Inizio del secondo capitolo sulla moltiplicazione dei numeri interi
pg.7


Moltiplicare
due interi
(II.1) D ividiamo in otto parti il secondo capitolo sulla moltiplicazione dei numeri interi, perché si capiscano meglio le loro differenze e le loro proprietà. La prima di queste parti sarà sulla moltiplicazione di due figure con due, e di una figura con più figure. La seconda sarà sulla moltiplicazione di tre figure con tre figure, e di due figure in tre. La terza sarà sulla moltiplicazione di quattro figure con altre quattro, e anche di due e di tre figure in quattro figure. La quarta è sulla moltiplicazione di cinque figure in cinque. La quinta è sulla moltiplicazione di più di cinque figure, sul modo in cui si moltiplichino a vicenda. La sesta è sulla moltiplicazione di numeri della seconda posizione con numeri della stessa posizione, cioè di due figure per due, e di una figura con molte, come si moltiplichino con le mani e con la mente. La settima è sulla moltiplicazione di tre figure per tre e in che modo similmente si moltiplichino con le mani e con la mente. L’ottava è la moltiplicazione di tutti i numeri in un altro modo. Indice del capitolo
Inizio della prima parte sulla moltiplicazione di due figure per due

2 cifre x 2 cifre
(II.2) S i dice che un numero moltiplica se stesso quando si moltiplica un simile per un simile, come 12 per 12 o 26 per 26. Si dice che un numero moltiplica un numero, quando i numeri che si moltiplicano tra loro sono tra loro diversi, come 12 per 37 e 46 per 59: perciò dapprima noi insegniamo a moltiplicare tra loro i numeri in seconda posizione come promesso, cioè da 10 fino a cento. Quando invece vuoi moltiplicare qualche numero in della seconda posizione per qualche numero nella della stessa posizione, sia che i numeri siano uguali o che siano diversi, scriverai il numero sotto al numero in modo che simile posizione sia sotto la posizione simile; e se i numeri sono diversi, sia il maggiore sotto il minore, e cominci la moltiplicazione dalla prima posizione dei numeri scritti prima nella tavola. Si moltiplichi quindi la figura al primo posto del numero superiore scritto prima nella tavola per la figura al primo posto dell’inferiore, e si scrivano le unità sopra la prima posizione dei numeri scritti prima, e per ogni decina si tenga uno nella mano sinistra: poi si moltiplichi la figura al primo posto del numero superiore per la figura al secondo posto, cioè per l’ultima del numero inferiore, e al contrario: si moltiplichi la figura al primo posto inferiore per l’ultima figura del superiore, e si aggiunga in mano con le decine conservate; e di nuovo si scrivano le unità sopra il secondo posto, e si tengano in mano le decine. Nello stesso modo si moltiplichi l’ultima figura del numero superiore per l’ultima dell’inferiore e ciò che risulterà dalla moltiplicazione si aggiunga in più alle decine conservate nella mano, e si pongano le unità al terzo posto e le decine, se ci fossero, si pongano nel quarto, e si avrà la moltiplicazione di qualsiasi numero a piacere da 10 fino a 100. Come si moltiplica
un numero di due cifre
per un numero di due cifre
pg.8 (II.3) Per esempio: dovendo fare la moltiplicazione di 12 in 12, si scriva 12 due volte in una tavola pulita nella quale le lettere si cancellano facilmente, come si vede scritto in questo margine, il primo posto del numero inferiore sotto il primo del superiore, cioè la figura del due sotto la figura del due, e il secondo posto dell’inferiore sotto il secondo del superiore, cioè la figura dell’uno sotto la figura dell’uno, e si moltiplichi due per due, sarà 4, che si ponga sopra entrambi i due come è posto nella prima descrizione. Si moltiplichi di nuovo il 2 superiore [ per l’1 ] che è al secondo posto del numero inferiore, sarà il 2 che si conservi in mano, e si moltiplichi di nuovo il 2 del numero inferiore per l’1 del superiore, sarà 2; che si addizioni con il due conservato sopra, sarà 4, che si ponga sopra entrambe le unità facendo il 4 in seconda posizione, si scriva lo stesso 4 al secondo posto dopo aver messo al primo posto il 4 fatto precedentemente, come descritto nella seconda descrizione; e ancora si moltiplichi l’1 del numero superiore per l’1 dell’inferiore: farà 1; si scriva questo 1 nel terzo posto, cioè dopo il 44 già scritto, come è mostrato nella terza e ultima descrizione. E a così tanto sale la moltiplicazione di 12 per se stesso cioè 144.
Calcola 12x12
prima descrizione 4
12
12
seconda 44
12
12
ultima 144
12
12

37 per 37


moltiplicazione
37x37 python
(II.4) D i nuovo, perché si chiarisca meglio, si moltiplichi 37 per 37. Si scriva allora 37 sotto 37, come abbiamo detto sopra del 12, e si moltiplichi 7 per 7, sarà 49 : si ponga così 9 sopra entrambi i 7 come si mostra nella prima descrizione, e conserviamo in mano il 4 per le 4 decine che sono nel 49, e si moltiplichi il 7 del numero superiore per il 3 dell’inferiore, e il 7 dell’inferiore per il 3 del superiore, e si addizionino insieme, sarà 42, che aggiunto a 4 prima conservato sarà 46: si scrivano le unità del 46, che sono 6, sopra entrambi i 3, come si denota nella seconda descrizione. E si conservi in mano il 4 per le 4 decine che sono nel 46, e si moltiplichi il 3 del numero superiore col 3 inferiore, sarà 9 ; che aggiungi al 4 or ora conservato in mano, sarà 13 : si ponga il 3 del 13 al terzo posto e 1 nel quarto, come si trova nella terza e ultima descrizione.
Calcola 37x37
prima descrizione 9
37
37
seconda 69
37
37
la prova è 1 1369
37
37

La prova del 9
(II.5) S i viene a sapere se questa moltiplicazione è corretta in questo modo. Si sommino appunto le figure che sono nel 37 superiore, cioè 3 con 7, fa 10, dalle quali si tolga 9, rimarrà 1, che si conservi. Nello stesso modo si contino le figure del 37 inferiore, e si tolga 9, rimarrà ancora 1: si moltiplichi quindi l’1 che è rimasto dal 37 in alto per l’1 che è rimasto in basso, farà 1, che si chiama resto o porzione, e si conservi nella tavola sopra la moltiplicazione stessa, come si vede nella terza descrizione: poi si sommino le figure che sono in cima alla moltiplicazione, e dalla quantità sommata si tolga 9 tante volte quanto è possibile ; e se rimarrà 1 come è stato conservato per il resto, allora la moltiplicazione sarà corretta.

