pagina iniziale capitolo settimo parte quarta del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 29 verso
parte quarta cap VII
 
Parte Quarta

Inizia la quarta parte dell’addizione, sottrazione e divisione di numeri interi con rotti
(VII.4.1 ; G: VII.72) Quando poi vorrai sommare qualche numero con uno o più rotti con qualsiasi altro numero, similmente con uno o più rotti, o sottrarre il minore di essi con il suo rotto, o rotti, dal maggiore con il suo rotto o rotti, o dividere qualcuno di essi con altri, scrivi il numero minore con il suo rotto, o rotti nella parte destra della tavola. Invece il maggiore scrivilo con i suoi rotti nella stessa linea verso sinistra, come abbiamo mostrato nella parte precedente: e moltiplica il numero minore per la sua frazione, così come abbiamo insegnato più sopra; e moltiplica il totale per tutti i numeri che si siano trovati sotto la linea, o le linee del numero maggiore. E riporta il prodotto sopra numero minore scritto prima. Poi moltiplica il numero maggiore per la sua frazione, o frazioni, e per tutti i numeri che sono sotto la linea, o le linee del numero minore. E scrivi il totale sopra lo stesso numero maggiore. E allora se vorrai addizionare, somma quegli stessi numeri trovati, e dividi il totale riunito per tutti i rotti che sono stati posizionati, e avrai la loro somma. E se vuoi sottrarre il maggiore dal maggiore, sottrai il numero trovato, e posto sopra il numero minore del numero trovato, e posto sopra il maggiore , e similmente dividi la rimanenza per tutti i fratti, e avrai la rimanenza che c’è tra il maggiore e il minore. E se vuoi dividere il maggiore per il minore dividi il maggior numero trovato per il minor numero trovato; e così avrai la divisione degli stessi che volevi. E perché tutto ciò si capisca meglio, proponiamo di mostrarli uno ad uno con le posizioni dei numeri presenti.
⎧⎩a +  n m⎫⎭ + ⎧⎩ b +  p q⎫⎭  =

⎧⎩(a m + n) qm q⎫⎭ + ⎧⎩(b q + p) mm q⎫⎭

Addizione di
1
3
12 con
3
4
126
(VII.4.2 ; G: VII.77) Se vorrai sommare
1
3
12 con
3
4
126
, scrivi i numeri come qui si mostra, e moltiplica 12 per la sua frazione, farà 37 terzi; moltiplicalo per il 4 che è sotto la linea dopo il 126, farà 148 dodicesimi, ponili sopra
1
3
12
: poi moltiplica 126 per la sua frazione, farà 507 quarti; moltiplicalo per 3, che è sotto la linea dopo il 12, farà 1521 dodicesimi, ponilo sopra
3
4
126
: e così somma 148 dodicesimi con 1521 dodicesimi, farà 1669 dodicesimi; dividili per entrambi i fratti, cioè per 3 e per 4, o in una sola divisione per 12, farà
1
12
139
, come si mostra nell’argomento.
1521
148
 
3
4
126
1
3
12
somma
1
12
139

Sullo stesso.
(VII.4.3 ; G: VII.79) Puoi infatti trovare questa stessa addizione in altro modo, così somma gli interi con gli interi, cioè 12 con 126, farà 138: poi somma i fratti in uno solo, cioè
1
3 con
3
4
, così come abbiamo mostrato più sopra nella prima parte di questo capitolo, farà
1
12 1; sommalo con 138, farà 139, come abbiamo trovato or ora per la addizione scritta sopra.
Somma è anche uguale a
a + b +  n m +  p q

Sottrazione di
1
3
12 da
3
4
126
pg.72 (VII.4.4 ; G: VII.80) In verità se vorrai sottrarre
1
3
12 da
3
4
126
, scrivi l’argomento come sopra, e trova i prescritti 148 e 1521; e sottrai 148 da 1521, resterà 1373 dodicesimi; dividili per 12 per il motivo scritto sopra, risulterà interamente
5
12
114 come residuo della detta sottrazione, come è mostrato nel riquadro.
O altrimenti: sottrai gli interi dagli interi, cioè 12 da 126, resterà 114: poi sottrai
1
3 da
3
4, resta
5
12, sommalo con , farà similmente
5
12
114.
E se vorrai dividere
3
4
126 per
1
3
12
, dividi 1521 per la regola di 148, che è
1
0
4
37
 per la divisione richiesta, come sarà mostrato nel suo riquadro.
Ugualmente se avrai voluto dividere il minore per il maggiore, cioè
1
3
12 per
3
4
126
, trovati dunque 148 e 1521, dividi 148 per la regola di 1521, che è
1
0
0
9
13
13
 , farà
4
3
1
9
13
13
 di un intero per la divisione richiesta.
1521
148
 
