pagina iniziale capitolo nono parte prima del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF,  folio 49 recto
parte prima cap IX
 
CAPITOLO NONO
Parte Prima

Prima parte
Inizia il capitolo nono sul baratto delle merci e di cose simili
pg.118 (IX.1.1) D
ecisi di dividere questo capitolo in tre parti, affinché il lettore possa trovare più rapidamente qualunque cosa in esso desideri leggere. La prima di queste parti è sul baratto delle cose in vendita; la seconda sull'acquisto di bolsonaglia col metodo del baratto; la terza è sulle regole dei cavalli che mangiano orzo in giorni costituiti.

Regola universale nel baratto delle merci, cominciando dal pepe con il lino.

La geometria
del baratto:
la figura cata
(IX.1.2) Q
uando e avrai voluto scambiare una merce qualunque con una qualunque altra merce, cioè vorrai barattare, impara il prezzo di ciascuna merce, prezzo che deve essere sempre di una stessa moneta. E scrivi una di quelle merci in cima alla tavola, e scrivi il prezzo di quella merce nella tavola indietro verso sinistra sulla stessa linea, come abbiamo insegnato a scrivere nel precedente capitolo negli affari commerciali. E sotto il prezzo di quella merce, in un'altra linea, scriverai il prezzo dell'altra merce; e indietro scriverai la merce di quel prezzo. E se la merce che vorrai barattare in altra merce, sarà della merce messa sopra, cioè della prima scritta nella tavola, porrai la quantità che avrai avuto di quella merce sotto la stessa merce. E se sarà stata dell'altra merce, scriverai la sua quantità sopra la stessa merce; come or ora abbiamo detto che si debba scrivere il prezzo di una merce sotto il prezzo dell'altra, così si scrivano merci simili sotto merce simile. E scritti così questi cinque numeri, moltiplica allora l'ultimo di essi per il numero opposto del prezzo opposto; e quanto verrà di lì, impegnati a portarlo nell'altro numero opposto al prezzo stesso; dividi il totale di questi numeri per i restanti due numeri, e otterrai quel che cerchi. Per esempio: 20 braccia di panni valgano 3 lire pisane; e 42 rotoli di cotone valgano 5 lire similmente pisane; si chiede quanti rotoli di cotone si avranno per 50 braccia di panni. Poni così le 20 braccia sulla tavola davanti [NdT]
post, “dopo”, è per Fibonacci, scrivendo alla araba, “davanti”
alle quali scrivi le 3 lire, cioè il loro prezzo, sotto le quali poni le 5 lire; davanti a queste 5 poni i 42 rotoli; e poni le 50 braccia sotto le 20 braccia, e moltiplica 50 per il 3 che gli è di traverso, farà 150; moltiplicalo per il 42, che è di traverso allo stesso tre; e quanto farà dividilo per gli altri numeri, cioè per 20 e per 5, cioè per 100, farà 63; e tanti rotoli di cotone saranno stati ottenuti per 50 braccia di panni.
Regola nota come
“regola del tre composto”






pg.119

(IX.1.3) Q
uesto modo infatti proviene dalla proporzione che ha la prima merce rispetto all'altra; che mostrerò essere composta da due proporzioni, cioè dalla proporzione che c'è tra la quantità di vendita della prima merce e il numero del suo prezzo, e dalla proporzione che ha il numero del prezzo dell’altra merce rispetto alla quantità di vendita della sua merce, ciò è quello che dico in questo problema; che la proporzione delle braccia di panno rispetto ai rotoli di cotone è composta dalla proporzione che si ha fra 20 e 3, e fra 5 e 42: infatti come il 20 sta al 3, così il quintuplo di 20 sta al quintuplo di 3: dico il quintuplo a causa del 5, che è il prezzo dei 42 menzionati, cioè perché 100 braccia valgono 15 lire: di nuovo come 5 sta a 42, così il triplo di 5 sta al triplo di 42: dico il triplo a causa del 3 che è il prezzo delle dette 20 braccia, e 15 lire che sono in più si hanno 126 rotoli di cotone: e poiché 100 braccia valgono 15 lire e in più 15 lire ottengono 126 rotoli, dunque per 100 braccia si hanno 126 rotoli; e così la proporzione della prima merce alla seconda è composta dalle due proporzioni menzionate. E perché come 100 sta a 126, così le 50 braccia al cambio che hanno con i rotoli, si deve moltiplicare 50 per 126, cioè 50 per 3; e per 42 come abbiamo fatto più sopra; e si deve dividere il totale della loro moltiplicazione per 100, e per 20, e per 5, saranno 63 rotoli, ponili sopra i 42 rotoli: è infatti tale formulazione delle proporzioni è quella che si mostra nella figura cata [NdT]
Si riferisce al
teorema di Menelao sferico
riportato da Tolomeo nell’Almagest.
Vedi la terza parte di questo capitolo (IX.3.2)
, quella con la quale Tolomeo ha insegnato nell'Almagesto a trovare la dimostrazione e molte altre cose, e Ameto [NdT]
si tratta molto probabilmente di
Ahmad ibn Yusuf (Sigler)
autore di un commento sul Teorema di Menelao e le relative proporzioni.
pose 18 combinazioni riguardo ad essa nel libro che scrisse sulle proporzioni.