Verifica la correttezza
della moltiplicazione
con la prova del 9
(II.6) Per esempio: se sommiamo le figure che sono in cima alla moltiplicazione, cioè 1 e 3 e 6 e 9, avremo 19, dal quale togli per due volte il 9, rimarrà 1 come abbiamo detto debba rimanere come resto : e dal detto 19 cancella il 9 che si trova al primo posto di esso, rimarrà similmente 1. E prendi nota quando addizioni le figure del 37, cioè 3 con 7, allora dividi 37 per 9, divisione dalla quale rimane 1, come rimase dal 10 che risultò dalla somma del 3 e del 7, quando ne fu sottratto 9: infatti il resto che rimane da qualunque numero diviso per 9, è la somma creata dall’addizione di tutte le figure che fanno il numero stesso. Spiega il modo
per trovare il resto
modulo 9
sommando le cifre
 
(II.7) E si deve osservare ancora quando un qualche numero è diviso in parti e ogni singola parte è moltiplicata per un qualche numero, quelle moltiplicazioni raccolte in una sola sono uguali alla moltiplicazione di tutto il numero diviso per il numero per il quale furono moltiplicate tutte le parti dello stesso. Pertanto le due moltiplicazioni di 36 per 37 e di 1 per 37 congiunte in una sola sono uguali alla moltiplicazione di 37 per 37. Ma dalla moltiplicazione di 36 per 37 si ottiene un numero che è creato da un qualche insieme di nove unità, perché 36 è formato da [ gruppi di ] nove unità. Per cui del numero che viene da 36 per 37, se sarà diviso per nove, non rimarrà nulla di indivisibile. Parimenti la moltiplicazione di 1 per 37 è uguale alla somma della moltiplicazione di 1 per 36 e di 1 per 1. Ma dalla moltiplicazione di 1 per 36 viene un numero che si divide interamente per 9: quindi la moltiplicazione di 1 per 1, cioè 1, rimane non divisibile per 9. Dunque dal totale della moltiplicazione che proviene dal 37 per 37 diviso per 9 rimane 1, e questo 1 si ha dalla somma di tutte le figure che sono nel risultato di 37 per 37, come troviamo sopra. Ovvero dal detto risultato elimina il 9 rimarrà 136, dal quale togli 3 e 6 che sommati fanno 9: da 1369 diviso per 9 rimarrà nello stesso modo l’1 indivisibile. Enuncia la proprietà
distributiva del prodotto
rispetto alla somma

 
 
 
Calcola 37x37
modulo 9
 
pg.9 (II.8) U gualmente se vuoi moltiplicare 98 per 98, si scriva come ho detto prima 98 sotto 98 e si moltiplichi 8 per 8, fa 64: si ponga il 4 sopra entrambi gli 8 e si conservi il 6 nella mano delle decine come [ detto ], al posto delle decine, e si moltiplichi 8 per 9, farà 72, e di nuovo, all’opposto, si moltiplichi l’8 dell’inferiore per il 9 del superiore, sarà ugualmente 72, che si aggiunge con l’altro 72 e con il 6 conservati nella mano, farà 150; e non essendoci unità nel predetto 150, si deve porre lo zero [NdT] Da questo punto in poi traduciamo
  la parola zephyrus con zero
sopra entrambi i 9, e si conservi il 15 nella mano delle decine, e si moltiplichi 9 per 9, farà 81 che si sommi al 15 conservato in mano, sarà 96, si scriva il 6 di questo 96 al terzo posto e 9 nel quarto, come si può vedere in questa descrizione.
la prova è 1 
9604
98
98
(II.9) Adesso vediamo se questa moltiplicazione è corretta: si sommino le figure del 98 superiore, cioè 9 con 8, e si tolga il 9, rimarrà 8. Si faccia di nuovo lo stesso col 98 inferiore, rimarrà ugualmente 8 ; e si moltiplichi 8 per 8, farà 64, dal quale si tolgano tutti i gruppi di 9 che sono nello stesso 64, rimarrà come resto 1, oppure in altro modo: si sommino le figure che sono nel 64 detto sopra, cioè 6 con 4, farà 10, dal quale si tolga 9, rimarrà similmente 1, dopo si addizionino le figure che sono in cima alla moltiplicazione, cioè 9 e 6 e 0 e 4, tuttavia non è necessario che la figura delle 9 unità sia aggiunta in qualche simile prova, poiché il nove sempre è previsto che venga tolto o estratto prima si cominci sempre con il togliere o l’estrarre le 9 unità, dunque si sommino 6 e 0 e 4, farà 10, dal quale si tolga 9, rimarrà 1 per il resto, come doveva rimanere. Esegue
la prova del 9 a
98x98=9604
(II.10) Quando si volesse invece moltiplicare qualche numero di seconda posizione che non ha unità in sé, cioè in prima posizione, come nel 10 e 40 o 60, al cui inizio è sempre necessario lo zero, si dovrà fare così: si scriva il numero due volte, come ho detto sopra, e si moltiplichi la seconda posizione solo per la seconda, e si antepongano alla somma due zeri, e così avremo il risultato di qualsiasi delle dette moltiplicazioni. Se si chiede la moltiplicazione di 70 in 70, si scrivano pertanto entrambi i 70 nel modo suddetto, e si moltiplichi la figura del 7 che è al secondo posto del numero superiore per il 7 dell’inferiore; sarà 49, davanti a quel numero si pongano due zeri, cioè per quelli che sono prima di entrambi i 7: fa 4900, che è il risultato cercato della moltiplicazione,
Spiega
come moltiplicare
decine per decine
la prova è 4 
4900
70
70
(II.11) naturalmente, se si vuole la moltiplicazione di 37 per 49, si scriva 49 sotto 37, cioè il numero più grande sotto il più piccolo, e uguale posizione sotto alla posizione simile, come si vede in questo margine ; e si moltiplichi 7 per 9, sarà 63; si ponga il 3 sopra il 7 e per le decine si tenga in mano il 6, e si moltiplichi 7 per 4 in croce, sarà 28, che si aggiunge al 6 conservato in mano, sarà 34. Ugualmente si moltiplichi 9 per 3, sarà 27, che si aggiunge a 34, sarà 61 : si ponga 1 sopra il 3 e per le decine si tenga in mano il 6, e si moltiplichi 3 per 4, sarà 12, che si aggiunga al 6, sarà 18, che si ponga dopo il 13 posto sopra, verrà fuori come risultato di detta moltiplicazione 1813, come qui è mostrato.
la prova è 4 
1813
37
49

