pagina iniziale capitolo settimo parte seconda del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF,  folio 27 verso
parte seconda cap VII
 
CAPITOLO SETTIMO
Parte Seconda

Parte seconda della somma e della sottrazione dell’unione di due rotti e della loro divisione.
pg.66 (VII.2.1) Se vorrai sommare
1
4
1
3
con
1
7
1
5
, vedi in quale numero si trovino
1
4
1
3
1
7
1
5
, che si deve vedere in questo modo: moltiplica insieme i numeri che sono sotto le linee, cioè 3 per 4; che per 5; e che per 7, farà 420, che è il minimo multiplo dei numeri prescritti [il minimo comune multiplo], cioè che è il numero minore nel quale si trovano i rotti prescritti; poiché non hanno nessuna regola in comune tra loro. Prendi dunque
1
3
di 420, che è 140, e sommalo con la quarta parte del medesimo 420, cioè per 105, e con la quinta che è 84, e con la settima che è 60, farà 389; dividilo per 420, risulterà
389
420
come somma dei rotti scritti sopra. Ed è la stessa cosa quando si chiede quali parti di un intero siano
1
7
1
5
1
4
1
3
. Possiamo infatti, secondo un altro insegnamento dei numeri, sommare
1
4
1
3
con
1
7
1
5
, cioè si scrivano i rotti secondo ciò che qui si vede; e moltiplica l’1 che è sopra il 3 per 4, e l’1 che è sopra il 4 per 3, farà 7; moltiplicalo per 5, e per 7, e che sono sotto le altre due linee dell’altro lato, farà 245, che è
1
4
1
3
di 420, come troviamo sopra: poni dunque 245 sopra
1
4
1
3
nel riquadro; poi vai a
1
7
1
5
; e moltiplica l’1 che è sopra il 5 per 7, e l’1 che è sopra il 7 per 5, [ la somma ] farà 12; moltiplicalo per 3 e per 4, che sono sotto la linea, farà 144, che è
1
7
1
5
di 420: poni dunque 144 sopra
1
7
1
5
, e somma 144 con 245, farà 389; dividilo per i rotti, cioè per
1
0
0
0
3
4
5
7
, e sistema i rotti prescritti, farà
5
1
9
6
7
10
, che è uguale a
389
420
.

1
4
1
3
+
1
7
1
5
=
1
4
+
1
3
+
1
7
+
1
5

Riduce le frazioni allo stesso denominatore



 
144
245
 
1
7
1
5

1
4
1
3

 
5
1
9
6
7
10
addizione

389 : 6 = 64
resto
5
64 : 7 = 9
resto
1
9: 10 = 0
resto
9


Sottrazione di
1
7
1
5
da
1
4
1
3
(VII.2.2) Se in verità vorrai sottrarre
1
7
1
5
da
1
4
1
3
, troverai i sopra scritti 245 e 144 nello stesso modo che vorrai dei due modi prescritti, e sottrai 144 da 245, resterà 101; dividilo per
1
0
0
6
7
10
nel modo scritto prima, farà
5
2
2
6
7
10
come residuo della detta sottrazione. E se dividerai
1
4
1
3
per
1
7
1
5
, dividi 245 con la regola di 144, farà
1
2
6
2
8
9
1. E se avrai diviso 144 per la regola di 245 avrai
4
0
4
5
7
7
come ciò che concerne la parte intera dalla divisione di
1
7
1
5
per
1
4
1
3
, come è mostrato nel riquadro.
101 : 6 = 16
resto
5
16 : 7 = 2
resto
2
2: 10 = 0
resto
2