In Euclide dati due rapporti A:B e C:D,
il rapporto composto è il rapporto
A’ : D’ dove

A:B =A’:B’ e C:D = B’:D’

20:3=100:15
(100 braccia di panno valgono 15 lire)

5: 42= 15:126
(con 15 lire si comprano 126 rotoli)

Braccia: rotoli= 100:126
è il rapporto composto
20:3 con 5:42


Il rapporto tra la prima merce e la seconda è
20
3
×
5
42
=
100
126
(IX.1.4) U
gualmente si proponga di barattare 63 rotoli di cotone con panni; tramite l'esempio precedente troverai che la loro proporzione è composta dalla proporzione che c'è tra 42 e 5 e tra 3 e 20; questa proporzione è di 126 a 100, cioè per 126 Rotoli si ottengono 100 braccia dei panni scritti sopra: perciò si deve moltiplicare 63 per 100, e dividere per 126, cioè moltiplica 63 per 5 che gli è di traverso; porta questo totale nel 20 che è di traverso al solo 5, dividi tutto ciò per gli altri due numeri, cioè per 3, e per 42, faranno 50 braccia, ponili sotto le 20 braccia.

Dal pepe al cumino.
(IX.1.5) U
n centone di pepe [NdT]
100 libbre
vale 13 lire, e un cantare [NdT]
Un cantare equivale a 100 rotoli
di cumino vale 3 lire; si chiede quanti rotoli di cumino si avranno per 342 libbre: scritto il problema come detto prima, troverai che il numero della prima merce sta al numero della seconda, come il centuplo di 3 sta al centuplo di 13: e perché come il tutto sta al tutto così la parte sta alla parte, sarà dunque che come il centesimo del centuplo di tre sta al centesimo del centuplo di 13, cioè come 3 sta a 13, così il numero della prima sta al numero della seconda. E da ciò senza dubbio è chiaro che quando il numero della vendita di due merci separate è lo stesso, allora come il numero del prezzo della seconda sta al numero del prezzo della prima, così il numero della prima merce sta al numero della seconda. Perciò in questo riquadro moltiplicherai il 342 per 13 e dividi per 3, saranno 1482 di cumino, ponili nel riquadro sopra i 100 rotoli: o, nel secondo modo di questa dottrina, si deve moltiplicare 342 per 13 che gli è di traverso; e il totale per i 100 di cumino; il totale di questi tre numeri moltiplicati tra loro si divida per 3, e per 100. Per cui se sarà tolto il 100 da entrambe le parti, resterà solo la moltiplicazione di 342 per 13 da dividere per 3, come più sopra abbiamo operato. E se vuoi avere il pepe da 342 rotoli di cumino, scrivi il 342 sopra il 100 del cumino e moltiplicalo per 3; moltiplica tutto questo per il 100 del pepe, e dividerai il prodotto per il 100 del cumino, e per 13: però semplifica il 100 in questi conti, cioè, moltiplica 342 per 3, e dividi per 13, farà
12
13
78 lire di pepe, ponili sotto le 100 libre di pepe.


100
13
×
3
100
=
300
1300
=
3
13





pg.120
(IX.1.6) E ancora un cantare di mastice genovese si vende ad Alessandria per
11
24
23 bisanti; e una carica di pepe, che è 500 rotoli fiorentini, vale lì
1
9
3
4
51 bisanti; e qualcuno ha
3
5
523 rotoli di pepe, cioè una carica, e
3
5
23 rotoli fiorentini che egli vuole barattare con il mastice; e avrà chiesto quanti rotoli genovesi avrà avuto di lì di tale pepe; scrivi il problema così, e moltiplicherai
3
5
523 per
1
9
3
4
51, e per 100, e dividi il loro totale per i restanti due numeri, cioè per
11
24
23 e per 500; e tutto ciò si fa così: moltiplica i 23 bisanti per la loro frazione, cioè per 24, e somma l'11, farà 563; e moltiplica 523 per la sua frazione, farà 2618. Ugualmente moltiplica il 51 per le sue frazioni, farà 1867, ponilo sopra 1/9 3/4 51: e moltiplica il 2618 per il 1867; e per 100, e per il fratto che è sotto la linea di frazione del 23, cioè per 24, e dividi per 563, e per la regola di 500, e per i rotti, che sono sotto la linea di frazione del 523, e del 51, cioè per 5 e per 4 e per 9; e eviterai di moltiplicare per 100 che abbiamo menzionato nella moltiplicazione; né dividerai per il 100 che è nella regola del 500; e resterà il 5 da questo 500 per il quale dobbiamo dividere. Ugualmente puoi ancora omettere 1/3 dalla divisione, che è sulla linea di frazione, se omettessi l'altro 3 dalla regola del 24, che devi moltiplicare:, dunque moltiplicherai 2618 per 1867; e per l'8 che resta dal 24, e dividerai il prodotto per
1
0
0
0
5
5
563
12
, faranno
3
4
83
6
5
5
563
12
231 rotoli, come si mostra nel riquadro.
(IX.1.7) S
e vorrai verificare questo risultato con il resto del 13; perché hai moltiplicato 2618 per 1867; e per 8, allora devi trovare il resto di 2618 del 13, cioè devi dividere 2618 per 13; e così resta 5; moltiplicalo per il resto di 1867, similmente del 13, che è 8, e farà 40; da cui prendi il resto, che è 1; moltiplicalo per 8, farà 8, che si conserveranno come resto del totale della moltiplicazione, in modo che tu veda se la prova del risultato della divisione, cioè di
3
4
83
6
5
5
563
12
231, sarà similmente 8, in tal caso sarà corretta.