prova del 9
(II.12) E se la moltiplicazione è corretta si può sapere in questo modo: si divida 37 per 9, cioè si addizionino le figure del 37, cioè il 3 con il 7, sarà 10, dal quale leviamo 9, rimarrà 1, che si conservi ; ugualmente si addizionino le figure del 49, cioè il 4 con il 9, sarà 13, dal quale togliamo 9, rimarrà 4, che si moltiplica con l’1 conservato, sarà 4, che si conserva per la prova, e si sommino le figure che sono in cima alla moltiplicazione, cioè 1 e 8 e 1 e 3, sarà 13, dal quale si tolga 9, rimarrà 4, come occorre che rimanga come resto. Esegue
la prova del 9 a
37x49=1813
pg.10 (II.13) Questo modo di moltiplicare procede da quello che ho detto prima del numero diviso in parti e moltiplicato per un altro numero. Infatti la moltiplicazione di 37 in 49 è uguale alla somma delle moltiplicazioni di 7 per 49 e di 30 per 49. Ma la moltiplicazione di 7 in 49 è uguale alla somma delle moltiplicazioni di 7 in 9 e di 7 in 40, e la moltiplicazione invece di 30 per 49 è uguale alla moltiplicazione di 30 per 9 e di 30 per 40. Quindi la moltiplicazione di 37 in 49 è uguale a quattro moltiplicazioni che sono 7 in 9 e 7 in 40 e 30 in 9 e 30 in 40.
37 x 49=
=7x49+30x49=
=7x9+7x40+30x9+30x40
(II.14) Queste quattro moltiplicazioni sono messe sopra per ordine : abbiamo moltiplicato prima 7 per 9 [NdT] Abbiamo corretto un evidente
  errore materiale nel testo
, e messo le unità sopra al primo posto ; perché la prima posizione qualunque posizione moltiplichi, fa la stessa posizione, o terminante in essa. Per secondo abbiamo moltiplicato 7 per 4 ; per terzo 9 per 3, e di queste moltiplicazioni abbiamo preso la somma, le unità della quale abbiamo messo al secondo posto; perché quando moltiplichi il primo posto per il secondo fai un secondo posto. E questo fu moltiplicare 7 per 40 e 9 per 30 ; poi per ultimo abbiamo moltiplicato 3 per 4, cioè la seconda posizione per la seconda. E da questa stessa moltiplicazione sommata con le decine conservate abbiamo posto le unità al terzo posto, e le decine avanzate nel quarto; e questo è stato moltiplicare 30 per 40, perché la seconda posizione, comunque si moltiplichi, fa la seconda posizione dopo quella che si moltiplica. Ugualmente la terza posizione del numero qualunque posizioni moltiplichi, fa la terza posizione dopo quella che moltiplica. E la quarta fa la quarta dopo quella che moltiplica, e la quinta la quinta, ecc.
Dimostra l’algoritmo
di moltiplicazione
nel caso particolare
di 37 x 49
La posizione n
per la posizione m
fa la posizione n+m-1

(II.15) S piegherò quindi che cosa si intenda quando si dice che il primo grado qualunque numero moltiplichi, faccia lo stesso, o faccia un numero che termina in esso. Quando si moltiplica figura per figura e dalla moltiplicazione non viene nulla. Allora quella moltiplicazione raffigura la stessa posizione; e quando dalla stessa moltiplicazione proviene un numero di seconda posizione, come 20 o 30, o composto dalla seconda e dalla prima come 15 e 28, allora risulta un numero terminante nella stessa posizione che la prima moltiplica ; perciò quando moltiplichiamo il primo posto per qualunque altro posto poniamo le unità di quella moltiplicazione sopra lo stesso posto e conserviamo le decine per il posto seguente : lo stesso si intenda sulla moltiplicazione dei restanti posti.

Sulla moltiplicazione di una figure per più figure
(II.16) Parimenti se si vuole la moltiplicazione di una figura con due, o con più, si scriva la figura sola sopra la figura in prima posizione dello stesso numero con quale si vuole moltiplicare la stessa, e si moltiplichi quella sola con la prima del numero stesso, e si pongano le unità sopra di essa e di tengano in mano le decine, e si moltiplichi anche la medesima figura sola per la seconda del numero inferiore e si addizioni alle decine conservate, e si pongano sempre le unità e si conservino le decine, e la stessa figura si moltiplichi in ordine per la terza, e per la quarta, e di seguito per le restanti. Come moltiplicare
un numero
per un numero
di una cifra
(II.17) Per esempio: se vogliamo moltiplicare 8 con il 49, si ponga 8 sopra il 9 e si moltiplichi 8 per 9, sarà 72 ; si ponga 2 sopra l’8 e si conservi in mano il 7e si moltiplichi l’8 stesso per 4, sarà 32 ; alla quale si aggiunga il 7 conservato: sarà 39 ; e si pongano il 9 e il 3, e da questa moltiplicazione risulterà 392, come è mostrato in margine. Ugualmente se volete moltiplicare 7 con 308, si scriva 7 sopra l’8 e si moltiplichi 7 per 8, sarà 56. Si ponga il 6 e si conservi il 5, e si moltiplichi 7 per 0, fa 0, che si aggiunge al 5 conservato, fa 5, che si pone dopo il 6 già posto. E si moltiplichi 7 per 3, fa 21, che si pone dopo il 56 già scritto, e risulterà 2156 che appare in cima a questa moltiplicazione. E in questo modo si moltiplica una figura con più figure.
392
8
49
2156
7
308
Sullo stesso
pg.11 (II.18) Ancora se si volesse moltiplicare 70 per 81, si tolga 0 da 70, rimane 7, e si moltiplichi 7 per 81, sarà 567, numero al quale si anteponga lo 0 per quello che abbiamo tolto dal 70, sarà 5670.

5670
70
81


Inizia la seconda parte del secondo capitolo
(II.19) Quando poi qualcuno volesse moltiplicare tre figure per tre figure, gli insegniamo in modo facile la regola universale. Ovviamente, si scriva la posizione di un numero sotto la posizione dell’altro, cioè le unità sotto le unità, le decine sotto le decine e le centinaia sotto le centinaia, e si moltiplichi la prima del numero superiore per la prima dell’inferiore e si pongano le unità sopra la prima posizione dei numeri, e si tengano le decine in mano, e si moltiplichi la prima superiore per la seconda inferiore, e la prima inferiore per la seconda superiore, e si aggiungano entrambe le moltiplicazioni alle unità conservate, e si scrivano le unità e si conservino le decine ; e si moltiplichi la prima superiore per la terza inferiore, e la prima inferiore per la terza superiore, e la seconda per la seconda, e aggiungi queste tre moltiplicazioni al numero conservato, e poni le unità sopra il terzo posto, e per ogni decina conserva in mano 1 ; e moltiplica la seconda del numero superiore per la terza dell’inferiore, e la seconda dell’inferiore per la terza del superiore ; e di questa somma si mettano le unità e si conservino le decine, e si moltiplichi la terza con la terza, e si sommino con le decine conservate, e si pongano le unità e poi si pongano le decine se avanzano alle poste unità. ; e così avremo la moltiplicazione di qualunque numero di tre figure, sia uguali che diverse.


