pagina iniziale capitolo sesto parte quinta del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF,  folio 24 recto
parte quinta cap VI
CAPITOLO SESTO
Parte Quinta

Inizia la parte quinta


pg.57
(VI.5.1) S
e vuoi moltiplicare 21 e
1
3
e
1
4
e
1
5
per 32 e
3
7
e
2
9
e
1
8
, scrivi i numeri come si vede in margine; e moltiplica 21 per 3 e somma l’1 che è sopra il 3, farà 64; moltiplicalo per 4, e per il 5 che sono sotto la linea (o in una sola moltiplicazione: moltiplica 64 per 20), farà 1280 sessantesimi; e moltiplica l’1, che è sopra il 4 che è un quarto, per 5 che è sotto la terza linea; e per 3 che è sotto la prima, farà 15 sessantesimi. Ancora moltiplica l’1, che è sopra il 5 che è un quinto, per il 4 che è sotto la seconda linea, e per il 3 che è sotto la prima, farà 12 sessantesimi: somma quindi 1280 e 15 e 12 sessantesimi, farà 1307 sessantesimi; e tanti sessantesimi sono in
1
5
1
4
1
3
21
; la cui prova per 11 è 9, che si ha nell’ordine nel quale sono moltiplicati i numeri. Similmente calcola i rotti di
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8
2
9
3
7
32
, cioè moltiplica 32 per 7 e aggiungi il 3 che è sopra il 7; e moltiplica per 9 e per 8, farà 16344 cinquecentoquattresimi. Ancora moltiplica per 8 il 2 che è sopra il 9; poi per il 7, farà similmente 112 cinquecentoquattresimi. Ancora moltiplica l’1 che è sopra l’8 per 9, farà 9 settantaduesimi, moltiplicali per 7, farà 63 cinquecentoquattresimi, che sommati ai 112 cinquecentoquattresimi e a 16334, faranno 16519 cinquecentoquattresimi la cui prova per 11 è 8: poi moltiplica 1307 per 16519, e dividi il totale per 60 [ per ] 504, cioè per tutti i numeri che sono sotto le sei linee, cioè per
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0
0
0
0
0
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e sistemali, cioè di
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fai
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0
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e di
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2
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fai 6; e così avrai per la sistemazione della linea di frazione
1
0
0
0
0
6
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10
; e il totale della moltiplicazione richiesta è
5
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10
713
, come è mostrato in margine.
21 + 
1
3
 +
1
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 +
1
5
=
=
1280
60
 +
1
4
 +
1
5
=
=
1280
60
 +
15
60
 +
12
60


Verifica con la prova per 11


32 + 
3
7
 +
2
9
 +
1
8
=
=
16344
504
 +
112
504
 +
63
504


1307
(9
1
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1
4
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3
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16519 (8
1
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2
9
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7
32
 
5
3
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6
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10
713
(VI.5.2) E ricorda, in simili casi, di non porre mai sotto le linee di frazione da una sola parte numeri comunicanti [ aventi fattori in comune ] tra loro: e se ti saranno proposti da qualcuno, sommali, cioè riducili a una sola linea di frazione se potrai, o a due, con il metodo che trovi più sopra, e con ciò che è scritto nelle tavole precedenti: ma affinché tu lo capisca meglio, proporrò qualche sistemazione delle linee di frazione: così se vuoi sistemare  1 6  1 4  1 3 , di  1 6  1 3 [NdT] La linea di frazione continua
  è un chiaro errore
fai  1 2 , e di  1 4  1 2 fai  3 4; e così per  1 6  1 4  1 3 avrai  3 4 . Allo stesso modo, per  1 10  1 6  2 5 avrai  2 3 ; poiché  1 10  2 5 sono  1 2 e  1 6  1 2 sono  2 3 . Di nuovo per  1 8  1 4  1 2 si avrà  7 8 , e per  1 9  1 6  1 2 si avrà  7 9 : perché  1 6  1 2 sono  2 3 e  1 9  2 3 sono  7 9 ; e per  1 8  1 5  1 4 si avrà  3 8  1 5 , e per  1 10  1 9  1 3 si avrà  1 10  4 9 e per  1 8  1 6  1 4 si avrà  3 8  1 6 ; e per  3 8  1 6 si avrà  13 24 , cioè
1
4
3
8
[NdT] La linea di frazione spezzata nel testo
  è un chiaro errore
 , e se vuoi sistemare  1 9  1 8  1 6 , somma prima  1 6 con  1 9 , farà  5 18 . Poi somma  5 18  1 8 , cioè moltiplica la metà di 8 per 18, o la metà di 18 per 8, o prendi la metà della moltiplicazione di 8 per 18, e si avrà 72; e qualunque cosa avrai fatto dai predetti serbala sotto una qualche linea di frazione per il denominatore: poi, per avere il numeratore, moltiplica 1, che è sopra l’8, per la metà di 18 e il 5 che è sopra 18 per la metà di 8, farà 9 e 20, cioè 29 come denominatore: ponilo quindi sopra il 72 e avrai  29 72 per  1 9  1 8  1 6 : o altrimenti, trovato il denominatore che è chiamato da molti colonna, essendo il numero minimo da dividere interamente per 6 e per 8 e per 9, cioè 72, prendi da esso  1 6 e  1 8 e  1 9 , risulteranno 12 e 9 e 8, cioè 29 come numeratore. E se vuoi ridurre  29 72 in parti delle parti di 72, dividi 29 per la regola di 72, farà
5
3
8
9
 , frazione che avrai al posto di  1 9  1 8  1 6 .