Dal pepe al mastice.
(IX.1.8) U
gualmente se allo stesso modo qualcuno chiedesse quanto pepe avrà avuto da
3
5
523 rotoli di mastice; scrivi nel riquadro
3
5
523 sotto la vendita del mastice, cioè sotto 100, come si è scritto in quell'altra dimostrazione; e troverai tutti i numeri, come hai fatto più sopra nel problema precedente: e moltiplicherai 2618 per 563, e per 500, e moltiplica il loro totale per i rotti, che sono con il 51, cioè per 4, e per 9, cioè per 36; e dividi il totale per 100, e per 1867, e per i rotti che sono davanti al 523, e davanti al 23, cioè per 5 e per 24. E allora se vorrai semplificare ciò che di lì potrai semplificare, ometterai di moltiplicare per 500, e non dividerai per il 100 detto sopra, né per il 5 che è sotto la linea di frazione davanti al 523, non moltiplicherai inoltre per il 2 che è nella regola del 4 che sta sotto la linea di frazione davanti al 51 e non dividerai per il 2 che è nella regola del 24 e conserverai il 12 che resta dello stesso 24 per porlo in cima alla frazione per indicare le once: quindi moltiplicherai 2618 per 563, e per il 2, che resta dal 4, che è davanti al 51 sotto la linea di frazione; e moltiplicherai per il 9 che è sotto la linea di frazione davanti allo stesso 51; e la loro moltiplicazione avrà come risultato 26530812; dividilo per 1867, e per il 12 che è rimasto dal 24, farà
742
2
1867
12
1184 rotoli di pepe, cioè due cariche e 184 rotoli e
742
1867
2 once: e la prova del 13 di questo problema è 9, che si trova secondo il modo scritto prima [NdT]
Abbiamo corretto il testo secondo il senso matematico
.

Dal pepe allo zafferano.


pg.121
(IX.1.9) U
gualmente se si propone che 7 rotoli di pepe valgano 4 berzi, e 9 libbre di zafferano valgano 11 berzi; e si chieda quanto zafferano qualcuno avrà avuto da 23 rotoli di pepe; scrivi il problema secondo il modo scritto sopra, e moltiplicherai 23 per il 4 che gli è di traverso; moltiplica il totale per 9, essendo il 9 in diagonale rispetto a questo 4: oppure possiamo mostrare ciò in altro modo, con il quale modo potrai capire più chiaramente quali sono i 3 numeri che avrai dovuto moltiplicare. Nei problemi di tal genere, infatti, si scrivono cinque numeri noti, per mezzo dei quali è necessario ricavare il sesto numero incognito. Perciò questo metodo è chiamato regola della sesta proporzione [NdT]
Questa regola in relazione al Teorema di Menelao è chiamata
  Regula sex quantitatum.
, di questi cinque numeri a volte ne troverai tre nella linea superiore, e due su quella inferiore; e a volte 3 nella inferiore, e due nella linea superiore. Moltiplica insieme quei due numeri, che sono all'estremità di quella stessa linea, nella quale saranno stati posti 3 numeri, per il numero dell'altra linea opposto ad essi, e dividi il numero del loro totale per gli altri due numeri restanti; e ciò che sarà risultato dalla divisione, sarà la quantità del sesto numero, come in questo problema, in cui ci sono due numeri nella linea superiore, cioè 4 berzi, e 7 Rotoli, e ci sono 3 numeri nell’inferiore, cioè 9, e 11; e 23; di questi il 9, e il 23 sono all'estremità della stessa linea; li devi moltiplicarli per il numero che si oppone loro, che è nell'altra linea, cioè quella inferiore, cioè per 4. Infatti la moltiplicazione di 23 per 4 fa 92; che, se lo avrai moltiplicato per 9, farà 828; dividilo per gli altri due numeri, cioè per 7, e per 11, fa
2
8
7
11
10 libbre, come si mostra nel riquadro.
Linea superiore   a   b   c

Linea inferiore  d   e   f

a × c × e = d × f × b


Dallo zafferano al pepe.
(IX.1.10) E allora se allo stesso modo vorrai ottenere il pepe da 23 libbre di zafferano; scriverai il problema, come si mostra, cioè merce simile sotto merce simile, e il prezzo di una merce sotto il prezzo dell'altra, perché qui ci sono tre numeri sulla linea superiore, cioè 23, e 4, e 7, dei quali il 23, e il 7 sono alle estremità, moltiplicali per il numero opposto ad essi, cioè per l'11, fa 1771; dividilo per i due numeri rimanenti, cioè per il 4, e per il 9, cioè per
1
0
3
12
, farà
1
2
3
12
49 rotoli di pepe, cioè 49 rotoli e
1
3
2 once.

Dal pepe allo zenzero.
(IX.1.11) U
gualmente
1
2
7 rotoli di pepe valgono
1
3
4 tareni e
1
5
9 libbre di zenzero valgono
1
6
11 tareni, e si chieda quanto zenzero qualcuno avrà avuto da
1
7
23 rotoli di pepe; scrivi il problema nel modo scritto sopra, come qui; moltiplicherai, nel modo scritto sopra,
1
7
23 per
1
3
4 e dividerai il loro totale per i restanti due numeri, cioè per
1
2
7 e per
1
6
11, che si fa così: moltiplica il 7 per la sua frazione, farà 15 ; ponilo sopra
1
2
7; e moltiplica il 4 per la sua frazione, farà 13, ponilo sopra
1
3
4; e il 9 per la sua frazione, farà 46 che devi scrivere sopra
1
5
9; e l'11 per la sua frazione, farà 67, ponilo sopra
1
6
11; e il 23 per la sua frazione, farà 162, ponilo sopra
1
7
23; e moltiplica il 162 per il 13, che sono di traverso, e per 46; e moltiplica il loro prodotto per i rotti dei restanti due numeri, cioè per 2, che sta sotto la linea di frazione davanti al 7; e per il 6 che sta sotto la linea di frazione davanti all'11; e dividi tutto il totale per la regola e di 15 e per 67, cioè per
1
0
0
3
5
67
e per i rotti degli altri tre numeri, cioè per il 3 che sta sotto la linea di frazione davanti al 4, e per il 5 che è sotto la linea di frazione davanti al 9, e per il 7 che sta sotto la linea di frazione davanti al 23, farà
3
3
0
1
5
5
7
67
11 libbre.