Come moltiplicare
due numeri
di tre cifre ciascuno

moltiplicazione
345x345 python
(II.20) Per la chiarezza di questa cosa siano i numeri uguali 345 e 345 quelli che dobbiamo moltiplicare insieme, che si collochino a vicenda come si vedono essere collocati nella pagina ; e si moltiplichi 5 per 5 si avrà 25, si ponga il 5 sopra gli altri 5, come si vede nella seconda descrizione, e per le decine si conservi in mano il 2 e si moltiplichi il 5 del numero superiore per il 4 dell’inferiore, e il 5 dell’inferiore per il 4 del superiore ; ai quali si aggiunge il 2 conservato, fa 42 : si ponga il 2 sopra entrambi i 4, così come è mostrato nella terza descrizione, e si conservi il 4 per le quattro decine ; e si moltiplichi il 5 superiore per il 3 inferiore e il 5 inferiore per il 3 superiore e 4 per 4, e la somma di queste tre moltiplicazioni si sommi al 4 conservato in mano: si avrà 50 : si ponga lo 0 sopra entrambi i 3, come si mostra nella quarta descrizione, e si tenga in mano il 5, e si moltiplichi il 4 superiore per il 3 inferiore, e il 4 inferiore per il 3 superiore, e si aggiunga il 5, si avrà 29 : si metta 9 dopo lo 0, come appare nella quinta descrizione, e si conservi in mano il 2, e si moltiplichi 3 per 3, si avrà 9, che si sommi a 2, si avrà 11, che si ponga, come è mostrato nella sesta e ultima descrizione. Se questa moltiplicazione sia corretta si sa per mezzo del modo detto prima, cioè si addizionino le figure del 345 superiore, e togliamo 9, rimarrà 3 ; lo stesso si faccia col 345 inferiore e rimarrà ancora 3 ; e si moltiplichi 3 per 3, dal quale si toglie 9, rimane 0 che si tenga per il resto, allora sommando le figure che sono in cima alla moltiplicazione, cioè 1 e 1 e 2 e 5, si avrà 9, dal quale togliamo 9, rimane 0 come deve essere.
prima 
 345
 345
 5
seconda345
 345
 25
terza345
 345
 025
quarta345
 345
 9025
quinta345
 345
 119025
ultima345
 345

Esegue la prova del 9
a 345x345=119025
pg.12 (II.21) Mostrerò inoltre in che modo la moltiplicazione della seconda figura con la seconda si somma con la moltiplicazione delle prime figure nelle terze ; perché come è stato detto la prima posizione qualunque altra moltiplichi fa la stessa posizione; la seconda posizione qualunque altra moltiplichi fa la seconda posizione dopo stessa che moltiplica. E così quando la prima posizione moltiplica la terza, fa la terza posizione. E quando la seconda moltiplica la seconda, fa lo stesso, cioè la terza, che è la seconda dalla stessa che moltiplica. Quindi occorre che la moltiplicazione della seconda posizione con la seconda si sommi alle moltiplicazioni delle prime con le terze. Segue la moltiplicazione delle seconde figure nelle terze, dalla quale proviene la quarta posizione, cioè la seconda da quella che moltiplica. In ultimo si moltiplica la terza posizione per la terza, moltiplicazione dalla quale proviene la quinta posizione, cioè la terza da quella che la terza posizione moltiplica. E in questo modo da quelli che sono prodotti dalla moltiplicazione delle prime [ figure ] nelle terze e della seconda nella seconda : poniamo le unità in terza posizione e conserviamo le decine per la quarta posizione. E da quelli che sono prodotti dalla moltiplicazione delle seconde nelle terze e dalle decine conservate poniamo le unità in quarta posizione, e conserviamo le decine per il quinto posto, e queste decine si sommano alla moltiplicazione del terzo posto col terzo, e si pongono le loro unità in quinta posizione e le decine nella sesta, e così avremo la moltiplicazione detta sopra.
Dimostra la correttezza dell’algoritmo

Sullo stesso

prodotto
607x607 python
(II.22) Nello stesso modo se si volesse moltiplicare 607 con 607, collocati i numeri, si moltiplichi 7 per 7, si avrà 49 : si ponga il 9 e si tenga il 4, e si moltiplichi7 per 0 e 7 per 0 in croce, e si sommino con il 4 conservato, si avrà 4, che si ponga ; e si moltiplichi 7 per 6 e 7 per 6 e 0 per 0, si avrà 84 : si ponga il 4 e si tenga l’8, e si moltiplichi 0 per 6 e 0 per 6, e si sommi con l’8, si avrà 8, e si ponga l’8, e si moltiplichi 6 per il 6 , si avrà 36 : si ponga il 6 e il 3, e così avremo in cima a questa moltiplicazione 368449.


368449
607
607
Sullo stesso
(II.23) Ancora, volendo moltiplicare 780 per 780, si tolgano a entrambi i 780 il loro 0: rimarrà 78 e 78; e si moltiplichi 78 per 78, si avrà 6084, davanti al quale si porranno due zeri, e in cima a questa moltiplicazione si avrà 608400. Ancora, volendo moltiplicare 900 con 900, si tolgano gli zeri da entrambi i numeri e si moltiplichi 9 per 9, si avrà 81, davanti al quale si pongano quattro zeri, cioè i quattro zeri levati da entrambi i 900, e si avrà in cima a detta moltiplicazione 810000.
608400
78
78

810000
9
9
Sullo stesso con numeri diversi




123x456
(II.24) Se qualcuno volesse moltiplicare numeri diversi, questi saranno da moltiplicare nello stesso modo e nello stesso ordine ; così se si volesse moltiplicare 123 con 456, si scrivano al proprio posto i numeri come è detto sopra, e si moltiplichi 3 per 6, si avrà 18 : si ponga l’8, si conservi l’1 e si moltiplichi 3 per 5, si avrà 15, che si aggiungerà all’1 tenuto, si avrà 16, e 6 per 2, e si aggiunga al 16: si avrà 28 : si ponga l’8 e si tenga il 2, e si moltiplichi 3 per 4 e 6 per 1 e 2 per 5, e si sommino con il 2 tenuto: si avrà 30 : si ponga 0 e si tenga il 3, e si moltiplichino 2 per 4 e 5 per 1, e si sommino al 3 conservato, si avrà 16 : si ponga il 6, e si tenga l’1, col quale si somma la moltiplicazione di 1 in 4, si avrà 5 che si pone, e si avrà in cima a detta moltiplicazione 56088.
la prova è 0 56088
123
456
(II.25) S e volessimo anche provare tutto ciò, si sommino le figure del 123, farà 6, e le figure del 456, farà 15, dal quale numero si tolga 9, rimarrà 6, che si moltiplica col 6, si avrà 36, dividendolo per 9 rimane 0, che si avrà come resto. Ora si sommino le figure che sono in cima a detta moltiplicazione: si avrà 27, che diviso per 9, rimane 0, come conviene che rimanga come resto.
Esegue
la prova del 9 a
123x456=56088
pg.13


