pagina iniziale capitolo nono parte seconda del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 52 verso
parte seconda cap IX
 
Parte Seconda

Comincia la parte seconda del nono capitolo sull’acquisto della bolzonaglia
(PdA)
La parola, assai rara, ha origine longobarda (cf. tedesco Bolzen, ‘dardo’) e si riconnette al punzone usato per imprimere le monete (o per segnarle mettendole fuori corso), detto in antico francese bouson, in provenzale boujon, in antico spagnolo bozón e in italiano bolzone, proprio come la macchina da guerra con testa di ariete per abbattere le mura nemiche, che infatti nelle fonti latine medievali è chiamata bultio o bulzo, -onis. [PdA,pag.4]
in base a un metodo.
(IX.2.1 ; G: IX.88) S
i chiamano bolzonaglia
(PdA)
Alla moneta bolsonalia (o semplicemente bolsonalia), non si attribuisce altro valore se non quello dell’argento in esso contenuto ed è dunque è acquistata per essere fusa.  [PdA,pag.6]
quelle monete che non si comprano se non per quanto vale l’argento, contenuto in esse; in modo che fuse in un vaso sul fuoco, di lì si formino altre monete. Perciò noi mostreremo come si debba ricavare il loro prezzo col metodo del baratto, o che sia col peso della libbra, o che sia con la quantità.

Sull’acquisto di una quantità di bolzonaglia col peso della libbra.


pg.128 		(IX.2.2 ; G: IX.89) Q
ualcuno ha 11 libbre di una qualche bolzonaglia, di 2 once d’argento, cioè in una libbra di queste sono contenute due once d’argento; una libbra d’argento vale 7 lire di pisanini. E si chiede quanti pisanini tu debba avere da queste 11 libbre. Scrivi allora 1 in cima alla tavola per una libbra di bolzonaglia. E l’argento che si trova nella libbra stessa, cioè 2 once, scrivilo dopo [NdT]
Secondo la scrittura araba, a sinistra
sulla stessa linea, e sotto il 2 poni 12, cioè le once di una libbra d’argento; sulla stessa linea dopo porrai il prezzo di tale libbra, cioè 7 lire pisane; e sotto l’1 posto per [NdT]
nel testo ‘plus’= più, ci sembra un errore di scrittura
la bolzonaglia, porrai le 11 libbre della predetta bolzonaglia, in modo che ci sia bolzonaglia sotto bolzonaglia, come c’è argento sotto argento, cioè 12 once sotto 2 once, come è scritto in questo riquadro: moltiplica i tre numeri che sono rispettivamente di traverso, secondo il metodo del baratto, cioè 11 per 2 e il prodotto per 7, farà 154; dividilo per gli altri due numeri, cioè per 1 e per 12, farà
5
6
12 lire, cioè 12 lire, e 16 soldi, e 8 denari come prezzo delle dette 11 libbre di bolzonaglia.
Altrimenti lo stesso risultato si ottiene con il metodo della transazione economica, cioè vedi quanto argento c’è in quelle 11 libre di bolzonaglia, visto che in una libbra ci sono 2 once d’argento troverai che ci sono 22 once in quelle stesse 11 [NdT]
8 nel testo è un chiaro errore
libbre di bolzonaglia; e calcola il loro valore, sapendo che una libbra d’argento vale 7 lire, la descrizione di questa faccenda è questa.



