Nel capitolo XII del Liber Abaci, Leonardo Pisano Fibonacci affronta diverse tematiche: Interessante quella trattata nel paragrafo XII.1, le progressioni aritmetiche.

Spesso, per trattare tale argomento, si racconta un aneddoto su Gauss, che risale a quando il matematico aveva 9 anni. Pare che il suo insegnante, per mettere a tacere gli allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Pare che mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Gauss moltiplicò 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato.

Nel Liber Abaci, invece, viene riportato un metodo molto intuitivo: Fibonacci presenta le progressioni aritmetiche con degli esempi che sfruttano un diagramma a forma di V capovolta o, come dicono i miei alunni, a forma di tetto.

Dalle sue spiegazioni si evince che i termini della progressione da sommare vengono divisi in due metà ed ognuna di esse è posizionata rispettivamente sui lati del diagramma. Nel caso in cui il numero dei termini da sommare sia dispari, il termine centrale sarà posizionato in cima al diagramma.
La somma S dei termini posizionati sui lati del diagramma dello stesso livello sarà la stessa, per cui la somma totale dei termini sarà S moltiplicata per la metà del numero n dei termini a cui va, eventualmente, sommata la metà di S se il numero dei termini della progressione ė dispari.

In linguaggio matematico, se si vogliono sommare n termini di una progressione aritmetica a₁ + a₂ + a₃ +....+ a_n, si possono presentare le seguenti situazioni:

• n pari Si dispongono
  n
  2 termini su ciascun lato e S = a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 =....= a_n/2 + a_n/2 + 1. La somma dei termini della progressione sarà S × 
  n
  2.
• n dispari Si dispongono su ciascun lato un numero di termini pari alla parte intera di
  n
  2 e S = a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 =....= a_n/2 +a _n/2 + 1. Al vertice si troverà il termine centrale della progressione
  S
  2 La somma dei termini della progressione sarà S × 
  n
  2 + 
  S
  2.

Ho conosciuto il contenuto del dodicesimo capitolo del Liber Abaci nel momento in cui nella mia classe prima stavo trattando tematiche in merito ai punti e alle rette nel piano euclideo. Questa classe presenta una situazione particolare, sono 16 alunni, di cui uno con disabilità lieve, 6 con disturbi specifici dell'apprendimento, 6 con bisogni educativi speciali. Viste le difficoltà della maggioranza, ho fissato come mio obiettivo quello di trattare le differenti tematiche puntando sul potenziamento del ragionamento e delle capacità logiche.

Lo scopo dell'attività presentata, ovvero dedurre il numero di rette passanti per un numero n di punti non allineati, mira a cercare una strategia che, dal conto concreto, permetta il passaggio all'astratto, mediante una particolare modalità che fa contare in maniera differente.

Immaginiamo che Chiara, Valerio, Desirée e Giulia vogliano brindare...quante volte sentiranno il tintinnio dei bicchieri?

I miei alunni cominciano a formulare diverse ipotesi, anche discutendo in maniera animata; dalla loro discussione emerge la necessità di disegnare, tanto da capire che gli alunni sono dei punti ed i loro brindisi una retta per passa per essi.

Se siamo solo in due, c'è un unico brindisi perché per 2 punti passa una ed una sola retta.
È sicuramente un buon inizio!
Per 3 punti procedo collegando il primo punto con il secondo ed il terzo, poi il secondo è già collegato al primo, ma non con il terzo. Per cui li sono 3.

Il procedimento ordinato è stato compreso, anche se qualche retta su qualche quaderno non è stata disegnata perché dimenticata.

Assegno, quindi, diversi esercizi tipo i precedenti, ma con un numero maggiore di punti, ad esempio 17. Gli alunni si lamentano per le somme perché ci vuole troppo tempo, fanno le operazioni in ordine di scrittura, quindi svolgono 1+2=3 e lo sommano a 3, ottenendo 6, a cui sommano 4 e così via.

In questa situazione presento loro il Liber Abaci, cap.XII e andiamo a leggere il procedimento che Fibonacci spiega per fare le somme sul suo bel diagramma.

Desirèe afferma che questo tetto sembra essere d’aiuto, così che si comincia a fare le somme per tutti i casi trattati.

Assegno come compito a casa di verbalizzare quanto hanno compreso sino ad ora. I ragazzi usano video e relazioni, alcuni preferiscono raccontare oralmente come si fa.

Si passa, ora, a svolgere altre tipologie di esercizio, sfruttando sempre il tetto di Fibonacci.

Si vogliono sommare i termini di una progressione formata dai soli numeri pari che vanno da 6 a 18. Come si procede?

Le facce degli alunni non sono molto perplesse… i numeri che intervengono sono 6, 8, 10,12, 14,16,18, e sono 7, provo a metterli sul tetto.

6+18 fa 24, come anche 8+16… non cambia nulla, si svolge tutto come prima
quindi la somma è 24x3+12, cioè 84.