moltiplicazione
451x37 python
(II.26) Ancora, se si proponga di moltiplicare 370 con 451, sebbene si possano moltiplicare nel modo suddetto, tuttavia essendo lo zero al primo posto di uno dei numeri, cioè di 370, si mostra come moltiplicare in altro modo, cioè si tolga quello stesso 0 da 370, rimarrà 37, che si moltiplica con 451 ; e così si avrà la moltiplicazione di quelle due figure in tre, moltiplicazione che sarà così spiegata. Si scriva 37 sopra il 51 del 451, e si moltiplichi 7 per 1, si avrà 7 che si porrà. E si moltiplichino 7 per 1 e 1 per 3, si avrà 38: si ponga 8 e si tenga il 3, e moltiplicati 7 per 4 e 3 per 5, e aggiunti al 3 conservato, si avrà 46 : si ponga il 6 e si tenga il 4, e si moltiplichi 3 per 4 e si sommi al 4 tenuto, si avrà 16, e si ponga il 6 e si tenga l’1 e avremo in cima alla detta moltiplicazione di quelle due figure in tre, 16687, davanti al quale si ponga 0 per lo 0 levato a 370, risulterà 166870 : e così in questo modo si moltiplicano due figure qualsiasi con tre figure qualsiasi.
166870
37
451
(II.27) Ancora, se si vuole la moltiplicazione di 320 per 570, si tolga lo 0 da entrambi i numeri, rimarrà 32 e 57, numeri che si moltiplicheranno tra loro, si avrà 1824, davanti al quale si pongano due zeri, si avrà 1824, davanti al quale si mettano due zeri, e avremo in cima a detta moltiplicazione 182400.
182400
32
57


Terza parte sulla moltiplicazione di 4 figure
(II.28) Se poi qualcuno volesse moltiplicare quattro figure con quattro, scriva i numeri, e collocate le posizioni sotto le posizioni simili, moltiplichi la prima per la prima e ponga, ricordando però di conservare sempre le decine ponendo le unità, e si moltiplichi la prima per la seconda, e la prima per la seconda, e si ponga [ il risultato ]; e la prima per la terza, e la prima per la terza, e le seconda per la seconda, e si ponga; e la prima per la quarta, e la prima per la quarta, e la seconda per la terza, e la seconda per la terza, e si ponga ; e la seconda per la quarta, e la seconda per la quarta, e la terza per la terza, e si ponga ; e la terza per la quarta, e la terza per la quarta, e si ponga ; e la quarta per la quarta e si ponga ; e così si avrà la moltiplicazione di qualunque numero di quattro figure che siano uguali o diverse.


Come moltiplicare
due numeri
di quattro cifre ciascuno
(II.29) Per evidenziare questa cosa si proponga la moltiplicazione di 1234 in se stesso, e scritto lo stesso numero due volte, si moltiplichi la prima per la prima come abbiamo detto in precedenza, cioè 4 per 4, si avrà 16 ; e si ponga il 6 sopra entrambi i 4 e si tenga l’1, e si moltiplichi 4 per 3 e 4 per 3, e si sommi all’1 tenuto, si avrà 25, si ponga il 5 sopra entrambi i 3 e si tenga il 2. Ancora si moltiplichi il 4 del numero superiore per il 2 dell’inferiore, e 4 per 2 e 3 per 3, e si aggiungano al 2 conservato, si avrà 27 : si ponga 7 sopra entrambi i 2 e si tenga 2 : si moltiplichi 4 per 1 e 4 per 1 e 3 per 2, e si sommino queste quattro moltiplicazioni col 2 tenuto, si avrà 22 : si ponga 2 sopra entrambi gli 1, e si tenga in mano 2, e si moltiplichi 3 per 1e 3 per 1 e 2 per 2, e si sommino col 2 tenuto, si avrà 12 : si ponga 2 e si tenga in mano 1, e si moltiplichi 2 per 1 e 2 per 1 e si sommi all’1 tenuto, si avrà 5, che si ponga, e si moltiplichi 1 per 1, si avrà 1 che si ponga ; e così si avrà in cima alla moltiplicazione stessa 1522756.
1522756
1234
1234

Sullo stesso

prodotto 2345x6789
python
(II.30) Ancora, perché si capisca meglio, si proponga la moltiplicazione di 2345 in 6789 : e così, scritti i numeri, si moltiplichi 5 per 9, si avrà 45, si ponga 5 e si tenga 4, e si moltiplichi 5 per 8 e 9 per 4, e si sommino al 4 tenuto: si avrà 80 : si ponga lo 0 e si tenga l’8 e si moltiplichi 5 per 7 e 9 per 3 e 4 per 8, e si aggiungano all’8 tenuto, si avrà 102 ; si ponga il 2 e si tenga in mano il 10, e si moltiplichi 5 per 6 e 9 per 2 e 4 per 7 e 8 per 3, e si sommino al 10 tenuto: si avrà 110 : si ponga 0 e si tenga 11, e si moltiplichi 4 per 6 e 8 per 2 e 3 per 7, e si aggiungano all’11 tenuto, si avrà 72 : si ponga il 2, si tenga il 7, e si moltiplichi 3 per 6 e 7 per 2, e si aggiunga al 7 tenuto, si avrà 39 : si ponga 9 e si tenga il 3, che si sommi alla moltiplicazione del 2 in 6, si avrà 15, e si pongano 5 e 1, e così si avrà la moltiplicazione dei detti numeri, come qui si mostra.
15920205
la prova è 6 2345
6789
La prova
pg.14 (II.31) E se questa sarà giusta, si prova così : si moltiplichi il resto di 2345 che è 5 col resto di 6789 che è 3, si avrà 15 , dal quale si tolga 9: rimane 6 che è il resto della moltiplicazione in cima.
Esegue
la prova del 9 a
2345x6789=15920205
(II.32) Per quanto tutti i numeri di quattro figure siano da moltiplicare così come è stato detto, tuttavia tra loro ce ne sono alcuni che si possono moltiplicare in altro modo e più facilmente : quelli cioè, che hanno zero all’inizio ; così se si cerca dila moltiplicazione di 5000 con 7000, si moltiplichi 5 per 7, si avrà 35, davanti al quale poniamo tutti gli zeri che sono con i numeri stessi, che sono sei, e così avremo in cima la detta moltiplicazione 35000000.
5000x7000=
=35000000
(II.33) Ugualmente se si cercasse di eseguire la moltiplicazione di 5100 con 7430, si moltiplichi 51 per 743: si avrà 37893, ai quali si antepongono i tre zeri che sono all’inizio di entrambi i numeri, e così avremo in cima a detta moltiplicazione 37893000.
37893000
51
743
(II.34) Ancora se si cercasse di eseguire la moltiplicazione di 2500 con 3701, si tolgano i due zeri che sono davanti a 2500, rimarrà 25, che si moltiplica per 3701, cioè due figure con quattro, la cui disposizione è questa: si scriva 25 sopra 3701, come si vede in basso, e si moltiplicherà 5 per 1, si avrà 5, che si ponga ; e 5 per 0 e 1 per 2, si avrà 2, che si ponga; e 5 per 7 e 2 per 0, si avrà 35; si ponga 5 e si tenga 3, e si moltiplichi 5 per 3 e 2 per 7 e si aggiunga al 3 tenuto: si avrà 32 ; si ponga il 2 , e si tenga il 3 e 2 per 3, si avrà 6, che si somma al 3 tenuto ; si avrà 9, che si ponga. E così si avrà per la moltiplicazione di 25 in 3701, come si mostra nella descrizione, 92525, al quale si antepongano due zeri, come si aveva in cima alla precedente moltiplicazione cercata.
9252500
25
3701