Dallo zenzero al pepe.
(IX.1.12) U
gualmente se nello stesso modo si chieda quanti rotoli di pepe qualcuno avrà avuto per
1
7
23 libbre di zenzero; scrivi il problema, come qui si vede, e moltiplica il 162 per il 67, e per il 15, e per i rotti che sono sotto il 13 e sotto il 46, cioè per 3 e per 5, farà 2442150, dividilo per il 13 e per il 46 e per i rotti che sono dei tre numeri restanti, cioè per 7, e per 6, e per 2 e aggregali così da avere
1
12
all'inizio della frazione per le once, farà
0
2
5
9
7
2
7
13
23
12
48 rotoli.

Dai soldi imperiali ai soldi genovesi.

La geometria
del baratto:
la figura cata
(IX.1.13) U
gualmente, se si pone che un soldo [NdT]
Cioè 12 denari imperiali
imperiale valga 31 denari pisani; e che un soldo di genovesi valga 22 [ denari ] pisani, e si chieda quanti soldi genovesi valgano 7 imperiali, scrivi il problema, e moltiplicherai il 7 per il 31; e per i 12 [ denari ] genovesi; e dividi il loro totale per 12, e per la regola del 22, ma ometterai di moltiplicare per i 12 genovesi, e non dividerai per i 12 imperiali: quindi moltiplicherai 7 per 3, e dividi per la regola del 22, farà
1
9
2
11
9 soldi genovesi, come si mostra nel riquadro.

Sullo stesso.


pg.89
(IX.1.14) U
gualmente se è chiesto al contrario, quanti imperiali valgono 7 denari genovesi; scrivi i 7 denari genovesi sopra i 12 denari genovesi, come qui si mostra, e moltiplica il 7 per il 22, e per i 12 imperiali e dividi per il 31 e per i 12 genovesi; ma ometti di moltiplicare per 12 e non dividere per 12, farà
30
31
4 imperiali, come si mostra nel riquadro.

Sullo stesso.
(IX.1.15) U
gualmente se nello stesso modo si chieda quanti soldi genovesi qualcuno avrà avuto per 7 soldi imperiali; perché si chiede riguardo ai soldi, tutti i numeri che sono nel problema, sono soldi: da cui sorge questo problema, cioè che 12 soldi imperiali valgono 31 soldi pisani, e 12 soldi genovesi, valgono 22 soldi pisani. Per cui, scritto il problema, porrai i 7 soldi imperiali sotto i 12 soldi imperiali, come qui si mostra, e moltiplicherai il 7 per il 31 e per i 12 genovesi e dividi il loro totale per i 12 imperiali e per la regola del 22: ma eviterai
1
2
, farà
4
10
11
12
9 soldi, come si mostra nel riquadro.
Lo stesso problema in soldi invece che in denari
(IX.1.16) E così ricorda sempre di annotare la qualità di tutti i numeri che si propongono in simili problemi e anche in tutti i problemi che riguardano i negoziati, secondo la richiesta del querente; cioè che sopra i denari scrivi denari, e sopra i soldi scrivi soldi, e sopra le lire scrivi lire, e sopra i cantari scrivi cantari, e sopra i rotoli scrivi rotoli, e sopra le once scrivi once, e sopra i denari di cantare scrivi denari, e sopra le carrube scrivi carrube, affinché tu possa capire di che tipo di qualità sarà il totale ottenuto. Inoltre che tu sappia scrivere simili sotto simili, come in quest'altro problema, nel quale si chiede quanti imperiali qualcuno avrà avuto per 7 lire di genovesi: quindi perché si chiede di lire, tutti i numeri sono lire: perciò il problema è questo: perché 12 lire imperiali valgono 31 lire pisane e 12 lire genovesi valgono 22 lire pisane: scrivi il problema e annoterai sopra ciascun numero la sua qualità, cioè le lire; e poni le 7 lire genovesi sopra le 12 lire della stessa moneta, come qui si mostra; e moltiplicherai il 7 per il 22; e per i 12 imperiali; e dividerai per 31, e per i 12 genovesi, farà
8
4
19
31
12
20
4 lire.

Sullo stesso.


pg.123
(IX.1.17) U
gualmente un soldo imperiale vale
1
4
32 pisani e un soldo genovese vale
1
2
22 denari pisani; quanti soldi genovesi valgono quindi 9 soldi e 5 denari, cioè
5
12
9 soldi imperiali. Scriverai il problema come qui si mostra e, una volta scritto, il problema è questo: perché 12 soldi imperiali valgono
1
4
32 soldi pisani, e 12 soldi genovesi valgono
1
2
22 soldi pisani: perciò sia annotato il tipo di soldi sopra ciascun numero, come si mostra nello riquadro, e moltiplica
5
12
9 per
1
4
32 e per i 12 genovesi, e dividi il totale per
1
2
22 e per i 12 imperiali. Ma si ometterà la moltiplicazione dei 12 genovesi, per omettere la divisione per i 12 imperiali; e moltiplica solo
5
12
9 per
1
4
32, e dividi per
1
2
22, che si fa così : moltiplica 32 per 4, e somma 1, farà 129; ponilo sopra
1
4
32 Ugualmente moltiplica 22 per la sua frazione, farà 45, ponilo sopra
1
2
22; e moltiplica 9 per la sua frazione, farà 113 denari: e moltiplica 113 per 129, e per il 2, che sta sotto la linea di frazione davanti al 22 e dividi il loro totale per la regola del 45, che è
1
0
5
9
, e per i rotti che sono davanti al 32 e davanti al 9, cioè per 4 e per 12 che se saranno stati aggregati insieme in una linea di frazione, così che ci sia
1
12
all'inizio della linea per i denari, si trasformeranno in
1
0
0
0
2
9
10
12
. Per cui della detta moltiplicazione potrai omettere la moltiplicazione del 2 detto sopra; e ometterai di dividere per il 2 che sta sotto la linea di frazione: quindi moltiplicherai 113 per 129, e dividerai per
1
0
0
9
10
12
, e avrai il risultato: oppure, se vuoi puoi ancora semplificare dai suddetti numeri, cioè se prendi la terza parte di 129, cioè 43, per essa moltiplica il 113, farà 4859; dividilo per
1
0
0
3
10
12
, farà
2
9
5
3
10
12
13 soldi genovesi, come si mostra nello riquadro.