3
4
126
1
3
12
diferenza
5
12
114

1521
148
 
3
4
126
1
3
12
Divisione del maggiore
per il minore

1521
148
 
3
4
126
1
3
12
Divisione del minore
per il maggiore
4
3
1
9
13
13

Addizione di
3
4
13 con
2
5
171
(VII.4.5) ; G: VII.84) Se invero vorrai sommare
3
4
13 con
2
5
171
, scrivi i numeri come abbiamo detto prima; e moltiplica 13 per 4, e somma il 3 che è sopra il 4, farà 55 quarti; moltiplicali per il 5 che è sotto la linea dopo 171, farà 275 ventesimi, ponili sopra
3
4
13
: e moltiplica 171 per la sua frazione, cioè per 5 e somma 2, farà 857 quinti; moltiplicali per il 4 che è sotto la linea dopo il 13, farà 3428 ventesimi, ponili sopra
2
5
171
: poi somma 275 con 3428, farà 3703 ventesimi, dividili per i fratti, cioè per 4 e per 5, che sono sotto le linee di entrambi i numeri, farà
1
1
2
10
185
per la somma richiesta.

somma
3428
275
 
2
5
171
3
4
13
1
1
2
10
 185

Prova della somma scritta sopra
(VII.4.6 ; G: VII.86) Si capisce se questa somma è corretta [ dalla prova ] per 7: moltiplica il resto di 13, che è 6, per 4, e in più somma il 3 che è sopra il 4, farà 27; moltiplica il suo resto, che è 6, di nuovo per 5, che è sotto la linea, farà 30, il cui resto che è 2 è il resto di 275. In modo simile applicati a trovare il resto di 3428 dall’origine degli stessi, così . Moltiplica il resto per sette di 171, che è 3, per il 5 che è sotto la linea, e somma il 2 che è sopra il 5, farà 17; moltiplica il loro resto, che è 3, per il 4 che è sotto la linea, farà 12, il cui resto, che è 5, deve essere il resto di 3428: e poiché sappiamo di aver proceduto in maniera corretta, quando abbiamo avuto questo 3428 fai così: poni questo resto sopra 3428; poi somma il resto di 275, cioè 2, col resto di 3428, cioè col 5, farà 7; il cui resto, che è 0, avrai come resto del totale della addizione.
Esegue la prova del 7


Sulla stessa addizione.
(VII.4.7 ; G: VII.88) Puoi anche trovare un altro modo per la prescritta addizione, cioè se sommi 13 con 271, farà 284; e
3
4 con
2
5, farà
1
1
2
10 1; sommalo con 184, farà
1
1
2
10 185, come è è stato trovato per la loro somma.

Sottrazione di
3
4
13 da
2
5
171
(VII.4.8 ; G: VII.89) E se vorrai sottrarre
3
4
13 da
2
5
171
, sottrai 275 da 3428, rimarrà 3153; dividilo per i fratti, farà
1
6
2
10 157 come residuo della sottrazione richiesta.
Che questo risultato sia giusto, lo saprai con la prova del 7; sottrai il resto di 275, che è 2, dal resto di 3428, che è 5, tieni poi il residuo, che è 3, come resto di
1
6
2
10 157.
Possiamo anche sottrarre in altro modo
3
4
13 da
2
5
171
: sottrai 13 e
3
4 da 171, rimane
1
4
157; aggiungi
2
5, farà
1
4
2
5
157, cioè
1
6
2
10
157.

