Comincia il terzo capitolo dell’addizione dei numeri interi
pg.18
(III.1) Q uando inoltre qualcuno abbia voluto sommare numeri quali voglia e per quanti possano essere, li metta nella tavola, secondo ciò che abbiamo detto prima riguardo alle moltiplicazioni dei numeri, cioè la prima posizione di tutti i numeri che abbia voluto sommare sotto la prima dello stesso che sia stato posto prima nella somma. E il secondo sotto il secondo, e così via per i seguenti. E allora cominci a contare nelle mani i numeri delle figure che sono nelle prime posizioni di tutti i numeri che siano stati posti in unione, salendo dal numero inferiore al superiore: ponga così le unità sopra la prima posizione dei numeri e tenga in mano le decine, a queste decine aggiunga i numeri che saranno trovati in seconda posizione, e ponga le unità sopra la seconda posizione e di nuovo conservi le decine. A questi aggiunga il calcolo dei numeri di terza posizione e così, ponendo le unità e tenendo le decine, contando i numeri passo a passo, si può avere il calcolo di tutti i numeri fino all’infinito. E perché si capisca meglio, si mostrino le somme di due numeri, e anche di tre, e così pure di molti.
Come si esegue la somma di più numeri
pg.19 (III.2) E bbene c’è un altro modo di moltiplicare molto pregevole soprattutto per le moltiplicazioni di grandi numeri, che mostrerò nella moltiplicazione di 567 in 4321. Si costruisca un quadrilatero in forma di scacchiera, che abbia cinque posti in lunghezza, cioè uno in più del numero delle figure del numero maggiore, e con tre posti in altezza, quante sono le tre figure del numero minore, e si ponga il numero maggiore sopra il detto quadrilatero, e il minore si ponga davanti ad esso, come qui si vede, e si moltiplichi la prima figura del numero minore, cioè 7, per 1, cioè per la prima del numero maggiore, fa 7, che si ponga al primo posto della linea superiore, cioè sotto l’1, e si moltiplichi 7 per la seconda figura del numero maggiore, cioè per 2, si avrà 14, si ponga il 4 sotto il 2 dopo il 7 posto, cioè al secondo posto della linea superiore, e si tenga l’1, al quale si aggiunga la moltiplicazione di quello stesso 7 in 3, sarà 22, si ponga 2 al terzo posto dopo il 4 messo, e si conservi il 2, al quale si aggiunga la moltiplicazione di 7 per 4, cioè per l’ultima figura del numero maggiore, sarà 30, dal quale si ponga 0 in quarta posizione e 3 nella quinta.
Moltiplicazione
“a scacchiera”

2 4 5 0 0 0 7
4
3
2
1
3
0
2
4
7
7
2
5
9
2
6
6
2
1
6
0
5
5
. (III.3) E nello stesso modo di moltiplicherà il 6 singolarmente per 1 e per 2 e per 3 e per 4, avremo 6 al primo posto della seconda linea, e 2 nella seconda, e 9 nella terza, e 5 nella quarta, e 2 nella quinta; e lo stesso si faccia del 5 che è in ultima posizione del numero minore, e si avrà 5 al primo posto della terza linea, e 0 nel secondo, e 6 nel terzo, e 1 nel quarto, e 2 nel quinto.
(III.4) Poi dal 7 che è posto al primo posto si ponga 7 sopra l’1, e si aggiungano 6 e 4 che sono opposti a vicenda; [NdT]
Abbiamo cambiato la punteggiatura seguendo il senso matematico della frase.
dopo quel 7 sarà 10: si ponga lo 0 sopra il 2 e si tenga l’1 che si aggiunga a 5 e a 2 e a 2 che a loro volta sono opposti in croce: dopo i sopraddetti 6 e 4 sarà 10: si ponga di nuovo 0 sopra la terza posizione, cioè sopra il 3 e si tenga di nuovo 1, che si aggiungerà al 6 e il 5 e il 3 che sono nella seguente opposizione: sarà 15; si ponga in quinta posizione e si tenga 1, che si aggiunga a 1 e 2 che sono nella seguente opposizione: sarà 4 che si pone in sesta posizione. Di seguito si ponga 2 in settima posizione per il e che si trova nell’angolo del quadrato dopo la detta opposizione di 1 e 2 e si avrà il prodotto [NdT]
Abbiamo cambiato il testo seguendo il senso matematico della frase.
prestabilito.
Somma in diagonale,
mentre oggi
si somma in colonna:

4 3 2 1 x
5 6 7 =
3 0 2 4 7
2 5 9 2 6
2 1 6 0 5
2 4 5 0 0 0 7
(III.5) C osicché se si volesse sapere come addizionare 25 con 49, si metta 49 sotto 25 come se si dovessero moltiplicare a vicenda, e si sommi 9 con 5: sarà 14; si ponga 4 sopra la prima posizione e per le decine si conservi in mano 1, che si sommi col 4 e col, 2: sarà 7 che si ponga, e così si avrà per questa somma 74, come qui si mostra.
  74 
25
49
pg.20
 