245
2 × 8 × 9
=
1
2
6
2
8
9
1

144
5 × 7 × 7
=
4
0
4
5
7
7
1

Addizione di
2
7
3
5
con
2
9
3
8
(VII.2.3) Ancora se vorrai sommare
2
7
3
5
con
2
9
3
8
, cercherai il numero nel quale si trovino i rotti, e sarà 2520, che risulta dalla moltiplicazione dei quattro numeri che sono sotto la linea; e non si trovano in un numero più piccolo, ciò perché non hanno nessuna regola comune tra loro: e prendi i
3
5
di 2520, che è 1512, e sommali con i
2
7
di 2520 che fa 720, farà 2232, e serbali. Ancora prendi
2
9
3
8
di 2520, che è 1505, e sommalo con il 2232 serbato, farà 3737; dividilo per la regola di 2520, che è
1
0
0
0
4
7
9
10
, farà
1
3
7
4
4
7
9
10
1
. Poi scrivi i rotti in un altro modo, come si vede più in basso, e comincia da
2
7
3
5
così: moltiplicherai il 3, che è sopra il 5, per il 7 che è sotto la linea, farà 21. Poi moltiplicherai il 2 che è sopra il 7, per 5, farà 10, sommali con 21, farà 31; che moltiplicherai per gli altri rotti, cioè per 8 e per 9, cioè per 72, farà 2232, come si è trovato sopra per
2
7
3
5
di 2520: poni dunque 2232 sopra
2
7
3
5
, e vai a
2
9
3
8
; e moltiplica il 3 che è sopra l’8, per 9, e il 2 che è sopra il 9, per 8, e sommali insieme, farà 43; moltiplicalo per gli altri rotti, cioè per 5 e per 7, farà 1505, come abbiamo trovato sopra per
2
9
3
8
di 2520: poni quindi 1505 sopra
2
9
3
8
: poi somma 1505 con 2232, farà 3737; dividilo per tutti numero che sono sotto le linee, e li sistemerai, farà ancora
1
3
7
4
4
7
9
10
1
.



 
1505
2232
 
2
9
3
8

2
7
3
5

 
1
3
7
4
4
7
9
10
1
addizione

Sottrazione di
2
9
3
8
da
2
7
3
5
(VII.2.4) Se invece vorrai sottrarre
2
9
3
8
da
2
7
3
5
, prenderai i 2232 e 1505 scritti sopra , e sottrarrai 1505 da 2232, resterà 727; dividilo nel modo scritto sopra per
1
0
0
0
4
7
9
10
, farà
3
6
7
2
4
7
9
10
. come si vede in quest’altro riquadro. E se vuoi dividere
2
7
3
5
per
2
9
3
8
, dividi 2232 per la regola di 1505, e se vuoi il contrario fai il contrario; e avrai ciò che hai voluto, come si vede nel riquadro.

 
1505

 differenza 
2232
 
2
9
3
8

2
7
3
5

 
3
6
7
2
4
7
9
10

Somma di
1
4
1
3
con
1
6
1
5
pg.67 (VII.2.5) Ugualmente se vorrai sommare
1
4
1
3
con
1
6
1
5
, troverai il numero nel quale si trovino i rotti scritti prima. E sarà 60 , numero che si trova dalla moltiplicazione di 3 per 4 e per 5; e non occorre che il 60 sia moltiplicato per 6 per la regola in comune che hanno il 6 col 3 e col 4: infatti il 3 è interamente comune allo stesso 6: per cui non occorre che il 60 sia moltiplicato se non per un terzo di 6, che è 2, e non occorre moltiplicare il 60 neanche per 2 perché il 2 è nella regola di 4: e per dirlo in modo più agevole: la regola del 6 è
1
0
2
3
. Quindi nella moltiplicazione non ripetiamo il 3 né il 2, che sono la regola del 6 per 3 e per 4 , e abbiamo moltiplicato il 4 quando avemmo 60. Infatti in ogni numero nel quale si trovano
1
4
1
3
, si troverà anche
1
6
: prendi dunque
1
6
1
5
1
4
1
3
di 60 e sommali insieme, farà 57; dividilo per 60, farà
57
60
: ma poiché il 57 ha in comune la regola col 60, cioè
1
3
, possiamo dire questo
57
60
in modo più bello, cioè se dividi 57 per 3 farà 19: similmente dividi 60 per lo stesso 3, farà 20; per il quale dividi 19, farà
19
20
che è uno intero meno un ventesimo. Ancora scrivi in altro modo i rotti come qui si mostra; e comincia da
1
4
1
3
, e moltiplicherai l’1, che è sopra il 3, per 4, e l’1, che è sopra il 4, per 3, farà 7; moltiplicalo per il 5 che è sotto la linea, farà 35, che dovresti moltiplicare per 6, se non lo lasciassi per ciò che il 6 ha in comune con
1
4
1
3
: poni dunque 35 sopra
1
4
1
3
, che è
1
4
1
3
di 60, poi moltiplica l’1 che è sopra il 5, per 6, e l’1 che è sopra il 6, per 5, farà 11, che dovresti moltiplicare per 3 e per 4: ma tralascerai ciò: non moltiplicherai per 3; perché è nella regola del 6, né per 2, che è nella regola del 4; essendo similmente nella regola del 6: quindi moltiplicherai l’11 scritto sopra per il 2 che resta dal 4, farà 22, che è
1
6
1
5
di 60: poni quindi il 22 sopra
1
6
1
5
e sommerai 22 con 35, farà 57, come abbiamo trovato sopra: e dividilo per
1
0
0
3
4
5
; poiché non devi dividerlo per 6, perché perché lo abbiamo tralasciato dalla moltiplicazione da entrambi i lati, e sistemerai i rotti, scritti sopra, farà
1
9
2
10
, cioè
19
20
, come si mostra nel riquadro.