Sullo stesso

(IX.2.3 ; G: IX.93) U
gualmente poniamo che si chieda quanti pisanini potrai avere da 11 once della detta bolzonaglia nel modo sovrascritto: poiché in questo problema si chiede il prezzo delle once di bolzonaglia, devi scrivere 12 once per una libbra di bolzonaglia, in modo che siano 11 once sotto 12 once, come si mostra in quest’altro riquadro: e moltiplica l’11 per 2 e per 7, farà 154; dividilo per 12, e per 12, cioè per
1
0
0
3
4
12
. Ma perché il posto in cui si deve scrivere il risultato della divisione è sopra le lire, cioè sopra il 7, dobbiamo moltiplicare 154 per 5; scrivi il 5 sotto la linea di frazione della divisione, e sistemalo con il 4 che è sotto la stessa virgola, farai da essi
1
20, saranno
2
4
1
3
12
20
1 lire pisane come valore di quelle 11 once.
(IX.2.4 ; G: IX.95) U
gualmente se si chiede quanto valgono 11 denari di cantaro [NdT]
1 libbra corrisponde a 12 once e
1 oncia a 25 denari di cantaro.
della stessa bolzonaglia; scrivi il valore in denari di una libbra, cioè 300, sopra gli 11 denari, in modo che i denari di cantaro siano sotto i denari di cantaro, come appare in quest’altro riquadro: e moltiplica 11 per 2; e per 7, farà 154, dividilo per 12, e per 300, cioè per
1
0
0
0
3
5
12
20
: farà
1
1
10
0
3
5
12
20
 , cioè
1
1
3
5
10 denari come valore di quegli 11 denari di cantaro.
(IX.2.5 ; G: IX.96) E di nuovo qualcuno ha
2
3
8 libbre di qualche bolzonaglia, che è di
1
4
2 once d’argento; e una libbra d’argento vale
9
20
7 lire di pisanini, e si chiede quanti pisanini potrà avere per queste
2
3
8 libbre di bolzonaglia. Scrivi il problema come qui si mostra, e moltiplica
2
3
8 per
1
4
2 che sono in traverso; e moltiplica il loro totale per
9
20
7, che è in traverso a 2; e dividi il totale per i due numeri restanti, cioè per 1, e per 12; e semplifica ciò che puoi semplificare, farà
1
1
2
2
12
20
12 come valore di quelle
2
3
8 libbre.
(IX.2.6 ; G: IX.97) S
e poi vorrai che le
2
3
8 libbre scritte sopra della detta bolzonaglia siano once; scrivi le once di una libbra di bolzonaglia, cioè 12, sopra le
2
3
8 once, come si mostra nel riquadro; e moltiplica 26 che sta sopra
2
3
8 per 9, che sta sopra
1
4
2; e per 149 ventesimi; e dividi il prodotto per 12 e per 12 e per tutti i rotti, cioè per 3, e per 4, e per 20; e semplifica ciò che puoi semplificare, farà
1
2
0
8
12
20
1 lira, cioè 20 soldi e
1
8
2 denari come valore di quelle
2
3
8 once di bolzonaglia.

Sullo stesso

pg.129 		(IX.2.7 ; G: IX.98) E ancora se vorrai che le
2
3
8 once scritte precedentemente siano denari di peso di cantaro, scrivi i denari di cantare di una libra, cioè 300, sopra i
2
3
8 denari, come si mostra in questo riquadro; e moltiplica 26 per 9; e per 149, e dividi per 300, e per 12, e per tutti i rotti; e semplifica ciò che puoi semplificare, farà
1
8
6
9
0
2
10
10
12
20
 cioè
1
8
6
2
10
10
9 denari, cioè poco più di
2
3
9 denari.

Sullo stesso.
(IX.2.8 ; G: IX.99) U
gualmente qualcuno ha 11 libbre, e 7 once, e
1
2
13 denari di peso di cantaro, cioè
1
13
7
2
25
12
11 libbre di una qualche bolzonaglia, nella cui libbra ci sono 5 once, e 7 denari di peso di cantaro, cioè
7
25
5 once; e una libbra di argento vale
5
11
12
20
7 lire di pisanini. Porta dunque in once le
1
13
7
2
25
12
11 libbre, farà
1
13
2
25
139 once, scrivile sotto le once della libbra di bolzonaglia, cioè sotto il 12, in modo che siano once sotto once, come si mostra nel riquadro: e moltiplica le 139 once di bolzonaglia per il loro rotto, cioè per 25, e somma 13; e [ moltiplica ] per 2, e somma l’1, farà 6977; su questo scrivi la sua prova del 7, che è 5; poi moltiplica le 5 once d’argento per il loro rotto cioè per 25 e somma il 7, farà 132; scrivilo sopra il
7
25
5: e poni sopra la prova, che è 6: similmente farai con
5
11
12
20
7 libbre, e avrai su di esse 1817, la cui prova è 4: e moltiplica 6977 per 132; e moltiplica il loro totale per 1817, e dividi tutto il prodotto per le 12 once di bolzonaglia, e per le 12 dell’argento, e per tutti i numeri che sono sotto le linee di frazione, e semplifica ciò che potrai semplificare e sistema i rotti, e fai la verifica delle moltiplicazioni e delle divisioni, con il metodo che abbiamo mostrato più sopra; e avrai
2
4
9
1
6
8
14
3
5
10
10
10
12
20
38 lire come valore delle once
1
13
2
25
139 scritte sopra; e la prova del sette del risultato del valore scritto sopra è 3 dopo la semplificazione.