(III.6) Ancora se si volesse sapere la somma di 123 con 4567, si scrivano come qui si vede, e si sommi 7 con 3, sarà 10; si ponga 0 e si tenga 1 che si sommi con 6 e con 2, sarà 9 che si ponga. Ancora si sommi il 5 con l’1 che è in terza posizione, sarà 6 che si ponga sopra la stessa posizione, e per il 4 che si trova in quarta posizione del numero inferiore si ponga 4 in quarta posizione della somma risultante, non essendoci qualche altra figura sopra lei stessa nell’altro numero, cioè nel 123; e così si avrà per la loro addizione 4690.
  4 6 9 0  
1 2 3
4 5 6 7
(III.7) Ancora se si volesse sommare 4321 con 506789, scritti nell’ordine fissato, si sommi 9 con 1: sarà 10; si ponga 0 e si tenga 1 che si somma con 8 e con 2, si avrà 11: si ponga 1 e si tenga 1 che si sommi con 7 e con 3: si avrà 11. Di nuovo si ponga 1 e si tenga 1 che si sommi con lo 0 che si trova nel numero inferiore: sarà 1 che si ponga, facendo nella somma la quinta posizione; e per il 5 che resta nel numero inferiore, si ponga nella somma che fa 5 nella sesta posizione, e così si avrà la somma dell’addizione degli stessi.
  5 1 1 1 1 0  
4 3 2 1
5 0 6 7 8 9
Prova
(III.8) Ma se si volesse provare la somma stessa col resto, si prenda il resto per nove di 4321, che è 1, come si è insegnato nella moltiplicazione; questo si sommi col resto di 506789 che è 8, farà 9 dal quale si tolga 9, rimane 0 che è il resto; e così se si prendesse il resto dalla somma dell’addizione, cioè da 511110, si scoprirà che questo è 0, come occorre. Fa la prova del nove per
4321+506789=511110
(III.9) I nfine per mostrare da dove venga tale prova, siano ab e bg due numeri che vogliamo sommare insieme, sia quindi ag la somma di questi numeri. Dico inoltre che dal resto del numero ab sommato col resto del numero bg si ha [ il resto di ag ]. Sia in primo luogo che ciascuno dei numeri ab e bg siano divisi integralmente per 9, e cosi 9 sarà la misura comune dei numeri ab e bg. Perciò tutto il numero ag si divide interamente per 9 e quindi il resto dello stesso sarà zero, come si è avuto dalla somma dei resti dei numeri ab e bg. Dimostra la prova del 9
per la somma
pensando i numeri
come segmenti.
(III.10) Ancora uno di essi si divida interamente per 9 e non l’altro e sia il numero ab quello che si divide interamente per 9 e dal numero bg diviso per 9 rimanga il numero dg: quindi i numeri db e ba sono divisibili interamente per 9. E quindi tutto il numero da è divisibile per 9. E poiché il numero ag supera il numero ad del numero dg [NdT]
bd nel testo deve leggersi dg
, e il numero ad è diviso interamente per 9, resterà quindi dal totale il numero ag: quindi dg [NdT]
d nel testo deve leggersi dg
non divisibile per 9 che viene dalla somma del resto del numero ab che è zero con il resto del numero bg che è il numero dg.
(III.11) D i nuovo nessuno dei numeri ab e bg siano divisibili interamente per 9. Ma dal numero ab resti il numero ae e dal numero bg resti il numero dg. Di certo i residui, cioè i numeri eb e bd, si divideranno interamente per 9. Per cui tutto ed è divisibile, essendo costituito da un qualche insieme di nove: rimarranno quindi indivisibili i numeri ae e dg da tutto il numero ag, che sono i resti dei numeri ab e bg, dalla somma dei quali proviene il resto del numero ag come di doveva mostrare.
(III.12) Ancora se si volesse sommare 25 e 461 e 6789 e 58 e 491 e 10718, si scrivano tutti i numeri in ordine, così come sono posti in posizione, e si sommino i numeri delle figure, cioè le figure siano in cima a tutti quanti i detti numeri, cominciando dall’inferiore, cioè 8 e 1 e 8 e 9 e 1 e 5, sommando sempre nella mano sinistra; si avrà 32: si ponga il 2 e si tenga il 3, al quale si sommino i numeri delle figure che sono in seconda posizione dei numeri, cioè 1 e 9 e 5 e 8 e 6 e 2; sarà 34: si ponga 4 e si tenga 3, verso il quale si salga sommando i numeri delle figure che si trovano in terza posizione, cioè 7 e 4 e 7 e 4; si avrà 25: si ponga 5 e si tenga il 2, al quale si sommino le figure che si trovano in quarta posizione, cioè 0 e 6; sarà 8, che si ponga: dopo ciò si ponga 1 per l’1 che resta nella quinta posizione del numero inferiore, non essendoci nei restanti numeri figure della stessa posizione; e così si avrà come somma di questi 18542, come qui è mostrato.
  1 8 5 4 2  
2 5
4 6 1
6 7 8 9
5 8
4 9 1
1 0 7 1 8
(III.13) Se si volesse provare questa somma, si sommino tutte le figure che sono in ogni numero e sommando si tolga sempre il 9; e ciò che avanzerà tolti tutti i nove si avrà come resto della somma. Infatti nella somma di molti numeri non abbiamo bisogno della prova, potendo rapidamente avere sia la somma che il resto.


