regola posta sotto la parte del suo profitto, come si mostra nel riquadro.



Sulla società tra tre uomini.
pg.140 (X.11) T
re uomini fecero una società: il primo di essi mise 17 lire, il secondo 29 lire, il terzo 42 lire; e furono guadagnate 100 lire: per primo scrivi il problema, come qui si mostra: poi somma le parti di questi in una sola, cioè le 17 lire con le 29, e con le 42, farà 88 lire, del quale 88 devi ricavare la regola, che è
1
0
8
11
; e moltiplicherai la parte di ciascun socio per il profitto, e dividerai per
1
0
8
11
e avrai la parte di profitto spettante a ciascuno. E ancora se avrai voluto ricavare in una sola moltiplicazione e in una sola divisione le lire, i soldi e i denari del profitto spettanti a ciascuno, troverai ciò che ti manca di
1
0
12
20
nella frazione della suddetta divisione, cioè in
1
0
8
11
: avendo in essa solo
1
8
degli
1
0
12
20
scritti sopra, ti manca
1
30
di entrambi. E poiché
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0
12
20
è la regola dei denari [ che compongono ] una lira, cioè di 240, dividi 240 per 8, farà 30, che è ciò che ti manca di
1
0
12
20
: come abbiamo detto prima: se lo uniremo a
1
0
8
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, avremo
1
0
0
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12
20
. Perciò moltiplicherai il profitto, cioè 100 per 30, in modo che come si è aggiunto il 30 nella divisione, così lo si aggiunga nella moltiplicazione, farà 3000; ponilo sopra il 100 nel riquadro; e moltiplicherai le 17 lire del primo socio per 3000, e dividerai per
1
0
0
11
12
20
, farà
4
4
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12
20
19 lire. Ugualmente moltiplica le 29 lire del secondo socio per 3000, e dividi per
1
0
0
11
12
20
, farà
1
1
19
11
12
20
32 lire; ponili nel riquadro sotto il secondo socio, cioè sotto il 29: e moltiplica il 42, cioè la parte del terzo socio, per 3000, risulterà 126000 che dividi per
1
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0
11
12
20
, farà
6
6
14
11
12
20
47 lire, ponile nel riquadro sotto il 42, cioè sotto il terzo socio. E allora se, con la regola, avrai voluto sommare in un unico la parte di profitto di ciascuno, lo farai secondo ciò che abbiamo mostrato sopra per le società di due soci, cioè ponendo
1
0
0
11
12
20
sotto il 100, cioè sotto il profitto: poi somma il 6 che sta sopra l'11 nella frazione del profitto del terzo socio con l'1, che sta sopra l'11, nella frazione del profitto del secondo, e con il 4, che sta sopra l'11, nella frazione del profitto del primo, farà 11; dividilo per l'11 che è sotto la linea di frazione posta sotto il 100, farà dunque 1, e resta 0: poni lo 0 sopra l'11 e conserva l'1 in mano; ad esso somma il 6, e l'1, e il 4, che sono sopra il 12 di tutte e tre le frazioni, farà 12 denari; dividili per 12, che è sotto la linea di frazione posta sotto il 100, farà 1 soldo, e resta 0: poni lo 0 sopra il 12 e tieni in mano 1 soldo; somma l’1 con i 14 soldi, e i 19, e i 6, che sono sopra il 20 di quelle tre frazioni, farà 40; dividilo per 20, farà 2 lire, e resta 0: poni lo 0 sopra il 20, e tieni in mano il 2; con cui sommerai le 47 lire, e le 32 lire, e le 19 lire, che sono davanti alle tre frazioni scritte prima, farà 100 lire, come è consono.

Sullo stesso
(X.12) U
gualmente ci sono tre uomini, dei quali uno mise
7
20
69 lire, e un altro mise
11
20
83 lire, e anche un terzo mise 91 lire, e furono guadagnate 112 lire: scrivi il problema come qui si vede, e allora calcolerai soldi dalla parte di ciascun socio così: moltiplica 69, cioè la parte del primo socio per la sua frazione, cioè per 20, e somma in più il 7, farà 1387 soldi, scriverai sopra
7
20
69 lire. Se avrai fatto la stessa cosa per la parte del secondo socio, avrai sopra di essa 1671 soldi. Allo stesso modo moltiplica le 91 lire per 20, affinché tu ne ottenga i soldi, farà 1820 soldi, ponili sopra le 91 lire. E nota che, se nelle parti del loro capitale, o anche in una sola di queste, fossero posti denari, con queste lire bisognerebbe fare denari della parte di ciascun socio, come quando facemmo soldi in un altro esempio, oltre ai soldi, che sono con le loro lire. Dunque uno mise 1387 soldi, un altro 1671 soldi, il terzo 1820 soldi. Perciò somma i soldi scritti prima in un solo numero, farà 4878 soldi, la cui regola è
1
0
0
3
6
271
. E poiché è opportuno avere
1
0
12
20
in cima alla frazione della divisione, e di esso non abbiamo in questa frazione che
1
6
, sappiamo che ci manca
1
0
2
20
cioè 40; poni dunque 40 sopra il profitto; e moltiplicherai il 40 per lo stesso profitto, cioè per 112, farà 4480; ponilo sopra il 40, e sistemerai
1
0
2
20
nella frazione della divisione così:
1
0
0
0
3
271
12
20
: porrai questa frazione sotto ciascun consocio e moltiplicherai 4480 per 1387, e dividerai per
1
0
0
0
3
271
12
20
, farà
1
0
11
16
3
271
12
20
31 lire, come parte del profitto del primo socio. Ugualmente se moltiplicherai 4480 per 1671, e dividerai per
1
0
0
0
3
271
12
20
, avrai
0
263
3
7
3
271
12
20
38 come parte del profitto del secondo socio. Similmente se avrai moltiplicato 4480 per 1820 e avrai diviso per
1
0
0
0
3
271
12
20
, avrai la parte di profitto del terzo socio.