Consiglia di sommare le frazioni che hanno
dei denominatori con fattori comuni


 1 6
+
 1 4
+
 1 3 =  1 6
+
 1 3
+
 1 4 =  1 2 +  1 4 =  3 4




 1 8
+
 1 4
+
 1 2 =  1 + 2 + 4 8




 1 9
+
 1 8
+
 1 6 =  8 + 9 + 12 9 × 8
(VI.5.3) A
ncora, se vuoi sistemare  1 10  1 8  1 6 , trova il più piccolo numero misurato dai numeri 6 e 8 e 10, cioè il numero minore che si divida interamente per uno qualunque di essi, e sarà 120: ponilo sotto una qualche linea di frazione, e prendi  1 10  1 8  1 6 di 120, farà 20 e 15 e 12, sommali insieme, farà 47, ponilo sopra la linea così  47 120: e se vuoi ridurre la frazione in parti delle parti di 120, dividi 47 per la regola di 120, farà
1
5
3
2
6
10
, frazione che si avrà al posto di  1 10  1 8  1 6. Perciò ordina tutte queste cose tenacemente in memoria; e così torniamo a proposito [ sui nostri passi ].

Somma le frazioni usando
il minimo comune multiplo dei denominatori

Sulla moltiplicazione dei numeri interi con tre linee di frazione
e due rotti sotto una sola linea
(VI.5.4) S
e vuoi moltiplicare 23 e due settimi e due terzi di un settimo e due noni e un ottavo di un nono e un quinto e due quinti di un quinto per 32, e cinque tredicesimi e un quarto di un tredicesimo e tre decimi, e due quinti di un decimo e cinque diciasettesimi e mezzo diciasettesimo, poni i numeri come si vedono in margine, e moltiplica 23 per il suo primo rotto, cioè 7 , e aggiungi 2; e per 3 e aggiungi il 2 che è sopra il 3, farà 491; moltiplicalo per 9; e per 8; e per 5; e per 5 che sono sotto la terza linea di frazione, farà 883800; il cui resto per la prova dell’11 è 5. Ancora moltiplica il 2 che è sopra il 9, per l’8 che è sotto la stessa linea; e aggiungi l’1 che è sopra l’8, farà 17; moltiplicalo per 5;e per 5 che sono sotto la terza linea , farà 425; e per 3 e per 7 che sono sotto la prima linea, farà 8925; la cui prova è 4: poi moltiplica l’1 che è sopra il 5, per il 5 che è sotto dopo di lui, e somma 2, farà 7; moltiplicalo per 8, e per 9,e per 7, e per 7 che stanno sotto la seconda e la prima linea, farà 10584, il cui resto è 2: somma prima i tre resti trovati, cioè 7 e 4 e 2, farà 11, il cui resto è 0: serbalo e aggiungi dopo [ somma ] i tre numeri trovati, farà 903309, il cui resto è lo 0 che hai serbato, la cui prova cercherai nel numero suddetto in questo modo: diviso dapprima il 90, cioè il numero delle due ultime figure per 11, resta 2 che unito con il 3, che è in quarta posizione, fa 23; che diviso per 11, resta 1: questo unito col 3 in terza posizione farà 13; diviso il quale per 11 resta 2; questo unito con lo 0 in seconda posizione, farà 20; che diviso per 11, resta 91; che unito col 9 in prima posizione, fa 99 che diviso per 11, resta 0 come è necessario: e questo è il modo di cercare le prove nei numeri: serba quindi 903309, e la loro prova sopra il 23:
Moltiplica

2
1
5
5
1
2
8
9
2
2
3
7
23
per
1
5
2
17
2
3
5
10
1
5
4
13
32


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7
23 =
=
491
3
×
7
+
17
8
×
9
+
7
5
×
5
=