Sullo stesso.
(IX.1.18) E ancora, il soldo imperiale vale
3
4
33 denari pisani, e il soldo genovese vale
2
3
21 denari pisani: chiederai quanti imperiali potresti ottenere per
9
20
13 lire genovesi: scrivi
9
20
13 sopra le 12 lire genovesi, come qui si mostra [NdT]
Abbiamo adattato il riquadro al testo
; e moltiplicherai
9
20
13 per
2
3
21; e per i 12 imperiali, e dividi il loro totale per
3
4
33, e per i 12 genovesi, cioè moltiplicherai il 269 per il 65 e per i 12 imperiali e per il 4 che sta sotto la linea di frazione davanti al 33, e dividi il loro totale per la regola di 135, che è
1
0
0
3
5
9
, e per i 12 genovesi e per i rotti degli altri due numeri, cioè per il 3, che sta sotto la linea di frazione davanti al 21, e per il 20, che sta sotto la linea di frazione davanti al 13: tra di essi se avrai posto attenzione alla semplificazione, troverai che non ti sarà stato necessario moltiplicare il 269, se non solo per un quinto di 65, cioè per 13; e per un terzo di 12, cioè per 4; e per il 4 che sta sotto la linea di frazione davanti al 33 come abbiamo detto prima. Il totale di tutto ciò è 55952; che non ti sarà stato necessario dividere per la suddetta semplificazione, se non che per un quinto di 135, cioè per
1
0
3
9
e per
1
0
12
20
, cioè per
1
0
0
0
3
9
12
20
, farà
2
2
8
12
3
9
12
20
8 lire.

Dagli imperiali ai genovesi.
(IX.1.19) U
gualmente, un soldo imperiale si vende per
1
2
31 denari pisani, e un soldo genovese vale
3
4
19 denari pisani; e si chieda quante lire genovesi qualcuno abbia avuto per 17 lire, e 11 soldi, e 5 denari, cioè per
5
11
12
20
17 lire imperiali: scriverai il problema come qui si mostra, e moltiplicherai
5
11
12
20
17 per
1
2
31; e per i 12 genovesi, e dividerai il loro totale per
3
4
19 e per i 12 imperiali; e semplificherai di lì ciò che potrai semplificare secondo il modo scritto sopra, farà
67
5
0
79
12
20
28 lire genovesi, come si mostra nel riquadro.

Dagli imperiali ai genovesi.



pg.124
(IX.1.20) U
gualmente
1
2
11 imperiali valgono
3
4
31 [ denari ] pisani, e
1
3
13 genovesi valgono
3
5
23 pisani. Si chieda quanti [ denari ] genovesi hai avuto per
1
6
8 imperiali: scriverai il problema come qui si mostra, e perché la richiesta riguarda denari, si annotino i denari sopra ciascun numero, e moltiplicherai
1
6
8 per
3
4
31; e per
1
3
13, e dividerai il loro totale per
1
2
11, e per
3
5
23, la qual cosa si fa cosi: moltiplica l'11 per la sua frazione, farà 23, ponilo sopra
1
2
11; e così farai per tutti gli altri numeri, e avrai 127 sopra i
3
4
31 e 40 sopra
1
3
13, e il 118 sopra
3
5
23, e il 49 sopra
1
6
8. Per cui moltiplicherai 49 per il 127; e per il 40; e per i rotti degli altri due numeri, cioè per 5, e per 2; e dividerai tutto il loro risultato per il 23, e per la regola del 118, che è
1
0
2
59
, e per i rotti che sono sotto gli altri tre numeri, cioè per il 6, e per il 4, e per il 3, che sono sotto le loro linee di frazione; tutti questi, se saranno stati aggregati assieme faranno
1
0
0
0
0
2
8
9
23
59
, e così avrai i genovesi che saranno dovuti per i suddetti
1
6
8 imperiali; dunque se desideri semplificare qualcosa che di lì avrai potuto semplificare, si ometterà di moltiplicare per il 2, che è sotto la linea di frazione davanti all'11, in modo da non dividere per il due, che è sotto la fine della linea di frazione. Ugualmente ometterai di moltiplicare per il 40, ma lo dividerai per 8, farà 5 e moltiplicherai per questo 5, e ometterai di dividere per l'8, che è nella frazione della divisione: quindi moltiplicherai 49 per 127; e per 5, cioè per l'ottava parte di 40; moltiplicherai questo totale per il 5 che è sotto la linea di frazione davanti al 23, farà 155575 dividilo per
1
0
0
9
23
59
, farà
1
13
43
9
23
59
12 denari.