Ma c’è un modo per capire quanti sono i termini da sommare senza contarli?
Non arriva nessuna risposta. Per cui chiedo di fare altri esempi in cui contare i termini da sommare e di confrontarli per poter trovare una regola. La risposta finalmente arriva.
Se si sommano i numeri da 1 in poi, sempre mettendo il successivo, il numero di termini è uguale all’ultimo termine, ad esempio se devo sommare i termini da 1 a 16 i termini sono 16. Se invece si somma ogni 2 o ogni 3 e così via si deve fare diversamente. Se sommiamo i termini da 6 a 18, contando ogni 2, i termini sono 7 perché 18-6 fa 12, che diviso per due, cioè di quanto conto, fa 6, ed aggiungo 1.
Questo procedimento non è stato capito da tutti, anzi, da pochi alunni, ed ho quindi deciso di lasciare liberi gli altri alunni di elencare i termini e di contarli.

E’ stato necessario anche specificare quando si ha una progressione.
Sommiamo i numeri da 3 a 17 aumentando sempre di 3.
Prof, non arriviamo a 17 se scriviamo i termini, ci fermiamo a 15? I ragazzi hanno intuito che qualcosa non va, è quindi indispensabile dire che questo esercizio assegnato non si può risolvere con il modo descritto per il semplice fatto che i termini nominati, il primo e l’ultimo devono essere presenti, altrimenti come facciamo le somme?
Ho, quindi, specificato che non si ha una progressione.

Quindi, è stato compreso che il diagramma descritto da Fibonacci nel capitolo XII del Liber Abaci è utile per qualunque tipo di progressione aritmetica, o, come dicono semplicemente i miei alunni, per fare le somme di numeri contando seguendo una regola.

Dimostriamo che la somma di n numeri dispari consecutivi, a partire da 1, è il quadrato di n.

Ora sommiamo i numeri dispari consecutivi...
1+3=4
1+3+5=9
Qualcuno mi chiede se sommarli sul tetto di Fibonacci, li lascio liberi di scegliere: in molti lo preferiscono.
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9+11=25
e si continua per un po’, ognuno per conto proprio, fin quando mi rendo conto che qualcuno è arrivato al 225, così chiedo di fermarsi.
Chiedo loro di leggermi la somma delle progressioni scritte e noto che tutto era stato svolto correttamente in quanto erano presenti il 36, il 49, il 64, l’81, il 100, il 121, il 144, il 169, il 196 e, in ultimo il 225

Siamo passati, quindi, a svolgere un'ulteriore attività, avendo a disposizione dei tappi di plastica, o dischi realizzati con del cartoncino. Viene richiesto di realizzare dei quadrati specificando di non fare solo il contorno, usando il materiale a disposizione.
Cominciano a lavorare e l’osservazione che fanno è che alcuni quadrati sono piccoli, altri invece sono più grandi. Nell’osservare, mi rendo conto che i quadrati sono stati definiti piccoli quando sono formati da un numero minore di tappi. Quando chiedo di dirmi il numero di tappi per ciascun quadrato, i numeri 4, 9, 16, 25, 36 (non sono andati oltre perché non avevano altro materiale a disposizione) hanno suscitato delle riflessioni e qualche commento, tipo sono gli stessi numeri che uscivano dal tetto di Fibonacci!

Abbiamo parlato di quei numeri, chiamati “numeri quadrati” proprio perché in geometria hanno la forma di un quadrato, che si ottiene moltiplicando un numero per sé stesso.
Chiedo di disegnare quanto scoperto. C’è chi disegna i cerchi e chi, invece, mi chiede di poter disegnare semplicemente un quadrato, come nella seguente immagine.

Giunti a questo punto, chiedo ai miei alunni se, secondo loro sia possibile mostrare, con il loro materiale, che la somma dei dispari consecutivi è un quadrato, come abbiamo visto precedentemente sul tetto di Fibonacci.

Procedono con tentativi fin quando un’alunna mi spiega che un tappo circondato da altri 3 ne fanno 4: il verbo “circondato” non è idoneo ma mi mostra con i suoi tappi quanto mi vuole dire. I 3 tappi sono disposti come uno gnomone, utilizzati per completare il numero presente per diventare un altro quadrato.
Tutti seguono quanto suggerito dalla compagna, e lo riportano sui loro quaderni.

C’è chi preferisce, come prima, disegnare quanto svolto in maniera differente.

Mi è stata posta questa domanda:
Allora i numeri dispari qui sono tutti gnomoni?
a cui ho risposto con un’altra domanda, chiedendo il perché di questa riflessione.
Perché ogni quadrato successivo si ottiene aggiungendo uno gnomone.

Gli alunni hanno compreso che la somma dei dispari consecutivi è un numero quadrato, sia dalla progressione disposta sul diagramma di Fibonacci, sia in geometria, sfruttando gli gnomoni. Erano anche sorpresi dal fatto che il 25 si ottiene sommando 5 dispari consecutivi, cioè che n² = 1 + 3 + 5 +.... dove il numero degli addendi è proprio n.