pg.141
(X.13) E possiamo trovare in altro modo a parte di profitto del terzo uomo dalle parti già trovate, cioè se sommi l'1, che è sopra il 3, nella frazione del primo socio con lo 0, che è sopra il 3 della frazione del secondo socio, farà 1; da questo fino al 3 che è sotto la frazione del terzo socio, manca il 2, ponilo sopra a quello stesso 3, e per i tre terzi completati una sola volta, tieni in mano 1, questo 1 è
1
0
0
271
12
20
di una lira: quindi somma questo 1 con lo 0, che è sopra 271 nella frazione del primo socio, e con il 263. che è sopra il 271 nella frazione del secondo socio, farà 264; dal quale, fino al 271, ne mancano 7, ponilo sopra il 271 della frazione del terzo socio: e poiché hai completato una volta 271, terrai solo un'unità in mano; questa unità è
1
0
12
20
di una lira; sommala con gli 11 denari, che sono sopra il 12 della frazione del primo socio, e con i 3 denari, che sono sopra il 12 del secondo, farà 15 denari; dai quali fino al doppio di 12, cioè fino al 24, mancano 9 denari; ponili sopra il 12 della frazione del terzo socio; e per aver completato il doppio di 12, terrai in mano 2, che è
2
20
di una lira, cioè 2 soldi; a questi somma i 16 soldi, che sono sopra il 20, della frazione del primo socio, e i 7 soldi che sono sopra il 20 della frazione del secondo, farà 25 soldi, dai quali fino ai 40 soldi, cioè fino al doppio di 20, mancano 15 soldi. E nota perché diciamo da 25 fino a 40, perché 25 è maggiore di 20: perciò se fosse maggiore di 40 avremmo chiesto la differenza, che c'è tra esso e il triplo di 20; e così intendi per tutti gli altri casi simili. Poni quindi i 15 soldi sopra il 20 della frazione del terzo socio; e per aver completato il doppio di 20 terrai in mano 2 lire; le sommerai alle 31 lire del primo socio, e alle 38 lire del secondo, farà 71 lire; da queste fino al profitto totale, cioè fino a 112 lire, mancano 41 lire; ponile davanti alla frazione del terzo socio, e avrai per la sua parte di profitto
2
7
9
15
3
271
12
20
41, come si mostra nel riquadro. E se vorrai fare la verifica di ogni cosa scritta sopra, verificherai non nel modo della prova precedente, poiché avendo ricavato la parte di profitto dell'ultimo socio con le parti di profitto degli altri due, non avresti potuto verificare simili casi nell'altro modo. Infatti la prova dell'11 del profitto del primo socio è 3 per 11, del secondo 8, del terzo 4, come è indicato nel riquadro sopra le parti stesse.