Dai genovesi agli imperiali.
(IX.1.21) E ancora, se viceversa avrai chiesto quanti imperiali hai avuto per
4
7
8 lire genovesi; scriverai il problema, come qui si mostra: e moltiplicherai
4
7
8 per
3
5
23, e per
1
2
11, e dividerai per
1
3
13 e per
3
4
31, cioè moltiplicherai 60 per 118 ; e per il 23; e per il 4 che è sotto la linea di frazione davanti al 31; e per il 3, che è sotto la linea di frazione davanti al 13; e dividi il loro totale per la regola del 40, che è
1
0
4
10
e per 127, e per i rotti degli altri tre numeri, cioè per 7, e per 5, e per 2, cioè per
1
0
0
0
0
5
7
127
4
20
; e perciò abbiamo posto
1
0
4
20
in cima alla linea di frazione, perché qui dobbiamo avere
1
0
12
20
perché la richiesta è di lire. Per cui sappiamo perché ci manca il 3 per ottenere
1
0
12
20
: per questo poni 3 sopra
1
3
13 perché non te ne dimentichi quando dovrai trovare la prova; e moltiplicherai per questo 3 tutto il totale; dividilo per
1
0
0
0
0
5
7
127
12
20
e semplificherai, cioè moltiplica il 118 per un quinto di 60, cioè per 12, e per 23, farà 32568; moltiplicalo per il 3; e per il 4, che stanno sotto la linea di frazione, farà 390816 ; moltiplicali per il 3 che è stato posto sopra
1
3
13, e dividerai il totale per
1
0
0
0
7
127
12
20
, farà
4
106
10
9
7
127
12
20
5 lire.

Dagli imperiali al pepe.
(IX.1.22) E ancora, un soldo imperiale vale
1
2
31 denari pisani, e un centone [NdT]
cioè 100 libbre
di pepe vale
11
20
11 lire, e avrai avuto
1
4
57 lire imperiali dalle quali vorrai ottenere del pepe. Si chiede quanto avrai avuto di questo pepe da quelle
1
4
57 lire imperiali: scriverai il problema, come qui si mostra: e perché il prezzo del pepe, cioè
11
20
11 è del genere delle lire, e le
1
4
57 lire, con le quali vogliamo comprare il pepe, sono dello stesso genere, è necessario che i numeri che sono sulla linea superiore, cioè il 12 e il 31, siano ugualmente lire: per questo annoterai le lire sopra ciascuno di essi, in modo che questo problema sia che 12 lire di imperiali valgano
1
2
31 [ denari ] pisani, e così avrai le lire imperiali , cioè
1
4
57 sotto le 12 lire, e le lire pisane sotto le lire pisane, cioè
11
20
11 sotto
1
2
31: e, fatto questo, moltiplica
1
4
57 per
1
2
31 che sono di traverso tra loro, e per 100, che è di traverso allo stesso
1
2
31: e si divida il totale per gli altri due numeri che rimangono nel riquadro, cioè per 12 e per
11
20
11, farà
7
1
11
12
1301 libbre di pepe, come si mostra nel riquadro, cioè 13 centoni e 1 libbra e
7
11
1 once.

Sullo stesso.




pg.125
(IX.1.23) I
nvero se nel modo prescritto, chiedessi quanto pepe avresti per
1
4
57 soldi, allora in questo problema sappi che
1
4
57 soldi [NdT]
I berzi nel testo si devono intendere come soldi
devono essere scritti in altro modo, cioè in modo di fare lire da
1
4
57 soldi; e saranno 2 lire, e
1
4
17 soldi; cioè
1
17.
4
20
2 lire; ponile nel riquadro sotto i 12 imperiali, e annoterai le lire sopra il 12, e similmente annoterai le lire sopra il prezzo del 12 scritto sopra, cioè sopra
1
2
31, che bisogna porre nel riquadro sopra il prezzo del centenario di pepe, cioè sopra
11
20
11 libre; e nella stessa posizione saranno lire pisane sotto lire di pisane, cioè
11
20
11 lire sotto
1
2
31 lire, e le lire di imperiali saranno similmente sotto le lire di imperiali, cioè
1
17.
4
20
2 lire sotto le 12 lire, come si mostra in questo riquadro. Per questo moltiplicherai
1
17.
4
20
2 per
1
2
31, e per 100, e dividerai il prodotto per
11
20
11 e per 12 e per
1
4
, farà
1
7
0
2
11
12
65 libbre di pepe, come si mostra nel riquadro che è la ventesima parte di
7
1
11
12
1301, come
1
4
57 soldi è
1
20
di
1
4
57 lire.
(IX.1.24) P
ossiamo invero scrivere in altro modo questo stesso problema, cioè se poniamo
1
4
57 soldi di imperiali sotto i 12 imperiali; e siano annotati soldi sopra di essi: perché
1
4
57 sono soldi imperiali, è necessario che il 12 che sta sopra di essi divenga similmente soldi: dunque anche
1
2
31 saranno similmente soldi: perciò annoterai soldi sopra
1
2
31, e sopra il 12: e perché il prezzo di un centenario di pepe, cioè
11
20
11 lire, deve essere posto sotto il prezzo degli imperiali, cioè sotto
1
2
31; allora è necessario che come
1
2
31 sono soldi, così dalle
11
20
11 libre facciamo, e saranno 231 soldi: questo numero lo scriverai nel riquadro sotto
1
2
31, e annoterai soldi sopra di esso come si vede in quest’altro riquadro, nel quale il problema è questo: 12 soldi di imperiali valgono
1
2
31 soldi di pisanini; e un centenario di pepe vale 231 soldi; e si chiede quanto pepe avrà avuto qualcuno per
1
4
57 soldi. E così moltiplicherai 229, che è sopra
1
4
57, per 63, che è sopra
1
2
31; e per il centenario di pepe, e dividerai il loro totale per la regola del 231 che è
1
0
0
3
7
11
, e per
1
12
e per
1
2
che sta sotto la linea di frazione davanti al 31, e per 4 , che sta sotto la linea di frazione davanti al 57, cioè per
1
0
0
0
0
3
7
8
11
12
; e lì semplificherai ciò che puoi semplificare, farà similmente
1
7
0
2
11
12
65 libre, come è mostrato nel riquadro precedente.