Calcola il minimo comune multiplo di 3,4,5,6.

 
22
35
 
1
6
1
5

1
4
1
3

 
  5 2  
1
9
2
10
addizione
(VII.2.6) Dirò in un altro modo e più chiaro come trovare il 35 e il 22 scritti sopra. Moltiplica 3 per 4, che sono sotto la linea da una parte, farà 12: serbalo nella mano destra; e moltiplica 5 per il 6 che sono sotto le altre due linee dall’altro lato, farà 30, serbalo nella mano sinistra; e dividi entrambi i numeri serbati in mano per la loro massima misura comune , che è 6, farà 2 nella mano destra e 5 nella sinistra: porrai il 2 sotto
1
4
1
3
, e 5 sotto
1
6
1
5
; e moltiplicherai il 7 trovato per il 5 posto sotto
1
6
1
5
, e l’11 per il 2 posto
1
4
1
3
e avrai 35 e 22; la cui somma, cioè 57, dividila per i numeri che sono sotto la linea di un lato, e per il numero posto sotto le altre, cioè per 5 e per 6 e per 2, o per 3 e per 4 e per 5, cioè per la regola del 60.

Il minimo multiplo comume si ottiene dal prodotto diviso il massimo comun divisore.


Sottrazione di
1
6
1
5
da
1
4
1
3
(VII.2.7) Se invece vorrai sottrarre
1
6
1
5
da
1
4
1
3
, prenderai il prescritti 35 e 22, e sottrarrai 22 da 35, resterà 13, che dividi nel modo sovrascritto per
1
0
6
10
, farà
1
2
6
10
come resto della detta sottrazione.

 
22
35
 
1
6
1
5

1
4
1
3

 
1
2
6
10
sottrazione

Addizione di
1
7
2
3
con
1
9
3
5
(VII.2.8) Ancora, se vorrai sommare
1
7
2
3
con
1
9
3
5
, trova un numero nel quale si trovino i numeri scritti sopra, e sarà 315; questo numero viene dalla moltiplicazione dei rotti, evitato di lì tuttavia il 3, che è la regola comune del 9 e del 3; che non occorre ripetere nella moltiplicazione, poiché
1
3
e
1
9
si trovano nel 9: per cui ogni numero che ha
1
9
, ha similmente anche
1
3
: prendi quindi
2
3
di 315, che sono 210, e sommalo con
1
7
dello stesso, che è 45, farà 255, serbalo: e prendi
1
9
3
5
dallo stesso 315, che fa 224 [NdT]
234 è un chiaro errore
, e sommalo con 255, farà 489; dividi per la regola del 315, che è
1
0
0
5
7
9
, farà
4
4
4
5
7
9
1
.
pg.68 (VII.2.9) Altrimenti secondo l’abilità scrivi i rotti come qui si mostra, e comincia da
1
7
2
3
: moltiplica il 2 che è sopra il 3 per 7, e l’1 che è sopra il 7 per 3, e sommali insieme, farà 17; moltiplicalo per 5, farà 85; moltiplicalo per la terza parte di 9, cioè per 3, per la comunanza della regola che ha il 3, che è sotto la linea, con il 9; e quella moltiplicazione farà 255, che è
1
7
2
3
di 315, come abbiamo trovato più sopra. Porrai dunque 255 sopra
1
7
2
3
, e aggiungi
1
9
3
5
moltiplicando 3 che è sopra il 5 per 9 e 1 che è sopra il 9 per 5 farà 32; moltiplicalo per 7, farà 224, come è stato trovato più sopra per
1
9
3
5
di 315: non occorre moltiplicare questo 224 per il 3, che è sotto la linea per l’essere in comune detto prima, che il 3 ha con il 9: poni quindi 224 sopra
1
9
3
5
e somma 224 con 255, farà 479; dividilo per
1
0
0
5
7
9
, che è sotto la linea, e lascia il 3 che non dividerai per esso; ciò nella moltiplicazione di entrambe le parti tralasciasti di moltiplicare per 3, perché non moltiplicasti per il 3: per cui non devi dividere per 3 il totale delle addizioni di quelle stesse parti; ma lo devi dividere per gli altri rotti in quanto moltiplicasti per gli stessi, farà
4
4
4
5
7
9
1
, come più sopra.
addizione
224 255
1
9
3
5
1
7
2
3