Sulla bolzonaglia quando si vende come quantità.
(IX.2.9 ; G: IX.102) Q
ualcuno ha 13 lire e 7 soldi di una qualche bolzonaglia, che nella libbra contiene
3
4
3 once [ d’argento ], e vale 31 soldi ; e una libbra d’argento vale
13
20
7 [ lire ] pisane [NdT]
Ciò significa che la bolzonaglia è formata da monetine, 31 soldi delle quali pesano una libbra e tale libbra contiene
3
4
3 once d’argento.
. Vuole sapere quanti pisanini avrà dalla bolzonaglia sovrascritta: calcola in soldi le
7
20
13 lire, sono 267 soldi; ponili sotto i 31 soldi, in modo che siano soldi sotto soldi, come si mostra in questo riquadro: e moltiplica 267 per il risultato di
3
4
3, cioè per 15; e per il risultato di
13
20
7, cioè per 153; e dividi il prodotto per 31, e per 12, e per tutti i rotti, cioè per 4 e per 20, farà
1
20
9
11
4
31
12
20
20 lire pisane come valore delle 13 lire, e 7 soldi della predetta bolzonaglia.
(IX.2.10 ; G: IX.104) E se vuoi sapere quanti pisanini valga 1 soldo della detta bolzonaglia, scrivi 1 per questo soldo sotto i 31 soldi, come qui si mostra, e moltiplica 1 per
3
4
3, e per
13
20
7, e dividi per 12, e per 31, cioè moltiplica il detto 1 per 15, e per 153, farà 2295; dividilo per
1
0
0
0
4
31
12
20
, farà
3
15
6
1
4
31
12
20
, cioè
3
15
4
31
18 denari, che sono
1
2
18 denari, e in più
1
124 di un denaro. Quindi avuto il valore di un soldo della predetta bolzonaglia, attraverso esso possiamo ricavare il valore di qualunque [ quantità ] di lire, o soldi, o denari, secondo ciò che abbiamo mostrato più sopra nel precedente capitolo.

Sullo stesso.


pg.130 		(IX.2.11 ; G: IX.106) E metti che dalla bolzonaglia scritta sopra hai solo 9 denari da cambiare; o dei 31 soldi puoi fare denari, che sono 372; scrivili sui 9 denari scritti sopra, come si mostra in questo riquadro. Oppure dei 9 denari puoi fare parti di un soldo, cioè
3
4, scrivili sotto il 31, come si mostra nell'altro riquadro più in basso. E allora nel riquadro superiore moltiplica i 9 denari per 15 e per 153; e dividi il prodotto per la regola di 372, che è
1
0
0
3
4
31
, e per 12, e per i rotti, cioè per
1
0
0
0
0
0
3
4
4
31
12
20
, semplifica di lì
1
3 da 15, cioè moltiplica il 9 per la terza parte di 15, cioè per 5, e per 153, farà 6885; dividilo per
1
0
0
0
0
4
4
31
12
20
, farà
1
2
27
1
1
2
8
31
12
20
. Nell’altro riquadro moltiplica il 3 che è sopra il 4 per 15 e per 153, farà ugualmente 6885; dividilo per 31, e per 12, e per tutti i rotti, cioè per
1
0
0
0
0
4
4
31
12
20
 farà
1
2
27
1
1
2
8
31
12
20
 cioè
1
2
27
2
8
31
13 denari.





Sullo stesso.
(IX.2.12 ; G: IX.109) U
gualmente ci sono
5
9
12
20
13 lire di una qualche bolzonaglia che sia [ ottenuta da una lega ] di
1
8
5 once d’argento, e ogni sua libbra vale 31 soldi e 3 denari, cioè
1
4
31 soldi; e una libbra d’argento vale 8 lire, e 7 soldi, e 6 denari, cioè
3
8
8 lire: fa soldi delle
5
9
12
20
13 lire, saranno
5
12
269 soldi; scrivili sotto
1
4
31 soldi, come qui si mostra, e moltiplica il 269 per la sua frazione, farà 3233, scrivili sopra
5
12
269, e su di esso scrivi la sua prova dell’11, che è 10: similmente fai con
1
8
5, e otterrai 41 sopra di esso, la cui prova è 8; fai la stessa cosa con
3
8
8, e avrai 67, e 1 come prova; e sopra
1
4
31 avrai 125: quindi moltiplica 3233 per 41, e per 67, e per il 4, che sta sotto la linea di frazione del 31; e dividi il totale per la regola di 125, che è
1
0
0
5
5
5
, e per 12, e per i rotti dei tre numeri restanti, cioè per 12, e per 8, e per 8; sistema i rotti, semplifica, e fai la prova, farà sempre
1
3
7
8
8
16
2
6
10
10
12
20
30 lire come valore delle dette 13 lire, 9 soldi, e 5 denari.