Sullo stesso.
(IX.1.25) D
i nuovo, se nello stesso modo chiederai quanto pepe hai avuto per
1
4
57 [ denari ] imperiali, sappi che avrai avuto di lì tante once, quante libbre avesti da
1
4
57 soldi, cioè
1
7
0
2
11
12
65 once: questo perché, come si dice che
1
4
57 è
1
12
di
1
4
57 soldi, così anche
1
7
0
2
11
12
65 once è
1
12
di
1
7
0
2
11
12
65 libbre: e dal momento che le cose stanno così, indicheremo come si ricavino con abilità tali once: possiamo infatti scrivere questo problema in due modi: in base al primo, invero, che come il prezzo del centenario di pepe, cioè
11
20
11, sono lire, così il prezzo degli imperiali, cioè
1
2
31, siano ugualmente lire, perché altrimenti non possono essere lire, se i 12 imperiali non saranno stati similmente lire. Per cui annoterai lire sopra il 12 e sopra
1
2
31: inoltre, perché dobbiamo scrivere
1
4
57 imperiali sotto le dette 12 lire di imperiali, è necessario che di questi
1
4
57 denari imperiali farai parti di una lira in modo che siano lire sotto lire, e saranno
1
9
4
4
12
20
di una lira; porrai questa frazione sotto il 12 come si vede qui nel riquadro. E questo è il problema, che 12 lire imperiali valgono
1
2
31 lire pisane, e un centenario di pepe vale
11
20
11 lire di pisane; e si chiede quanto pepe qualcuno avrebbe avuto per
1
9
4
4
12
20
di una lira: moltiplicherai il 4, che sta sopra il 20 per 12 e sommerai il 9 che sta sopra il 12; e moltiplica per 4 e somma 1, farà 229 ; che moltiplicherai per 63, e per 100; e per 20, che è sotto la linea di frazione davanti all’11; e devi dividere il loro totale per la regola di 231, che è
1
0
0
3
7
11
per 12 e per gli altri rotti, cioè per 2, e per
1
0
0
4
12
20
, cioè per
1
0
0
0
0
0
0
3
7
8
11
12
20
12
, e semplificherai ciò che puoi semplificare, farà
1
7
0
5
2
11
12
12
5, come si mostra nello riquadro che è tanto quanto
1
7
0
2
11
12
65 once, come abbiamo detto precedentemente.
(IX.1.26) U
gualmente vi è un altro modo di scrivere questo problema, se poni i detti
1
4
57 imperiali sotto i 12 imperiali e saranno
1
4
57 denari e 12 denari e
1
2
31 denari. Perciò si annotino denari sopra ciascuno di questi numeri; e perché il prezzo del centenario di pepe, cioè di
11
20
11 lire, si deve scrivere sotto
1
2
31 denari, è necessario che si facciano denari delle
11
20
11 lire, che sono 2772; e lo porrai sotto
1
2
31 in modo che siano denari sotto denari come si mostra in quest’altro riquadro; e moltiplicherai 229 per 63; e per 100 il cui prodotto dividerai per la regola di 2772 che è
1
0
0
0
4
7
9
11
e per i 12 imperiali, e per i rotti, cioè per
1
2
e per
1
4
; e semplificherai ciò che puoi semplificare, farà similmente
1
7
0
5
2
11
12
12
5 libbre di pepe, come abbiamo trovato nel precedente problema.



Sul baratto del pepe con gli imperiali.
(IX.1.27) E se viceversa avrai chiesto quanti imperiali qualcuno avrà avuto nel modo scritto sopra da
1
4
57 libbre di pepe; scriverai le
1
4
57 libbre sopra il centenario di pepe, come si vede chiaramente in quest’altro riquadro.
E moltiplicherai
1
4
57 per
11
20
11; e per i 12 imperiali, e dividerai il totale per 100 e per
1
2
31, e questo avvenga secondo il metodo che abbiamo mostrato sopra per casi simili; e semplificherai
1
7
e
1
3
che sono nella regola del 63, in virtù del
1
0
3
7
che è nella regola del 231; e sistemerai la frazione della divisione in modo che all'inizio della stessa vi sia
1
0
12
20
: perché il risultato deve essere posto sotto le 12 lire imperiali, farà
6
5
4
10
10
10
12
20
2 come prezzo delle suddette
1
4
57 libbre di pepe.