Parte quarta del secondo capitolo
(II.35) E quando poi qualcuno avesse voluto moltiplicare qualunque numero di cinque figure per qualunque numero della stessa posizione, cioè cinque figure per cinque, collocati i numeri, si moltiplichi la prima [ figura ] per la prima e si ponga; e la prima per la seconda, e la prima per la seconda, e si ponga; e la prima per la terza, e la prima per la terza, e la seconda per la seconda, e si ponga; e la prima per la quarta, e la prima per la quarta, e la seconda per la terza, e la seconda per la terza , e si ponga; e la prima per la quinta, e la prima per la quinta, e la seconda per la quarta, e la seconda per la quarta, e la terza per la terza, e si ponga; e la seconda per la quinta, e la seconda per la quinta, e la terza per la quarta, e la terza per la quarta, e si ponga; e la terza per la quinta, e la terza per la quinta, e la quarta per la quarta, e si ponga; e la quarta per la quinta e la quarta per la quinta, e si ponga; e la quinta per la quinta, e si ponga. E così si avrà la moltiplicazione di qualunque numero di quinta posizione :


Come moltiplicare
due numeri
di cinque cifre ciascuno
pg.15


prodotto 12345x12345
python
(II.36) e affinché qui sia mostrato più chiaramente, si proponga questa moltiplicazione, perché per mezzo di essa si capiscano le moltiplicazioni uguali e diverse della stessa posizione : così se si volesse moltiplicare 12345 per 12345, scritti i numeri, come mostrammo sopra, si moltiplichi 5 per 5 si avrà 25 : si ponga 5 e si tenga 2, e 5 per 4 e 5 per 4, e si aggiunga al 2 tenuto, si avrà 42 : si ponga il 2 e si tenga il 4, e 5 per 3 e 5 per 3 e 4 per 4, e si aggiungano al 4 tenuto, si avrà 50 : si ponga lo 0 e si tenga il 5, e 5 per 2 e 5 per 2 e 4 per 3 e 4 per 3, e si sommi al 5 tenuto, si avrà 49 : poniamo il 9 e si tenga il 4, e 5 per 1 e 5 per 1  e 4 per 2 e 4 per 2 e 3 per 3, e si aggiunga al 4 tenuto, si avrà 39 : si ponga il 9 e si tenga il 3, e 4 per 1 e 4 per 1e 3 per 2 e 3 per 2, e si sommi col 3 tenuto, si avrà 23; si ponga 3 e si tenga 2, e 3 per 1 e 3 per 1 e 2 per 2, e si aggiunga al 2 tenuto si avrà 12; si ponga 2 e si tenga 1, e 2 per 1 e 2 [NdT] Abbiamo corretto un evidente
  errore materiale nel testo
per 1, e si sommi all’ 1 tenuto: si avrà 5, che si ponga; e 1 per 1, si avrà 1 che si ponga ; e così avremo il risultato di questa moltiplicazione.
152399025
12345
12345
(II.37) Mostrerò inoltre che questo modo di moltiplicare deriva da ciò che accade tra i numeri tra loro proporzionali. Infatti quando tre numeri sono proporzionali, cosicché il primo sta al secondo come il secondo sta al terzo, allora la moltiplicazione del primo col terzo è uguale alla moltiplicazione del secondo in sé. E quando quattro numeri sono proporzionali, si avrà che come il primo sta al secondo così il terzo sta al quarto. Allora la moltiplicazione del primo nel quarto è uguale alla moltiplicazione del secondo nel terzo, come si trova in Euclide. Infatti un numero sale all’infinito per posizioni continue; poiché come la [ il numero in ] prima posizione sta alla seconda così la seconda sta alla terza e la terza alla quarta e ciascun antecedente al suo conseguente. Perciò la moltiplicazione di una seconda posizione in sé fa la stessa posizione fatta della moltiplicazione della prima con la terza. E la moltiplicazione di una seconda posizione nella terza fa la posizione fatta dalla moltiplicazione della prima con la quarta.
a : b=b : c
a x c=b x b

a : b=c : d
a x d=b x c

aI : aII=aII : aIII=aIII : aIV=
=...

aII x aII=aI x aIII
aII x aIII=aI x aIV
(II.38) S i comincia così nelle moltiplicazioni delle figure in prima posizione, dalla cui moltiplicazione si ha o un numero in prima posizione o terminante in essa. Perciò dalla moltiplicazione della prima figura per la prima si pongono le unità al primo posto, e si tengono le decine per il secondo, alle quali si somma la moltiplicazione delle prime con le seconde, e ne viene un numero in seconda posizione, o terminante in essa. Per questo si pongono le unità sopra la seconda posizione, e per ogni decina che si ha, si conservi 1 al terzo grado. Quindi si moltiplicano le prime con le terze, e si aggiungono ad esse la moltiplicazione della seconda con la seconda; perché la moltiplicazione della seconda posizione fa la stessa posizione che fa la moltiplicazione delle prime posizioni con le terze. E perciò dalle moltiplicazioni delle prime figure per le terze e delle seconde nelle seconde si pongono le unità sopra la terza posizione; dopo di ciò si moltiplicano le prime per le quarte, e le seconde per le terze, essendo in quattro posizioni proporzionali; poiché come il primo sta al secondo, così il terzo sta al quarto, e da queste moltiplicazioni si ha il numero che termina in quarta posizione.
aI x aIII=aII x aII
 
 
aI x aIV=aII x aIII
aII : aII=aIII : aIV
 
(II.39) E perciò si pongano le unità in quarta posizione, e dopo si moltiplichino le prime per le quinte, e le seconde per le quarte, e le terze per le terze; perché come la prima posizione sta alla seconda così la quarta sta alla quinta. Per cui la moltiplicazione della seconda posizione nella quarta fa la posizione fatta dalla moltiplicazione della prima nella quinta, cioè la quinta posizione; e inoltre la seconda posizione sta alla terza come la terza alla quarta. Per cui la moltiplicazione della terza posizione per la terza dà la posizione della moltiplicazione della seconda per la quarta, cioè la quinta posizione. E perciò le unità sono messe in quinta posizione, e così secondo la proporzionalità si ottiene il risultato della moltiplicazione di qualsiasi numero. E questo può essere chiaramente compreso da ciò che segue. E si deve osservare che come la prima posizione sta alla seconda, così la penultima sta all'ultima; e come la prima sta alla terza, così la terza dall’ultima sta all’ultima; e come la prima sta alla quarta, così la quarta dall’ultima sta all'ultima, e così via.
aI : aII=aIV : aV
aII x aIV=aI x aV
 