Sullo stesso.
(X.14) E se si proponga che il primo di loro abbia messo
1
3
69 lire, il secondo
1
4
83, il terzo
1
5
91 e che siano state guadagnate
7
20
127 lire: scritto il problema, come qui si mostra, puoi procedere in due modi. Con il primo metodo si trova il numero nel quale siano contenuti i rotti di cui si compongono le parti del loro capitale, cioè
1
5
1
4
1
3
, questo numero è 60, moltiplica per esso ciascuna parte cioè
1
3
69, e avrai sopra di esso 4160; e
1
4
83, e avrai sopra di esso 4995; e
1
5
91, e avrai sopra di esso 5472. O, con l'altro modo: moltiplica il 69 per la sua frazione, cioè per 3 e somma 1, farà 208; e moltiplica per 4, e per 5, che stanno sotto le restanti frazioni, farà similmente 4160. Ancora moltiplica 83 per 4, e somma 1, farà 333; e moltiplicalo per 5, che è sotto la linea del terzo socio, farà 1645; moltiplicalo per 3, che è sotto la linea del primo, farà similmente 4995. Ancora moltiplica 91 per 5, e somma 1, farà 456; moltiplicalo per 4; e per 3, farà 5472 che somma con 4995 e 4160, farà 14627. Per questi dividerai la moltiplicazione del profitto per i tre numeri scritti sopra, poiché si fa così: moltiplicherai le 127 lire per la loro frazione, farà 2547 soldi; ponili sopra le
7
20
20 lire, e li moltiplicherai per 12, per averle sotto la linea di frazione delle divisioni davanti al 20, che sta sotto la frazione del profitto, farà 30564; ciò lo moltiplicherai per 4160, e dividerai per
1
0
0
14627
12
20
, farà
8356
4
4
14627
12
20
36 come parte di profitto del primo socio. Ugualmente moltiplicherai 30564 per 4995, e dividerai similmente per
1
0
0
14627
12
20
, farà
5181
9
9
14627
12
20
43 come parte di profitto del secondo socio. Ugualmente se moltiplicherai 30564 per 5472, e dividerai per
1
0
0
14627
12
20
, avrai la parte di profitto del terzo socio.



pg.142
(X.15) E se desideri ricavare questa porzione del profitto dalle parti trovate degli altri due soci, somma l'8356 che sta sopra il 14627 della divisione del primo socio con il 5181 che sta sopra il 14627 della seconda frazione, farà 13537; dal quale per arrivare a 14627 ne mancano 1090, ponili sopra il 14627 nella frazione del terzo socio, e per aver completato una volta il 14627, riporterai l'1; a questo 1 sommerai il 4, che sta sopra il 12 della prima frazione, e il 9, che sta sopra il 12 della seconda frazione, farà 14 denari; dai quali fino al doppio di 12, cioè fino al 24, mancano 10 denari, ponili sopra il 12 della frazione del terzo socio; e per aver completato i 24 denari, riporterai in mano 2 soldi; a questi due soldi sommerai i 4 soldi, che stanno sopra il 20 della prima frazione, e i 9 soldi della seconda, faranno 15 soldi; dai quali fino a 27 soldi, cioè fino a completare una lira con i 7 soldi, che sono sopra la frazione del profitto, mancano 12 soldi; ponili sopra il 20 nella frazione del terzo socio, e terrai 1 per la lira completata. A questa sommerai le 36 lire del primo socio e le 43 del secondo, saranno 80 lire; dalle quali, fino a 127 lire, cioè fino al profitto, mancano 47 lire. Ponile davanti alla frazione del terzo socio, e avrai come parte del suo profitto
1090
10
12
14627
12
20
47, come si mostra più sopra nel riquadro.



Sulla società tra 4 uomini
(X.16) Q
uattro uomini fecero una società, di questi il primo mise
1
3
31 lire, il secondo
3
4
43 lire, il terzo
4
5
56 lire, il quarto
5
6
86 lire; e sono state guadagnate
7
9
12
20
126 lire: scritto il problema, come qui si mostra, moltiplica il profitto per la sua frazione, farà 30355 denari, scrivili sopra il profitto: poi, per ricavare le parti dei soci, le devi moltiplicare per i 30355 denari scritti prima, puoi procedere in due modi diversi. Nel primo modo, per ottenere il numero nel quale si ritrovino i rotti che sono nelle loro parti, [ usa ] il metodo della semplificazione, troverai che quel numero è 60. Moltiplicalo per ciascuna delle loro parti; e avrai 1880 per il primo socio, 2625 per il secondo, 3408 per il terzo, 5210 per il quarto. O altrimenti, secondo l'insegnamento di questa tecnica, moltiplica il 31 per la sua frazione, farà 94; moltiplicalo per il 4; e per il 5, che sono sotto le frazioni del secondo e del terzo socio, farà 1880 sessantesimi, come più sopra trovammo, sopra il primo socio nell'altro modo: non occorre moltiplicare questo numero per il 6, che sta sotto la frazione del quarto socio per
1
4
1
3
, che sono sotto le frazioni del primo e del secondo, nei quali sappiamo che sta tutto il 6. Ugualmente moltiplica il 43 del secondo socio per la sua frazione, farà 175 quarti; moltiplicali per il 5; e per il 3, che sono sotto le frazioni del terzo e del primo socio, farà similmente 2625 sessantesimi, come abbiamo trovato sopra il secondo socio; non occorre moltiplicarli per il 6 della frazione del quarto socio per il motivo scritto sopra. Ugualmente per ottenere la parte del terzo uomo, moltiplica il 56 per la sua frazione, farà 284 quinti; moltiplicali per il 6 che è sotto la frazione del quarto socio, farà 1704 trentesimi; moltiplicali per il 2, che sta nella regola del 4, che è sotto la frazione del secondo, farà 3408 sessantesimi; che non occorre moltiplicare, essendo sessantesimi, per il 2 che rimane nella regola dello stesso 4, ne per il 3, che è sotto la frazione del primo socio. E ancora, perché tu ottenga la parte del quarto socio, moltiplica l'86 per 6, e somma il 5, farà 521 sesti; moltiplicali per 5, e per 2 come nella dimostrazione scritta, farà 5210 sessantesimi, come trovammo con l'altro modo, quindi somma i quattro numeri trovati in uno solo, e farai i calcoli secondo quanto più sopra insegnammo; e così avrai le parti di profitto che spettano loro, come si mostra nel riquadro.