pg.21
(III.14) Voglio mostrare da dove proviene questo modo di sommare: si sommino di sicuro dapprima tutte le figure che sono in prima posizione di tutti i numeri che vogliamo sommare, dalla quale somma, essendo tutte le figure stesse delle unità, si sommi il numero delle unità. Perciò le unità sono da porre al primo posto e le decine si devono riservare al secondo, essendo le decine in seconda posizione: perciò con le stesse decine serbate sommiamo tutti i numeri delle figure che sono in seconda posizione in ogni numero e [ per ] quante unità derivano dalla loro somma, tante decine si hanno in cima alla somma: perciò si pongono le unità in seconda posizione, essendo per l’appunto queste unità delle decine, e per ogni decina si serbi uno in terza posizione. Infatti da dieci decine si ottiene un centinaio; con queste unità si sommano i numeri in terza posizione di tutti i numeri, e qualunque cosa sia creata dalla loro somma deriva da un numero in terza posizione, cioè dalle centinaia. Perciò si pongano le unità in terza posizione e si conservino le decine per il quarto, e per questo sommando passo a passo per posizioni continue e ponendo le figure in posizioni continue, arriviamo fino alla fine dei numeri.
Come sommare
molti numeri

I denari pisani
fino alla prima
metà del ‘200
(III.15) Quando d’altra parte qualcuno avrà saputo sommare i numeri secondo la prescritta dottrina delle addizioni, e avrà voluto raccogliere le somme delle spese delle navi e cose simili nelle quali si trovano le lire e i soldi e i denari, comprenda da un tesoriere o da uno segretario, o da un venditore, secondo ciò che vien detto singolarmente, sulle spese o gli acquisti di qualsiasi cosa; e si scriva sulla tavola in colonna il prezzo di ciascuna cosa, ponendo lire sotto lire, soldi sotto soldi, denari sotto denari delle spese fatte di ciascuna tipologia, o di ciascuna carta, foglio e poi si faccia sentire attentamente da quello stesso che riporta le spese, che accidentalmente non abbia scritto qualcosa di sbagliato nella tavola; e corretta nella tavola la descrizione delle spese, sommi tutti i denari, e ne ottenga soldi; e conservi i denari che avanzano dai soldi, e scriva sotto i soldi nella tavola i soldi fatti e li sommi tra loro, e dalla loro somma ricavi le lire, che ponga in fondo alla colonna delle lire, e conservi i soldi che sono avanzati dalle lire fatte sopra i soldi dopo i denari conservati. Dopo questo si metta la somma delle lire, e si avrà quindi la somma della stessa lista o carta.
Una libbra
vale 240 denari e
12 denari
equivalgono a un soldo
e 20 soldi a una libbra
(III.16) Per esempio: quando si elencano certe spese fatte per tali e talaltre cose, come è indicato nella pagina seguente, si cominci a scrivere i numeri delle lire, dei soldi e dei denari come indicato nella pagina stessa, nella quale i denari che vi si trovano sono in totale 73, cioè 6 soldi e 1 denaro; con questi 6 soldi aggiunti ai quelli che si trovano nella stessa pagina se ne hanno 122 che sono 6 lire e 2 soldi, e si mettano insieme queste 6 lire con le altre: avremo come somma 368 lire. Quindi la somma di tutte le lire, dei soldi e dei denari è 368 lire e 2 soldi e 1 denaro, questa somma si conserva a fine della pagina nella quale è messa insieme la spesa; e così in ordine si raccolgono le spese pagina per pagina, facendone la somma in ciascuna pagina. Poi si scrivano nella tavola le somme di tutte le pagine, e si fa quindi la somma delle somme; e così si potranno addizionare qualsiasi spese di bisanti e di carati e di once d’oro e di tareni genovesi, cantari, e anche rotuli e di tutte le cose accanto ai numeri.
Un esempio di
resoconto commerciale
(III.17)
368 2 1
lire soldi denari
Per queste cose Lire LII E soldi IIII E denari II 52 4 2
Per queste cose Lire XII E soldi XV E denari V 12 15 5
Per queste cose Lire LIII 53
Per queste cose Lire LXXX 80
Per queste cose Soldi XV 15
Per queste cose Soldi XVIII 18
Per queste cose Soldi VIIII E denari X 9 10
Per queste cose Denari XI 11
Per queste cose Denari VII 7
Per queste cose Lire V E soldi VI E denari X1 5 6 11
Per queste cose Lire VIII E soldi VII E denari V 8 7 5
Per queste cose Lire LXXXVII E denari VIIII 87 9
Per queste cose Lire VIII E soldi VI 8 6
Per queste cose Lire XXVII E soldi XV E denari VI 27 15 6
Per queste cose Soldi XIII 13
Per queste cose Denari VII 7
Per queste cose Lire XXX E soldi VIII 30 8
Somma Lire CCCLXVIII e soldi II e denari I
6
6


Termina il terzo capitolo.




>