aII : aIII=aIII : aIV
aIII x aIII=aII x aIV
pg.16 (II.40) Dal momento che in questa moltiplicazione di cinque figure in cinque, dopo aver posto la quinta figura sopra la quinta, si moltiplichino la seconda per le quinte e la terza per le quarte; e queste moltiplicazioni vanno in sesta posizione; poiché quando la seconda posizione moltiplica la quinta dà la sesta posizione; che fa la moltiplicazione della terza posizione per la quarta, e quando la seconda posizione sta alla terza, così la quarta sta alla quinta. Poi la terza posizione è moltiplicata per le quinte e la quarta per la quarta, e si ha la settima posizione; perché moltiplicando la terza posizione, si ha la terza posizione dalla quinta, cioè la settima: dopo si moltiplicano la quarta per le quinte, che fanno l'ottava posizione. In ultimo si moltiplica la quinta posizione per la quinta, che dà la nona posizione; e così si ha il risultato di detta moltiplicazione. Dunque per tutto ciò che è stato detto sulla moltiplicazione, qualunque persona intelligente può ricevere una perfetta cultura del moltiplicare: tuttavia affinché gli inesperti abbiano qui un insegnamento perfetto, ho deciso di mostrare la moltiplicazione dell’ottava posizione.
aII x aV=aIII x aIV
aII : aIII=aIV : aV
 
aIII x aV=aIV x aIV


Quinta parte del secondo capitolo




La sfida
(II.41) Se poi qualcuno avesse voluto moltiplicare un numero qualsiasi di otto figure per qualsiasi altro numero delle stesse posizioni, moltiplichi la prima per la prima, e ponga; e la prima per la seconda, e la prima per la seconda, e lo ponga; e la prima per la terza, e la prima per la terza, e la seconda per la seconda, e lo ponga; e la prima per la quarta, e la prima per la quarta, e la seconda per la terza, e la seconda per la terza, e lo ponga; e la prima per la quinta, e la prima per la quinta, e la seconda per la quarta, e la seconda per la quarta, e la terza per la terza, e lo ponga; e la prima per la sesta, e la prima per la sesta, e la seconda per la quinta, e la seconda per la quinta, e la terza per la quarta, e la terza per la quarta, e lo ponga; e la prima per la settima, e la prima per la settima, e la seconda per la sesta, e la seconda per la sesta, e la terza per la quinta, e la terza per la quinta, e la quarta per la quarta, e lo ponga; e la prima per l'ottava e la prima per l'ottava e la seconda per la settima, e la seconda per la settima, cioè quelle che sono subito dopo la prima e l'ottava, e la terza per la sesta, e la terza per la sesta, cioè quelle che sono subito dopo la seconda e la settima, e la quarta con la quinta e la quarta con la quinta; perché sono subito dopo la terza e la sesta, e lo si ponga. E così sempre in tutte le moltiplicazioni dalla parte interna le stesse figure si devono sempre moltiplicare a vicenda da entrambe le parti, quelle che sono subito dopo quelle prima moltiplicate: finché moltiplicando queste verranno così sommate una con l'altra; e allora le unità sono da porre e le decine siano da tenere in mano.


Come moltiplicare
due numeri
di otto cifre ciascuno
(II.42) E quando, la moltiplicazione delle prime figure nelle restanti, ascendendo per ordine di posti, sarà stata completata fino all'ultima, allora si devono lasciare del tutto le prime figure di entrambi i numeri, e si devono moltiplicare la seconde per le ultime, cioè come in questo caso si moltiplichi la seconda per l'ottava, e la seconda per l'ottava, e la terza per la settima, e la terza per la settima; che sono subito dopo la seconda e l'ottava; e la quarta per la sesta e la quarta per la sesta, perché sono subito dopo la terza e la settima; e la quinta per la quinta, perché sono tra la quarta e la sesta, e si ponga [ la somma ]; e allora si lascino le seconde, e si moltiplichi la terza per l'ottava, e la terza per l'ottava, e la quarta per la settima, e la quarta per la settima, e la quinta per la sesta, e la quinta per la sesta, e si ponga; e si lascino le terze posizioni, e si moltiplichi la quarta per l'ottava, e la quarta per l'ottava, e la quinta per la settima, e la quinta per la settima, e la sesta per la sesta, e si ponga; e si lasciano le quarte posizioni, e si moltiplichi la quinta per l'ottava, e la quinta per l'ottava, la sesta per la settima e la sesta per la settima, e si ponga; e si lasciano le quinte posizioni e si moltiplichi la sesta per l'ottava, la sesta per l'ottava e la settima per la settima, e si ponga; e la settima per l'ottava e la settima per l'ottava, e si ponga; e l'ottava per l'ottava, e ponga; e così si avrà̀ la moltiplicazione di tutti i numeri di otto figure:


prodotto
12345678x87654321
python


pg.17
(II.43) e affinché si capisca più chiaramente con i numeri, siano i numeri 12345678 e 87654321, che perché siano moltiplicati tra loro si scrivano secondo quanto è detto prima, e si moltiplichi 8 per 1: sarà 8 , che si ponga; e 8 per 2 e 1 per 7 sarà 23; si ponga 3 e si tenga 2; e 8 per 3 e 1 per 6 e 7 per 2, e si aggiungano al 2 conservato sarà 46, si ponga 6 e si tenga 4, e 8 per 4 e 1 per 5 e 7 per 3 e 2 per 6 si avrà 74; si ponga il 4 e si tenga il 7, e 8 per 5 e 1 per 4 e 7 per 4 e 2 per 5 e 6 per 3 sarà 107; si ponga il 7 e si tenga il 10; e 8 per 6 e 1 per 3 e 7 per 5 e 2 per 4 e 6 per 4 e 3 per 5 [ e si aggiunga al 10 conservato ], sarà 143, si ponga 3 e si tenga 14; e 8 per 7 e 1 per 2 e 7 per 6 e 2 per 3 e 6 per 5 e 3 per 4 e 5 per 4 [ e si aggiunga al 14 conservato ] sarà 182, si ponga il 2 e si tenga il 18; e 8 per 8, 1 per 1, 7 per 7, 2 per 2, 6 per 6, 3 per 3, 5 per 5 e 4 per 4, con il 18 tenuto fanno 222; si ponga il 2 e si tenga il 22, e 7 per 8 e 2 per 1 e 6 per 7 e 3 per 2 e 5 per 6 e 4 per 3 e 4 per 5, [ e si aggiunga al 22 conservato ] si avrà 190, si ponga 0 e si tenga 19; e 6 per 8 e 3 per 1 e 5 per 7 e 4 per 2 e 4 per 6 e 5 per 3 [ e si aggiunga al 19 conservato ] farà 152, si ponga il 2 e si tenga il 15, e 5 per 8 e 4 per 1 e 4 per 7 e 5 per 2 e 3 per 6 [ e si aggiunga al 15 conservato ] saranno 115, si ponga il 5 e si tenga l’11, e 4 per 8 e 5 per 1 e 3 per 7 e 6 per 2 [ e si aggiunga al 11 conservato ] saranno 81, si ponga 1 e si tenga l’8; e 3 per 8 e 6 per 1 e 2 per 7 [ e si aggiunga l’8 conservato saranno 52 ] si ponga il 2 e si tenga il 5, e 2 per 8 e 7 per 1, [ e si aggiunga il 5 conservato saranno 28 ] si ponga 8 e si tenga il 2, e 1 per 8 [ e si aggiunga 2 conservato ] sarà 10, che si pone; e così si avrà quindi il risultato di detta moltiplicazione .
 