Sullo stesso.
(IX.1.28) U
gualmente se si chieda quanti imperiali hai avuto per
1
4
57 once: o farai libbre dalle 57 once, che sono
1
9
4
12
4 libbre, e le porrai sopra il centenario di pepe; oppure farai once dal centenario, che sono 1200 once; sopra le quali porrai
1
4
57 once. E nota che è meglio fare once dalle libbre, in questo e in problemi simili, che fare libbre dalle once, perché quando farai libbre dalle once a volte aumenteranno i rotti nel riquadro. Per cui il problema sembra essere troppo difficile. Perciò quando, in qualche altro problema, sarà stato necessario porre i soldi o i denari sotto le lire o sopra le lire di denari, è meglio fare soldi e denari dalle lire, che lire, o parti di esse, dai soldi e dai denari; ed è meglio fare grani dai tareni anziché tareni dai grani. Lo stesso s’intenda per i bisanti e per tutte le monete: sebbene in alcuni problemi del precedente capitolo abbiamo mostrato altrimenti: scritte pertanto le
1
4
57 once sopra le 1200 once, fai soldi dal prezzo del centenario di pepe, cioè da
11
20
11 lire, faranno 231 soldi; ponili sotto
1
2
31: e allora questo problema sarà che 12 soldi di imperiali valgono
1
2
31 soldi; e 1200 once di pepe valgono 231 soldi, come si mostra in quest’altro riquadro. E sappi che poiché abbiamo fatto soldi dalle
11
20
11 lire, perché gli stessi
1
2
31 [NdT]
centum ci pare un chiaro errore
soldi con 12 imperiali, sotto i quali è da porre il risultato, cioè il prezzo delle
1
4
57 once, affinché il prezzo non cresca in grande quantità, si mostrerà più facilmente, perché la richiesta è stata fatta in soldi, che se fosse stata in lire: e moltiplicherai 229 per 231; e per 12, e per 2, che sono sotto la linea di frazione; e dividerai il totale per 63, e per 1200, e per 4; e semplificherai ciò che potrai semplificare e sistemerai
1
12
in cima alla linea di frazione per i denari, si avranno come prezzo di quelle once,
8
3
2
10
10
12
4 soldi: o, altrimenti, ci sia 100 al posto di 1200; e le stesse saranno 100 once per once
1
4
57, e ciò che è sopra di esse, e i restanti numeri saranno denari, cioè 231, e
1
2
31 e 12, e farai come sopra.




Sui baratti delle monete con più monete simili tra loro.

pg.127
(IX.1.29) D
odici imperiali valgono 31 pisanini, e un soldo di genovesi vale 23 pisanini e un soldo di torinesi vale 13 genovesi e un soldo di barcellonesi vale 11 torinesi; si chiede quanti barcellonesi equivalgano a 15 imperiali. Secondo il metodo volgare si consideri innanzitutto quanti pisanini equivalgano ai 15 imperiali, valgono infatti
3
4
38 denari pisani: di questi si consideri quanti genovesi valgano; valgono infatti
5
23
20 genovesi: di questi anche si consideri a quanti torinesi equivalgano; valgono infatti
3
15
13
15
18 torinesi: cioè poco meno di
2
3
18 torinesi: dei quali ancora si consideri di nuovo quanti barcellonesi valgano; valgono infatti poco più di
1
3
20 barcellonesi, che è il prezzo dei 15 imperiali scritti precedentemente. Ma, con cognizione, porrai tutte le monete scritte prima in due linee in ordine, cioè nella linea superiore i 12 imperiali, e 31 pisanini, scrivendoli all’indietro [ da destra a sinistra ], e nella linea inferiore i 12 genovesi e i 23 pisanini , in modo che siano pisanini sotto pisanini, e nella linea superiore 12 torinesi, e 13 genovesi; in modo che i 13 genovesi siano sopra i 12 genovesi: e sotto i 12 torinesi porrai gli 11 torinesi; e all’indietro nella stessa linea porrai i 12 barcellonesi; e così avrai nella linea superiore 12 imperiali , e 31 pisanini, e 13 genovesi, e 12 torinesi: in quella inferiore 23 pisanini, e 12 genovesi, e 11 torinesi, e 12 barcellonesi: e perché hai gli imperiali da cambiare, cioè15, li porrai sotto i 12 imperiali, come qui si mostra; e moltiplicherai quel 15 per i 31 pisanini, essendo questi di traverso; il cui prodotto lo moltiplicherai per i 12 genovesi che sono di traverso allo stesso 31; moltiplicherai il prodotto di questa moltiplicazione di nuovo per i 12 torinesi; perché sono di traverso ai detti 12 genovesi; moltiplicherai ancora il totale dello loro moltiplicazione per 12 barcellonesi, essendo similmente di traverso ai detti 12 torinesi; dividerai tutto questo prodotto per 12 imperiali, e per i 23 pisanini, e per i 13 genovesi, e per gli 11 torinesi; e semplificherai ciò che potrai semplificare, farà
3
3
8
11
13
15
20 barcellonesi come prezzo dei 15 imperiali, cioè poco più di
1
3
20 barcellonesi, come abbiamo detto prima.

(IX.1.30) E allora se avrai avuto 15 barcellonesi da cambiare con imperiali, porrai i 15 barcellonesi sopra i 12 barcellonesi, come si vede in quest’altro riquadro [NdT]
Manca sia nel manoscritto che in Boncompagni
; e allora moltiplicherai i 15 barcellonesi per gli 11 torinesi, e il loro totale per 13 genovesi: e per 23 pisanini e per 12 imperiali; e dividi il prodotto della detta moltiplicazione per i 12 barcellonesi, e per i 12 torinesi, e per i 12 genovesi, e per i 31 pisanini; e avrai
5
4
1
6
8
31
11 imperiali per i detti 15 barcellonesi: così, in base a questo metodo potrai praticare con la maggior parte delle monete. Infatti la proporzione degli imperiali ai barcellonesi è composta dalle quattro proporzioni scritte sopra, cioè da quella fra la quantità di imperiali e il suo prezzo, cioè fra 12 e 31; e da quella che c’è fra il 23 e la sua quantità di genovesi, cioè 12; e da quella che c’è fra la quantità di genovesi ai suoi torinesi, cioè fra 13 e 12; e da quella fra la quantità dei torinesi e la sua quantità di barcellonesi, cioè fra 11 e 12, cioè dalle proporzioni fra gli antecedenti e i conseguenti; e da qua va avanti il suddetto metodo del moltiplicare e del dividere.

Termina la prima parte del nono capitolo.