In questo anno scolastico è stato reintrodotto lo studio dell’educazione civica a scuola,materia che si tratta trasversalmente in tutte le discipline. Un obiettivo che è stato fissato per la matematica, e che è stato sempre una priorità (indipendentemente o meno dall’educazione civica!) è quello di mostrare come la matematica, mediante la schematizzazione, permetta di risolvere delle situazioni problematiche, quelle che da qualche anno sono le protagoniste dei cosiddetti “Compiti di realtà”.

Con queste premesse, ho deciso di proporre ai miei alunni la lettura del problema XII.1.6 del Liber Abaci.

A lettura ultimata, gli alunni sono un po’ interdetti e mi dicono che vogliono verificare se è vero che i due viaggiatori si incontrano dopo 39 giorni.

Dopo 39 giorni il primo avrà percorso 20x39 miglia, cioè 780. Il secondo invece devo calcolarlo con il tetto di Fibonacci: quindi faccio 39+1, cioè 40, lo moltiplico per 19 (che è la metà di 39, con resto) ed ottengo 760, a cui aggiungo la metà di 40, cioè 20, ed ho 780. E’ proprio lo stesso risultato, quindi si incontrano.

Purtroppo, non ho potuto dedicare ulteriore tempo in classe, la campana suona sempre presto quando si lavora. Così ho chiesto di inventare un problema del genere a casa, cercando di schematizzare il numero di giorni e le distanze percorse da due uomini.

Nel compito precedente, un'alunna con disturbi specifici dell'apprendimento ha inventato il seguente problema, scritto in maniera leggermente differente: Marta e Maria devono andare a scuola: Marta percorre 10 miglia al giorno, Maria 1 miglio in più del giorno precedente. Dopo quanti giorni si incontreranno a scuola?
A parte l'ubicazione insolita della scuola, l'alunna ha svolto in maniera scrupolosa l'esercizio, riportando in colonna il numero delle miglia percorse al giorno. Lei ha notato che dopo 19 giorni hanno percorso entrambe 190 miglia. Nel verbalizzare il suo lavoro, una volta visto "empiricamente " il numero delle miglia percorse giornalmente, lo ha confermato dal tetto di Fibonacci dal conto (19+1)×9+10.

Ho pensato di far programmare solo alcuni alunni su Python, cercando di creare un codice che permetta di eseguire la somma dei termini di una progressione conoscendo il primo e l’ultimo termine, la ragione della progressione (cioè di quanto aumenta l’addendo, secondo gli alunni) e il numero di termini da sommare.

Questa attività è stato proposta in verticale in tutte le mie classi: in prima, in seconda ed in terza. Il “problema del tetto” è stato affrontato allo stesso modo, ovviamente i tempi sono stati più ristretti grazie al livello di preparazione dei ragazzi.

Per la scrittura di tale programma occorre una conoscenza di base del software, cioè conoscere i comandi print, input, conoscere l’ordine delle operazioni da svolgere, l’uso delle parentesi e come sono considerati i numeri.

Per l’apprendimento dei comandi base ho caricato delle piccole video lezioni nella piattaforma scolastica, insieme a tutti i materiali che noi insegnanti mettiamo a disposizione.
E’ stato bello vedere l’interesse mostrato verso questo software, per loro sconosciuto, manifestato dalla velocità di restituzione degli esercizi assegnati.

Prima di programmare, abbiamo analizzato quanto chiedere al software: sicuramente occorre inserire il primo e l’ultimo termine della progressione, nonché la ragione. Occorre anche calcolare il numero dei termini della progressione, oltre che la somma dei termini, ma, soprattutto, constatare se i dati inseriti sono quelli di una progressione. Ho mostrato agli alunni un mio diagramma di flusso ma li ho invitati a seguire anche un percorso differente, purché dia lo stesso risultato.

Alcuni errori riscontrati sono dipesi dall’uso delle parentesi o delle formule, i comandi più “elaborati”, come if...else hanno destabilizzato gli alunni della classe prima, ma non gli altri.

Qui di seguito è riportato il codice preparato da Chantal, un’alunna della classe seconda, seguendo un ordine differente da quanto mostrato nel diagramma di flusso in quanto ha seguito il proprio ragionamento.

Chantal ha creato in modo corretto quelle che abbiamo chiamato “scatole”, cioè il contenuto dell’input.
Ha chiamato ntermini il numero di termini della progressione, mentre ha chiamato differenza la ragione della progressione.
La somma dei termini dello “stesso piano del tetto” è stata denominata sommatermini, al contrario dellasomma dei termini della progressione, chiamata SommaTotale.
Con l’if...else ha sottolineato che se il numero dei termini della progressione non è divisibile per la ragione, allora non si ha una progressione.
Con il suo modo di impostare il lavoro il codice funziona, per la sua e mia gioia!

Nel seguente video, l’alunna spiega come ha realizzato il file.