pagina iniziale capitolo sesto parte terza del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF,  folio 22 verso e 23 recto
parte terza cap VI
 
CAPITOLO SESTO
Parte Terza [NdT] Nel testo non compare la divisione tra
  la parte seconda e la parte terza che
  noi abbiamo ottenuto sulla base del
  contenuto dell’indice posto all’inizio
  del capitolo.

Sulla moltiplicazione dei numeri con due rotti sotto due linee di frazione
(VI.3.1) Ancora se vuoi moltiplicare  [NdT] Nel testo per errore la linea
  di frazione è unica
 1 9  1 817 per  1 17  1 328 , moltiplica gli interi per i loro rotti nell’ordine scritto sopra; e avrai per il numero superiore il numero 1241, e per l’inferiore il numero 1448; devi moltiplicare tra loro questi numeri e dividere il totale per tutti i rotti, cioè per 1
0
0
3
8
9
17 
. E poiché per la condivisione tra il numero da dividere e quello che divide, cioè tra i numeri che si moltiplicano tra loro e i numeri che sono sotto la linea di frazione, devi imitare il modo di semplificazione sopraddetto, cioè prendi  1 17 di 1241, cioè 73, al posto di uno dei numeri dalla moltiplicazione, per questo toglieremo il 17 che è sotto la linea. Ugualmente prendi  1 8 di 1448, cioè 181 al posto dell’altro; e togli  1 8 dalla linea di frazione. Quindi moltiplicherai 73 per 181, e dividerai il totale per i numeri restanti, che sono sotto la linea di frazione, cioè per  1
 3
 , farà  1
 3
489 per la moltiplicazione richiesta: prenderai la prova del suo totale dalla prova di 73 e di 181; essendo il totale diviso dalla loro moltiplicazione. Infatti per  3 9 dirai  1 3 ; per  1
 3
dirai  1 3 e un terzo di un nono.

 1 9  1 8 17 =  1241 9×8

 1 17  1 3 28 =  1448 17×3



1241 = 73 × 17
1448 = 181 × 8



 1
3 
3
9
=
=  3 9 +  1 3×9 =  1 3 +  1 3×9
(VI.3.2) Ancora abbiamo questo in qualche linea di frazione:  2
3
2
 4
6
8
10 
 , che dirai in questo modo: per  5 10 dirai  1 2 ; e per  2 8 dirai la quarta parte di un decimo; e per  3 6 dirai un mezzo di un ottavo di un decimo, e per  2 4 dirai la metà di un sesto di un ottavo di un decimo; e queste sono in relazione per ciò che i numeri superiori hanno in comune con gli inferiori.
 2
3
2
 5   4
6
8
10 
=
=  5 10 +  2  8×10 +  3   6×8×10 +  2    4×6×8×10 =
=  1 2 +  1  4×10 +  1   2×8×10 +  1    2×6×8×10
(VI.3.3) Ed è da notare che molte frazioni, che sono sotto linee diverse, possono essere ridotte ad una sola linea di frazione, cioè alle parti di un solo numero come sarà dimostrato a suo luogo. Ma qui ho ritenuto necessario mostrare in quale modo si uniscono due fazioni che sono sotto due linee: moltiplica il numero sotto la prima linea per il numero sotto la seconda; e ciò che risulta ponilo sotto una linea: poi moltiplica il numero sopra la prima linea per il numero che è sotto la seconda; e il numero che è sopra la seconda per il numero che è sotto la prima; unisci queste due moltiplicazioni; e poni ciò che ne verrà sopra la linea di frazione, e avrai ciò che hai cercato. Per esempio: vogliamo sommare  1 2 con  2 5 , moltiplica il 2 per il 5 che sono sotto la linea, farà 10, che poni sotto una linea; e moltiplica l’1 che è sopra il 2 per 5, e il 2 che è sopra il 5 per il 2 che è sotto la linea, farà 5 e 4, cioè 9 : questo 9 ponilo sopra la linea, e avrai  9 10 in luogo di  2 5  1 2 . Altrimenti fa i decimi dall’uno intero, saranno 10 decimi: perciò per  1 2 avremo  5 10 , e per  2 5 avremo  4 10 ; e così per  1 2 e  2 5 avremo  9 10 , come abbiamo detto.
somma di frazioni