Sullo stesso.
(IX.2.13 ; G: IX.112) E se vorrai ricavare il valore di un soldo della stessa bolzonaglia, scrivi 1 sotto
1
4
31, e moltiplica questo 1 per 41, farà 41; moltiplicalo per 67, farà 2747; tralascia di moltiplicare per il 4 che sta sotto la linea di frazione davanti al 31, e di dividere per il 4, che sta nella regola dell’8, sotto il 41: quindi dividi 2747 per 125, e per 12, e per il 2 , che resta dall’8 che sta sotto la linea di frazione sotto il 41, e per l’8 che sta sotto la linea di frazione sotto il 67; sistema i rotti, farà
7
4
3
2
10
10
12
20
, come si mostra in questo riquadro, cioè poco meno di
1
2
27 denari, cioè
3
5 di un denaro in meno per ciascuna lira; e questo si giustifica perché il valore del soldo è di
7
4
10
10
27 denari, cioè
47
100
27 denari; dai quali per arrivare a
1
2
27 denari mancano
3
100 di un denaro: perciò se a ciascun soldo mancano
3
100 di un denaro, a una lira, cioè 20 soldi, mancheranno
60
100, cioè
3
5 di un denaro, come abbiamo detto prima.

Sullo stesso.
(IX.2.14 ; G: IX.114) U
gualmente se si chieda il valore di
1
2
8 denari della stessa bolzonaglia; o trasformi i
1
4
31 soldi in denari, che sono 375 , e scrivi sotto di essi i suddetti
1
2
8 denari; oppure trasformi questi
1
2
8 denari in parti di un soldo, cioè
1
8
2
12
; e li scrivi sotto i
1
4
31 soldi, in modo che siano soldi sotto soldi come si mostra in questo riquadro; moltiplica 8 denari per la loro frazione, farà 17, moltiplicalo per 41; e per 67, e per il 4, che è sotto la linea di frazione davanti al 31; e dividi per 125, e per 12 e per i rotti, cioè per
1
0
2
12
, e per 8, e per 8; e semplifica e sistema, e farà
1
6
5
4
7
1
3
8
10
10
12
20
, cioè
1
6
5
4
3
8
10
10
19 denari.


pg.131 		(IX.2.15 ; G: IX.116) U
gualmente qualcuno ha 11 soldi, e 7 denari, cioè
7
12
11 soldi di una qualche bolzonaglia, che è a
1
4
3 once, e in una libbra di quella bolzonaglia vi sono 28 soldi, e
1
2
5 denari, cioè
1
5
2
12
28 soldi; e una libra d’argento vale
7
20
8 lire; scrivi il problema, come qui si mostra, e moltiplica 28 per la sua frazione, farà 683: similmente moltiplica tutti i numeri per le loro frazioni; e avrai 13 sopra
1
4
3, e 167 sopra
7
20
8, e 139 sopra
7
12
11. E allora moltiplica il 139 per 13; e per 167; e per i rotti che sono con il 28, cioè per il 2 e per il 12 e dividi il prodotto per 683 e per 12 e per i rotti dei tre numeri moltiplicati, cioè per 11, e per 4, e per 20; semplifica, e sistema; e così hai
1
624
4
18
2
683
12
20
 come valore dei
7
12
11 soldi della detta bolzonaglia.
(IX.2.16 ; G: IX.118) E così potrai calcolare i valori di qualunque bolzonaglia con il modo mostrato della sesta proporzione; questa proporzione è composta da due proporzioni date. E quando una proporzione è composta da un certo numero di proporzioni, si chiama proporzione di proporzioni: mostrerò più chiaramente in che modo avvenga questa composizione. Sia data una somma, cui si ricava una seconda somma per una data proporzione di due numeri; e dalla seconda somma se ne ricava una terza per la proporzione di due numeri qualunque; e dalla terza nello stesso modo se ne ricava una quarta e così di seguito; allora si dice che la proporzione della prima somma con l’ultima è composta da tutte le proporzioni date; cioè che la proporzione del numero fatto da tutti gli antecedenti col numero fatto dai conseguenti, è uguale a quella della prima somma con l’ultima. Per esempio: un tizio ha avuto 100 bizanti, da questi in un primo mercato ne ha fatto 3 da due, nel secondo 5 da 4, nel terzo 7 da 6: scrivi queste proporzioni in una sola frazione, così [NdT]
Secondo le notazioni introdotte da Fibonacci nel capitolo V (V.5) la frazione in questione non è una frazione multipla indicata ma la frazione o
2
4
6
3
5
7
 data dal prodotto delle 3 frazioni.
2
4
6
3
5
7
, e tutti gli antecedenti sono sopra la linea, e i conseguenti sotto di loro. Poiché nel primo mercato da due ne ha fatti 3, la prima somma sta alla seconda come 2 sta a 3: perciò la prima somma è
2
3 della seconda; su questa, poiché da 4 ne ha fatti 5, la seconda somma sta alla terza come 4 sta a 5: perciò la seconda somma è
4
5 della terza somma; e così la prima somma è
2
3 di
4
5 della terza somma; su questa terza somma poiché da 6 ne ha fatti 7, la terza somma è
6
7 della quarta somma. Perciò la prima somma è
2
3 di
4
5 dell’ultima somma cercata; la proporzione tra queste due somme è la stessa di quella tra il numero fatto dagli antecedenti e il numero fatto dai conseguenti. E il numero fatto dagli antecedenti è 48, uguale alla prima somma, che è il risultato della moltiplicazione degli antecedenti fra loro, cioè di 2 per 4 per 6: il numero fatto dai conseguenti è 105; perché 3 per 5 per 7 fa 105; ed è uguale all’ultima somma. Quindi se all’inizio come prima somma si ha 48; per la quarta si avrà 105, perché se da 105 ne prendi i
6
7, risulta 90 come terza somma; se di questi prendi i
4
5, risulta 72 come seconda somma, se di questi prendi
2
3, risulta 48 come prima somma. O altrimenti: se dal 48 fai 3 del 2 , farà 72; se di esso fai 5 del 4, farà 90; di questo ancora se fai 7 del 6, cioè moltiplichi
1
6 di 90 per 7, ne verranno 105. Dunque la proporzione di 48 a 105 è composta dalle 3 proporzioni date, cioè da quella che c’è fra 2 e 3 e da quella che c’è fra 4 e 5 e da quella che c’è fra 6 e 7. E abbiamo che 48 sta a 105, come la prima somma alla somma cercata. Perciò se la prima somma sarà 100, esso è da moltiplicare per 105, e da dividere per 48.
Definisce la proporzione composta