Divisione di
2
5
171 per
3
4
13

pg.73 		(VII.4.9 ; G: VII.91) E se vorrai dividere
2
5
171 per
3
4
13
, dividi 3428 per la regola di 275, che è
1
0
0
5
5
11
 , farà
3
0
5
5
5
11
12 per la divisione richiesta, il cui resto per 7 deve essere 5, come lo è per il 3428, che viene diviso. E se vorrai dividere
3
4
13 per
2
5
171
, dividi 275 per la regola di 3428, che è
1
0
4
857
 , farà [NdT] 67 nel testo è un chiaro errore
3
68
4
857
 di uno intero: il resto del sette di questi fratti è 2, come fu per 275.
divisione
 
2
5
171
3
4
13

Addizione di
5
6
14 con
2
9
231
(VII.4.10 ; G: VII.92) Parimenti vorrai sommare
5
6
14 con
2
9
231
, scrivi i numeri come qui si mostra. E sebbene questa somma può farsi nel modo scritto sopra, tuttavia indicheremo in che modo debba essere fatta con semplificazione, per ciò che hanno in comune
5
6 con
2
9
. E così moltiplicherai 14 per 6, e sommerai 5, farà 89 sesti; moltiplicali per 3, cioè per la terza parte di 9 per ciò che hanno in comune il 6 e il 9, farà 267 ventottesimi, ponili sopra
5
6
14
, e fa la loro prova con un qualunque resto: infatti il resto di questi per 13 è 7, ponilo sopra 267: poi moltiplica 231 per 9 e somma 2, farà 2081 noni; moltiplicali per un terzo di 6, cioè per 2, farà similmente 4162 ventisettesimi, ponili sopra
2
9
231
, e poni sopra ad essi il resto per 13 di questi, trovato in modo simile, che è 2: poi somma 267 con 4162, farà 4429; dividilo per uno qualsiasi dei rotti, e per la parte in comune l’uno dell’atro, cioè o dividi per 6 e per un terzo di 9, cioè per 3, o dividi per 9 e per un terzo di 6, cioè per 2, farà
1
0
2
9
246 per la somma richiesta, il cui totale ha come resto per 13 il 9, che risulta dalla somma del resto di 267, che è 7, e di 4162, che è 2. E perché tutto ciò sia più comprensibile, dividi 6 e 9 per ciò che hanno un comune, cioè per 3, farà 2 e 3: e poni così il 2 sotto il 6 e il 3 sotto il 9; e moltiplica l’ 89 trovato per il 3 posto sotto il 9, e 2081 per il 2 posto sotto il 6, e avrai i numeri scritti sopra, dividi la loro somma per uno dei numeri che sono sotto la linea e per il numero posto sotto l’altro, cioè per 6 e per 3, o per 9 e per 2. Puoi anche sommare in altro modo
5
6
14 con
2
9
231
, cioè somma prima 14 con 231, farà 245; poi somma
5
6 con
2
9
, farà
1
18
1
, sommalo con 245, farà
1
0
2
9
246
, come abbiamo trovato sopra nel modo precedente.
La somma si può fare con una semplificazione (evitazione)


(2)
(7)
4162
267
2
9 231 		 
5
6 14 		 
3
2
1
0
2
9
246

Fa la prova del 13

Sottrazione di
5
6
14 da
2
9
231
(VII.4.11 ; G: VII.97) E se vorrai sottrarre
5
6
14 da
2
9
231
, sottrai 267 da 4162, resterà 3895, il cui resto per 13 è 8, che si trova così: non potendo evidentemente sottrarre 7, che è il resto di 267, dal resto di 4162, cioè da 2, dovrai sommare il numero del resto, cioè 13, col 2 prescritto, farà 15; da cui sottrai il 7 detto prima, resta 8 come resto di 3895, come abbiamo detto prima: e dividerai così 3895 per
1
0
2
9
 nel modo scritto sopra, farà
1
3
2
9
216 come differenza della detta sottrazione.
Altrimenti sottrai 14 da
2
9
231
, rimane
2
9
217, da cui sottrarrai
2
9
1
, non potendo sottrarre
5
6 da
2
9
, rimarrà 216; e sottrarrai
5
6 da
2
9
1
, facendone diciottesimi, resterà
7
18
, che sommati con 216 fanno
1
3
2
9
216
, come è stato calcolato precedentemente.
⎧⎩231 +  2 9⎫⎭ - ⎧⎩14 +  5 6⎫⎭ =
216 + ⎧⎩1 +  2 9 -  5 6⎫⎭ =
216 +  22 18-  15 18


Divisione di
2
9
231 per
5
6
14
(VII.4.12 ; G: VII.99) Se poi vorrai dividere
2
9
231 per
5
6
14
, dividi 4162 per la regola di 267, farà
1
52
3
89
15 per la divisione richiesta.

Divisione di
5
6
14 per
2
9
231
(VII.4.13 ; G: VII.99) Ugualmente se vorrai dividere
5
6
14 per
2
9
231
, dividi 267 per la regola di 4162, farà
1
133
2
2081
 per la divisione richiesta.