1082152022374638
la prova è 0 12345678
87654321
(II.44) Ma se ci fossero degli zeri al capo di qualsiasi numero si cancellino da questi numeri tutti gli zeri che sono in cima, e si moltiplichino tra loro le figure rimanenti, e gli zeri eliminati si antepongano alla moltiplicazione, e si avrà la moltiplicazione degli stessi numeri, come abbiamo indicato nelle moltiplicazioni a due, tre e quattro posizioni, e se con le dimostrazioni delle moltiplicazioni date sopra qualcuno non riuscisse a moltiplicare poche figure con molte, scriva i numeri, ma il maggiore sotto al minore, cioè il numero con più figure sotto allo stesso numero con poche, collocando la prima posizione dell’uno sotto la prima dell’altro e poi, come abbiamo detto sopra, si collocheranno le altre posizioni, e si pongano dopo il numero di poche figure tanti zeri quante sono le figure che sovrabbondano dal secondo numero, e così se ne avrà un uguale numero nella moltiplicazione, così se si volesse moltiplicare tre figure con sei, si ponga il numero con sei figure sotto il numero con tre figure, e si pongano dopo le tre figure tre zeri, così da avere nella moltiplicazione sei figure con sei, che si moltiplichino secondo le istruzioni precedenti. Per esempio: volendo moltiplicare 345 con 698541 si scrivano in questo ordine, cioè, tre zeri dopo il 345. In verità ciò che è detto sulla posizione degli zeri dopo le figure penso che non sarà necessario se non per gli inesperti, perché gli esperti non hanno bisogno di queste posizioni degli zeri.
240996645
000345
698541

 
 


Sesta parte del secondo capitolo
(II.45) S i viene a sapere se questa moltiplicazione è corretta in questo modo. Si sommino appunto le figure che sono nel 37 superiore, cioè 3 con 7, fa 10, dalle quali si tolga 9, rimarrà 1, che si conservi. Nello stesso modo si contino le figure del 37 inferiore, e si tolga 9, rimarrà ancora 1: si moltiplichi quindi l’1 che è rimasto dal 37 in alto per l’1 che è rimasto in basso, farà 1, che si chiama resto o porzione, e si conservi nella tavola sopra la moltiplicazione stessa, come si vede nella terza descrizione: poi si sommino le figure che sono in cima alla moltiplicazione, e dalla quantità sommata si tolga 9 tante volte quanto è possibile ; e se rimarrà 1 come è stato conservato per il resto, allora la moltiplicazione sarà corretta.



Come fare
le moltiplicazioni a mente

pg.18
(II.46) Ad esempio: se si vuole moltiplicare 12 per 12, si tenga a mente la loro scrittura, e si moltiplichi 2 per 2, fa 4, questo 4 si ponga nella mano sinistra al posto delle unità, e si moltiplichi il 2 del 12 superiore per l’1 di quello inferiore, e il 2 inferiore per l’1 superiore, e si sommino insieme si ha 4, che si metta nella stessa mano sinistra nel posto delle decine, cioè con il segno del quaranta; e si moltiplichi 1 per 1, vale a dire la seconda figura per la seconda si ha 1, che si mette nella mano destra al posto delle centinaia. E così si avrà 144 per la moltiplicazione richiesta, come si vede in questa pagina.
144
12
12
(II.47) Ancora, se si vuole moltiplicare 48 per 48 a mente, si moltiplichi 8 per 8, si avrà 64, si ponga quindi il 4 nella mano sinistra al posto delle unità, e si tenga il 6 nella mano destra al posto delle centinaia. E si moltiplichi 8 per 4 e 8 per 4 e si sommino insieme si avrà 64, che si aggiunga al 6 tenuto nella mano destra, sarà 70, dal quale si ponga lo 0, cioè nulla, nella mano sinistra al posto delle decine, e si tenga il 7 nella mano destra, a cui si aggiunga la moltiplicazione del 4 per il 4, cioè 16, si avrà 23, dal quale si ponga il 3 nella mano destra al posto delle centinaia. E si metta il 2 nella stessa mano nel posto delle migliaia, indicando cioè duemila. E quindi avremo 2304 per la moltiplicazione cercata.
 
48
48
(II.48) Ancora, se si vuole moltiplicare 23 per 57, si mantenga la loro descrizione in memoria, e si moltiplichi il 3 per 7, si ha 21, si ponga 1 nel posto delle unità nella mano sinistra, e si tenga il 2 nella mano destra, e 3 per 5 e 7 per 2, e si aggiungano al 2 tenuto si ha 31, si ponga 1 nel posto delle decine, e si mantenga il 3 nella mano destra, e 2 per 5, e si aggiunga il prodotto al 3 tenuto, si avrà 13; si ponga il 3 al posto delle centinaia nella mano destra, e [ l'1 ] al posto delle migliaia, e così si avrà 1311 per questa moltiplicazione.
1311
23
57


Parte settima del secondo capitolo.
(II.49) Ancora se si volesse moltiplicare a mente 347 per 347, si moltiplichi 7 per 7, tenuta la scrittura dei numeri a mente: si avrà 49, si ponga il 9 nella mano sinistra al posto delle unità, e nel destra si tenga il 4, e due volte 7 per 4 e si aggiunga al 4 tenuto, si avrà 60, si ponga lo 0 al posto delle decine nella mano sinistra, cioè nulla, e si tenga il 6 nella destra, e due volte il 7 per il 3 e 4 per 4, e aggiunti al 6 tenuto si avrà 64, si ponga il 4 nella destra al posto delle centinaia, e si tenga il 6 al posto delle migliaia, o in mente, e due volte 4 per 3, e si aggiungano al 6 tenuto, si avrà 30, si cancelli 6 dal posto delle migliaia e si metta nella stessa posizione nulla per lo 0 e si mantenga 3 in memoria, e 3 per 3 e si aggiunga al 3 conservato in memoria, e così si avrà 12, che si tiene di nuovo a mente non potendolo mettere in mano, e così si avrà per questa moltiplicazione 120409. E così se si sarà saputo tenere i numeri in memoria e in questo modo si sarà capaci di procedere più facilmente nel modo che si è imparato con la tavola, si potrà trovare le moltiplicazioni di qualsiasi numero di due e tre posizioni, con la memoria e le mani.


120409
347
347

Termina il secondo capitolo.