A : B = 2 : 3

B : C = 4 : 5

C : D = 6 : 7

allora

A =
2
3 B

B =
4
5 C
e
A =
2
3⎧⎩
4
5 C⎫⎭=⎧⎩
2
3×
4
5⎫⎭ C

C =
6
7 D
e

A =
2
3×
4
5×⎧⎩
6
7⎫⎭D =
2
3×
4
5×
6
7 D =
48
105 D





Il rapporto composto


A : D = 48 : 105




pg.132 		(IX.2.17 ; G: IX.124) O se questo lo vuoi praticare secondo il modo del baratto, scrivi la prima proporzione in una linea, cioè 2 e 3; e sotto il 3 scrivi l’antecedente della seconda proporzione, cioè il 4; davanti a questo scrivi il 5, e sopra il 5 nella linea superiore scrivi l’antecedente della terza proporzione, cioè 6; davanti a questo scrivi il 7, e scrivi il 100 sotto il 2; questo moltiplicato per 3, e per 5, e per 7, dà la somma della moltiplicazione fatta dai conseguenti per il 100; dividila per gli antecedenti, cioè per
1
0
0
2
4
6
 che è
1
0
6
8
, farà
3
4
218, come ultima somma. E se si sa che l'ultima somma è 100 e vuoi ricavare la prima, scrivi il 100 sotto il 7, come appare in quest'altra descrizione. E moltiplica il 100 per il prodotto degli antecedenti, cioè per 6 e per 4 e per 2 e dividi per i conseguenti cioè per , farà
5
7
45 come prima somma. Da ciò quindi è chiaro che la proporzione composta da proporzioni date di qualunque grandezza, è il rapporto del numero fatto da tutti gli antecedenti col numero fatto dai conseguenti. Infatti se vuoi estrarre, una proporzione da un’altra proporzione, moltiplica l'antecedente della proporzione cui vuoi estrarre l'altra, per il conseguente dell'altra, e avrai l'antecedente della nuova proporzione; e dalla moltiplicazione dei due numeri residui avrai il conseguente. Per esempio: vogliamo estrarre [NdT]
estrarre una frazione da un’altra significa dividere le due frazioni. Il rapporto composto era inizialmente immaginato come una “somma” e la divisione era vista conseguentemente come una sottrazione
la proporzione di 3 a 4 dalla proporzione di 2 a 5: per la prima proporzione scrivi
3
4 e per la seconda scrivi
2
5; e moltiplica 2 per 4; farà 8; e 3 per 5, farà 15, scrivilo sotto l'8, e avrai la nuova proporzione: se la moltiplicherai con la proporzione che 3 ha col 4, ne viene proprio la proporzione che 24 ha con 60, cioè che il 2 ha col 5.



Termina la seconda parte del nono capitolo.