Addizione di
1
4
1
3
15 con
1
7
3
5
322

pg.74 		(VII.4.14 ; G: VII.100) E ancora se vorrai sommare
1
4
1
3
15 con
1
7
3
5
322
, scrivi i numeri come qui è mostrato; e moltiplica 15 per le sue frazioni, cioè per 3, e somma 1; ancora per 4 e somma la moltiplicazione di 1, che è sopra il 4, per 3, farà 187 dodicesimi; moltiplicali per i numeri che sono sotto la linea dopo il 322, cioè per 5 e per 7, farà 6545 quattrocentoventesimi, ponili sopra
1
4
1
3
15
: poi moltiplica 322 per le sue frazioni, farà 11296 trentacinquesimi ; moltiplicali per i numeri che sono sotto la linea dopo il 15, farà 135552 quattrocentoventesimi, ponili sopra
1
7
3
5
322
: poi somma 6545 con 135552, farà 142097 quattrocentoventesimi; dividili per 420, cioè per tutti i numeri che sono sotto le linee, e riuniscili, farà
5
1
3
6
7
10
 338 per la somma richiesta, il cui resto per 11 è 10.
Altrimenti somma
(PdA)
I verbi transitivi addere e iungere (adiungere) risultano specializzati in senso aritmetico (‘addizionare’, ‘sommare’) e sono entrambi costruiti con l’ablativo della cosa incrementata preceduto da cum.  [PdA,pag.10]
15 con 322, farà 337; e somma
1
4
1
3 con
1
7
3
5
, secondo quanto insegnammo nella seconda parte di questo capitolo, farà
5
1
3
6
7
10
 1
; sommalo con 337, farà
5
1
3
6
7
10
 338, come abbiamo detto prima

Sottrazione di
1
4
1
3
15 da
1
7
3
5
322
(VII.4.15 ; G: VII.104) E se vorrai sottrarre
1
4
1
3
15 da
1
7
3
5
322
, sottrai 6545 da 135552, resterà 129007, che dividerai secondo la dimostrazione scritta sopra per
1
0
0
6
7
10
, farà
1
4
1
6
7
10
307 come abbiamo detto prima, come residuo della sottrazione richiesta.
Altrimenti sottrai 15 da 322, rimarrà 307; e sottrai
1
4
1
3 da
1
7
3
5
, rimarrà
1
4
1
6
7
10
; addizionalo con 307, farà
1
4
1
6
7
10
307 come abbiamo detto prima.
In verità se vorrai dividere
1
7
3
5
322 per
1
4
1
3
15
, dividi 135552 per la regola di 6545, farà
2
6
0
12
5
7
11
17
20 per la divisione richiesta.

Divisione di
1
4
1
3
15 per
1
7
3
5
322
(VII.4.16 ; G: VII.105) Ugualmente se vorrai dividere
1
4
1
3
15 per
1
7
3
5
322
, dividi 6545 per la regola di 135552, farà
5
2
0
17
6
8
8
353
 per la divisione richiesta: puoi sommare, e sottrarre, e dividere secondo il modo prescritto qualunque numero con due fratti: tuttavia proponiamo di mostrare subito qualche altro problema, nei quali possiamo semplificare i fattori in comune dei rotti.

Addizione di
1
5
3
4
16 con
1
9
4
5
442 [NdT] 422 è un chiaro errore nel testo,
   anche nel seguito
(VII.4.17 ; G: VII.106) Se vorrai sommare
1
5
3
4
16 con
1
9
4
5
442
, scritti i numeri, moltiplica prima 16 per le sue frazioni, farà 339 ventesimi; anche se li dovresti moltiplicare per 5 e per 9, che sono sotto le altre linee, non li moltiplicherai che per 9, a causa dell’altro 5, che è sotto la linea dopo
3
4
16
, farà 3051 centottantesimi, serbali sopra
1
5
3
4
16
: poi moltiplica 442 per le sue frazioni, farà 19931 quarantacinquesimi, moltiplicali solo per il 4 che è sotto la linea dopo il 16: perciò non moltiplicare per 5 per il motivo suddetto, farà così 79724 centottantesimi, ponili sopra
1
9
4
5
442
: poi somma 3051 con 79724, farà 82775 centottantesimi, dividili per 180 o per tutti i numeri che sono sotto la linea, tranne che per uno dei due cinque: perché come e stato tralasciato il 5 nella moltiplicazione di ciascuno dei due numeri scritti prima, così deve essere tralasciato nella divisione il totale della loro somma: quindi dividi 82775 per
1
0
0
4
5
9
, ed eviterai di lì
1
5
, farà
3
7
4
9
 459 per la somma richiesta.
O puoi sommare interi con interi, e il quinto con i quinti, e
3
4 con
1
9
, come abbiamo insegnato precedentemente; e avrai similmente il totale dell’addizione stessa.