 2 5  1 2 =  1 2 +  2 5 =  5 + 4 10


 1 2 +  2 5 =  5 10 +  4 10 =  9 10

pg.54
(VI.3.4) E sebbene in questi due modi si possano ridurre due frazioni di due linee a una sola linea, tuttavia insegnerò come procedere in modo più diretto con le frazioni che hanno sotto la linea numeri comunicanti [ con fattori in comune ]. Così se vorrai ridurre a una sola frazione  2 9 1 3 , poiché 3 e 9, che sono sotto la linea, sono comunicanti fra loro e il loro numero comune è il 3, dividi uno di questi numeri, cioè 3, o 9, per 3, cioè per la loro misura comune e moltiplica ciò che ne risulta per l’altro numero, e risulterà 9 come denominatore. Per esempio: moltiplicata la terza parte di 3 , cioè 1, per 9, o moltiplicata la terza parte di 9 per 3, sicuramente da qualunque moltiplicazione risulta il predetto 9: ponilo sotto una linea di frazione, e moltiplica 1, che è sopra il 3, per la terza parte di 9, farà 3 che conservi in mano; e moltiplica il 2 che è sopra il 9 per la terza parte di 3, cioè per 1, farà 2; che aggiungi al 3 serbato, farà 5; che poni sopra la linea sotto la quale è posto il 9, e avrai  5 9  per  2 9 1 3 . Introduce il minimo comune multiplo

 1 3 +  2 9 =  3 + 2 9 =  5 9
(VI.3.5) Ancora, vogliamo addizionare  5 6 3 4 : poiché il due è in comune al 4 e al 6, moltiplica la metà di 4 per 6, e avrai 12; che poni sotto una qualche linea, e moltiplicherai il 3 che è sopra il 4 per la metà di 6, e quello che è sopra il 6 per la metà di 4; e avrai 9 e 10, che congiungi insieme, farà 19; questo 19 dovrebbe essere posto sopra il 12 posto sotto la linea se fosse minore di 12, ma poiché è maggiore, dividi 19 per 12, farà  7 12 1 per la congiunzione di  5 6  3 4 . E bada che quando sotto due linee si pongono numeri comunicanti, o dalla loro moltiplicazione non risulta un numero maggiore di dieci, allora per la detta dottrina devi ridurre le frazioni stesse ad un'unica linea di frazione e averla al posto di quelle due stesse linee, come mostrerò in seguito. Ma prima porrò nelle tavole sottoscritte due frazioni che devi unire; e davanti ad esse porrò la loro unione, e comincerò da  1 2 e  1 2 che fa 1: e poi seguiranno  3 2  1 2 che fa  5 6 ecc., come è scritto nelle tavole seguenti.
 3 4 +  5 6 =  3×3 + 5×2 12




 19 12 =  7 12 1


tavola
somme frazioni
python
(VI.3.5-tab1)



pg.55
(VI.3.5-tab2) [NdT] Nella tabella abbiamo corretto
  evidenti errori di calcolo.




pg.56
(VI.3.6) C onosciute così le suddette unioni delle frazioni, se sarà proposto di moltiplicare  1 3  1 211 per  1 5  1 222: moltiplicherai  5 611 per  7 1022. Ugualmente se vuoi moltiplicare  5 6  3 412 per  1 9  2 323 somma prima  3 4 con  5 6 , farà  7 121, cioè  1
 2
1; che sommi con 12, farà  1
 2
13: similmente somma  2 3 e  1 9 , farà  7 9 : quindi moltiplicherai  1
 2
13 per  7 923; e così si intenda in seguito.

Termina la terza parte del sesto capitolo.




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