Sullo stesso.



pg.143


Ladri, maiali e cammelli




Segmento diviso in segmenti propozionali a quelli dati
(X.17) C'
erano quattro uomini, il primo dei quali mise
1
3
di un intero, un altro mise
1
4
, il terzo mise
1
5
, il quarto poi mise
1
6
; e ebbero insieme 60 soldi; ci si chiede quanto spetti a ciascuno di questi 60 soldi. Questo in realtà è il problema che si pone nel caso in cui quattro uomini, che hanno acquistato un maiale per 60 soldi, vogliano avere: il primo un terzo di quel maiale, il secondo un quarto, il terzo un quinto, il quarto un sesto. Perciò pagando il primo 20 soldi, per la terza parte del maiale, e il secondo, per la quarta parte, 15 soldi, e il terzo, per la quinta parte, 12 soldi, e il quarto per la sesta parte 10 soldi, e tutte queste somme insieme ammontano soltanto a 57 soldi, coloro che non sono competenti si meravigliano che rimangano da pagare 3 soldi dei 60 soldi; e chiedono chi di loro debba pagare quei 3 soldi. Infatti non considerano, che questi quattro uomini non comprarono tutto il maiale, perché
1
6
1
5
1
4
1
3
di un intero non fanno un intero, ma ne rimane
1
20
. Perciò dei 60 soldi ne resta similmente la ventesima parte, cioè 3 soldi. Per cui se ci fossero tre uomini, dei quali il primo comprasse la metà di quel maiale, e pagasse 30 soldi; e un altro comprasse un terzo, e pagasse 20 soldi, e un terzo comprasse un quarto, e pagasse 15 soldi; così si avrebbero avuto in totale 65 soldi, cioè 5 soldi in più dei 60 soldi ; questi 5 soldi sono la dodicesima parte di 60 soldi. e questo capita perché
1
4
1
3
1
2
fanno un dodicesimo più di un intero. E quindi per non pagare più o meno dei 60 soldi, conviene che i compratori, quanti che siano stati, comprino le parti che, quando saranno sommate insieme, facciano un intero. Per esempio: se i compratori fossero due, uno compri la metà, e l'altro l'altra metà; o uno
2
3
e l'altro
1
3
, e cosi via. E se fossero tre ciascuno compri un terzo, oppure il primo ne compri
1
2
, il secondo
1
3
, il terzo
1
6
. E se fossero quattro, ciascuno compri un quarto, oppure il primo compri
1
2
, il secondo
1
4
, il terzo
1
5
, il quarto
1
20
, e così puoi intendere in più casi. E affinché i 60 soldi scritti prima siano divisi tra i 4 uomini scritti sopra, così che da ciò non resti nulla; scrivi il problema come qui si mostra e vedi in quale numero si trovino
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6
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5
1
4
1
3
. Si trovano infatti nel 60,
1
3
del quale, che è 20, ponilo sopra
1
3
nel riquadro; e la quarta parte, cioè 15, ponila sopra
1
4
; e la quinta, cioè 12, ponila sopra
1
5
; e la sesta, cioè 10, ponila sopra
1
6
. Perciò dirai, che il primo mise 20, il secondo 15, il terzo 12, il quarto 10. E sommali insieme in uno solo, farà 57; per questo [ numero ] dividi [ il risultato ] della moltiplicazione di ciascuno dei quattro numeri scritti sopra con i 60 soldi; e così avrai per la parte del primo uomo
1
19
21 soldi, cioè 21 soldi e
12
19
di un denaro; e per la parte del secondo
15
19
15 soldi, cioè 15 soldi e
9
19
9 denari; e per la parte del terzo
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12 soldi, cioè 12 soldi e
11
19
7 denari. Similmente anche per la parte del quarto avrai
10
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10 soldi, come più sopra si mostra nel riquadro, che sono 10 soldi, e
6
19
6 denari. Trovate queste quattro parti, se le sommerai in una sola, ne avrai i 60 soldi scritti sopra.


20 × 60 : 57 = 21
1
19

Se 57 fosse 60
cosa sarebbe 20?




Termina il decimo capitolo.