Sottrazione di
1
5
3
4
16 da
1
9
4
5
442

pg.75 		(VII.4.18 ; G: VII.110) Di nuovo, se vorrai sottrarre
1
5
3
4
16 da
1
9
4
5
442
, sottrai 3051 da 79724, rimarrà 76673: dividerai nel modo richiesto per
1
0
0
2
9
10
, farà
1
5
9
2
9
10
425 come residuo della sottrazione richiesta: oppure sottrai
1
5
16 da
1
9
4
5
442
, resta
1
9
3
5
426
; e allora sottrai
3
4 di
1
9
3
5 da
1
9
3
5
, se fosse possibile. Ma poiché non è possibile, sottrai
1
9
3
5
1 da
1
9
3
5
426
, resterà 425: poi sottrai
3
4 del sovrascritto
1
9
3
5
1
, resterà
1
5
9
2
9
10
 oltre a 425 come residuo. Di nuovo se vorrai dividere
1
9
4
5
442 per
1
5
3
4
16
, dividi 79724 per al regola di 3051, farà
2
6
14
3
9
113
26 per la divisione richiesta. E se avrai voluto dividere
1
5
3
4
16 per
1
9
4
5
442
, dividi 3051 per la regola di 79724, farà
3
762
4
19931
 per la divisione richiesta.

Addizione di
1
6
2
5
17 con
1
10
7
9
523
(VII.4.19 ; G: VII.112) Se in verità vorrai addizionare
1
6
2
5
17 con
1
10
7
9
523
, scritti i numeri, moltiplica 5 per 6 che sono sotto la linea, farà 30; e 9 per 10, che sono sotto le altre linee dell’altro lato, farà 90: tieni il 30 nella mano destra , e 90 nella sinistra, e dividili tra loro per ciò che di maggiore hanno in comune, cioè per 30, farà 1 nella mano destra e 3 nella sinistra. Poni dunque l’1 sotto
1
6
2
5 e il 3 sotto
1
10
7
9
, come si trovano scritti nella tavola, e moltiplica 17 per la sua linea, farà 527 trentesimi; moltiplicali per il 3 posto sotto
1
10
7
9
, farà 1581 novantesimi, ponili sopra
1
6
2
5
17
: poi moltiplica 523 per le sue linee, farà similmente 47149 novantesimi; moltiplicali per l’ 1 posto sotto
1
6
2
5
, farà ancora 47149 novantesimi; ponili sopra
1
10
7
9
523
, e sommalo con 1581, farà 48730, dividilo per i numeri che sono sotto la linea di un lato, e per il numero posto sotto la linea dell’altro, cioè per 5, e per 6, e per 3, o per 9, e per 10, e per 1; e così finisce la divisione per 90: poiché occorre che il totale dei predetti novantesimi diventi un numero intero, per la somma richiesta risulterà
4
9
541
: applicati a usare questo modo in tutti i casi simili, perché è più sicuro e migliore degli altri.
E se vorrai sottrarre
1
6
2
5
17 da
1
10
7
9
523
, sottrai 1581 da 47149; dividi il residuo, che è 45568, dividi per
1
0
9
10
 nel modo scritto sopra, farà
4
2
5
9
 506 come residuo della detta sottrazione. Oppure sottrarrai 17 da 523, resterà 506, e sottrarrai
1
6
2
5 da
1
10
7
9
, resterà
4
2
5
9
 come abbiamo detto prima.

Divisione di
1
10
7
9
523 per
1
6
2
5
17
(VII.4.20 ; G: VII.117) Infatti se vorrai dividere
1
10
7
9
523 per
1
6
2
5
17, dividi 47149 per 1581: e se avrai diviso 1581 per 47149, avrai la divisione di
1
6
2
5
17 per
1
10
7
9
523
, come abbiamo mostrato caso per caso.

Termina la quarta parte del settimo capitolo.