Sottrazione di
1
9
3
5
da
1
7
2
3
(VII.2.10) Se inoltre vorrai sottrarre
1
9
3
5
da
1
7
2
3
, trova i suddetti 255 e 234 [NdT]
Il testo riporta il valore sbagliato di 234, anziché 224 e il resto è conseguentemente sbagliato.
Il risultato della sottrazione é
31
315
=
1
6
0
5
7
9
.
: sottrai 234 da 255, resterà 21, dividilo nel modo sovrascritto solo per
1
0
0
5
7
9
e dividi prima per 7 e per 9, che per 5: perché 21 è diviso interamente per 7 e per il 3, che è nella regola dello stesso 9, farà
3
0
9
5
come residuo della detta sottrazione, cioè
1
0
3
5
: per la loro divisione a vicenda poi fai come sopra.
 sottrazione 
 
1
9
3
5
1
7
2
3
 

Addizione di
1
5
3
4
con
1
10
2
9
(VII.2.11) Parimenti vorrai sommare
1
5
3
4
con
1
10
2
9
, moltiplica i numeri che sono sotto la linea, cioè 4 per 5, farà 20; e per 9, farà 180; e non occorre moltiplicare 180 per 10 poiché in 180 si trova
1
10
. Perciò prenderai
1
5
3
4
di 180, cioè 171, e li sommerai con
1
10
2
9
di 180, cioè con 58, farà 229 che dividi per 180, farà
1
6
2
2
9
10
1
.
(VII.2.12) Altrimenti scrivi i rotti, e moltiplica il 3, che è sopra il 4, per 5 e [ aggiungi ] l’1 che è sopra 5 per 4, farà 19, che moltiplica per 9, farà 171, che ometti di moltiplicare per 10 per ciò che ha in comune col 5 e col 4: poni quindi 171 sopra
1
5
3
4
poiché essi sono
1
5
3
4
di 180: poi moltiplica il 2 che è sopra il 9, per 10 e [ aggiungi ] l’1, che è sopra 10 per 9, farà 29; moltiplicalo per 2, e lascia ciò che 10 ha in comune con 4 e con 5, farà 58, che è
1
10
2
9
di 180: somma quindi 58 con 171, farà 229: dividilo per i rotti, che sono in uno stesso lato e per il rotto dell’altro lato, che è moltiplicato nella moltiplicazione, cioè, o per 4 e per 5 che sono in uno stesso lato; e per 9 che è nell’altro lato, per il quale moltiplichiamo più sopra il 19: o dividi per 9 e per 10, che sono dall’altro lato, e per 2 che abbiamo assunto dall’altro lato nella moltiplicazione, per il quale cioè moltiplicammo il 29, infatti
1
0
0
4
5
9
o
1
0
0
2
9
10
è lo stesso, e una qualunque di quelle frazioni è la regola di 180, farà
1
6
2
2
9
10
1
.

addizione
58
171
1
10
2
9
1
5
3
4
1
6
2
2
9
10
1
(VII.2.13) Infatti se vorrai sottrarre
1
10
2
9
da
1
5
3
4
, troverai il 171 e il 58 scritti sopra, e sottrarrai 58 da 171, resterà 113; dividilo nel modo scritto sopra per
1
0
0
2
9
10
, farà
1
2
6
2
9
10
come residuo della detta sottrazione. E se vuoi dividerli fra loro fai come sopra.
sottrazione
58
171
1
10
2
9
1
5
3
4
1
2
6
2
9
10
(VII.2.14) Voglio mostrare il modo di trovare la minima misura comune di qualunque dei dati numeri: così se vuoi trovare il numero nel quale si trovino
1
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
, moltiplica il numero maggiore che sta sotto la linea di frazione per il seguente; poiché non hanno nulla in comune, cioè 10 per 9, farà 90. Moltiplicalo per ciò che ha in comune con l’8, cioè per la sua metà essendo il 2 la loro misura comune, sarà 360; moltiplicalo per 7; poiché non nulla da semplificare tra loro, farà 2520, che non occorre moltiplicare per 6; poiché la sua regola è
1
0
2
3
; parti che sono delle parti dei numeri moltiplicati; infatti
1
2
viene dalla regola del 10, regola che è
1
0
2
5
e
1
3
viene dalla regola del 9: né è da moltiplicare anche 2520 per 5; essendo il 5 nella regola del 10, né anche per 4, o per 2; essendo nella regola dell’8. Ugualmente non occorre moltiplicare 2520 per 3; essendo dalla regola del 9: quindi in 2520 si trovano tutti i rotti scritti sopra; ed è la minima misura comune di tutti i numeri, che sono sotto la prescritta linea

Come trovare il minimo comune multiplo di 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Termina la seconda parte del settimo capitolo.