=
883800
+
8925
+
10584
3
×
7
×
8
×
9
×
5
×
5
=

=
903309
3
×
7
×
8
×
9
×
5
×
5
(VI.5.5) p
oi moltiplica 32 per le sue linee di frazione nell’ordine con cui hai moltiplicato 23 per le sue, farà 2923156; serbalo con il loro resto, che sarà 5, sopra il 32; e moltiplica 903309 per 2923156, e dividi per tutti i numeri che sono sotto la linea di frazione: ma prima di tutto per la semplificazione che può essere fatta, dividi 903309 per 3, farà 301103; e dividi 2923156 per 4, risulta 730789, moltiplicalo per 301103 e cancella dalla divisione il 3 che è sotto la prima delle superiori, e il 4 che è sotto la prima linea inferiore, e riunisci i numeri restanti sotto una stessa linea, la loro riunione è
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
7
9
10
10
10
10
13
17
; e così si avrà il totale richiesto, come è mostrato in margine. E poiché questo totale lo hai avuto dalla divisione del numero creato dalla moltiplicazione di 301103 per 730789, devi avere il suo resto dalla moltiplicazione del resto di 301103, che è 0, per il resto di 730789 che è 4; perciò il resto del totale scritto sopra è 0, perché 0 per 4 fa 0.
Verifica le operazioni con la prova dell’11
903309
(0
2
1
5
5
1
2
8
9
2
2
3
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23
2923156 (5
1
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32
 
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10
10
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13
17
790

Sullo stesso argomento con tre frazioni sotto una stessa linea
(VI.5.6) U
gualmente se volessi porre tre rotti sotto una sola linea, come in questa in cui è posta la moltiplicazione di
1
2
1
3
5
5
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2
3
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9
10
1
1
6
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11 per
2
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2
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3
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22
, scritto l’argomento, moltiplicherai 11 per la sua prima linea, farà 2705, moltiplicalo per tutti i numeri che sono sotto le altre sue due linee, farà 36517500, serbalo: e moltiplica il 3 che è sopra il 10 della seconda linea per 9, e aggiungi 2; moltiplicalo per 2, e aggiungi l’1, farà 59, moltiplicalo per i numeri che sono sotto le altre due linee di frazione, cioè sotto la terza e sotto la prima, farà 1053150, conservalo: poi prendi il numero della terza linea, cioè moltiplica l’1 che è sopra il 5 per l’altro 5, che è dopo questo, e somma 2; e per 3, e somma 1, sarà 22, moltiplicalo per tutti i numeri che sono sotto le altre due linee, cioè sotto la seconda e sotto la prima, sarà 942480: somma quindi 942480 con 1053150 e con 36517500, farà 38513130, ponilo sopra l’11 e le sue linee di frazione: poi moltiplica 22 per le sue frazioni, nel modo in cui moltiplicasti l’11 per le sue, saranno in totale 145288710, ponilo sopra 22 e le sue linee di frazione; e moltiplica 38513130 per 145288710, e dividi per tutti i rotti che sono sotto tutte le linee di frazione, e avrai il totale della moltiplicazione richiesta. Infatti se vorrai semplificare ciò che di lì si può semplificare, dividi 38513130 per 10, che è sotto la seconda linea del lato inferiore: poiché può essere fatto interamente, farà 3851313; dividilo per il 3 che è sotto la terza linea del numero superiore, farà 1283771 che serberai; (perché non può essere diviso per alcun numero esistente sotto una qualunque delle sei linee di frazione sovrascritte, e lascerai indietro ciò che non dividerai per 3, né per 10, nel modo in cui li hai divisi): poi dividi 145288710 per il 10, che è nella prima linea del numero inferiore, e per il 7 e per il 9 che sono sotto la seconda linea: poiché si possono dividere interamente per essi, farà 230617; moltiplicalo per , farà 296059416707; dividilo per ogni altro numero che si trova sotto la prescritta linea, cioè per
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
3
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17
sistemalo secondo il sovrascritto modo di sistemazione, farà
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10
10
17
274 come totale della moltiplicazione richiesta.

1
1
6
2
7
17
11 =
2705
2
×
7
×
17


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3
2
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=
59
2
×
9
×
10


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1
3
5
5
=
22
3
×
5
×
5

la somma è

38513130
2
×
7
×
17
×
2
×
9
×
10
×
3
×
5
×
5


La prova per 11 è 10
38513130
(7
1
2
1
3
5
5
1
2
3
2
9
10
1
1
6
2
7
17
11
145288710 (6
2
5
1
3
6
7
1
2
2
5
7
9
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3
3
2
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10
22
la prova è (10)
 
1
2
1
0
1
3
9
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0
4
2
7
7
8
9
9
10
10
10
17
274

Termina la quinta parte del sesto capitolo.




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