PARS TERCIA: DE EXPOSICIONIBUS SECUNDUM SEX MODOS

CAPITULUM I: DE QUESTIONIBUS SECUNDUM SEX MODOS

Disse Mahumed Algoarizmi: abbiamo proposto nel primo capitolo il procedimento del calcolo del numero e 6 questioni (problemi) relativi al calcolo del numero come esempio per i 6 modi presentati nel primo capitolo e ho detto che il calcolo del numero relativo alla restaurazione e composizione (al jabr wal al muqabala) va riferito ad ognuno di questi 6 capitoli.

Abbiamo  introdotto problemi detti “di rivestimento”, con i quali esercitarsi, rendendo più facile alla mente, illuminandola, lo studio e la comprensione.

1. 1.Quando si dice “Dividi il numero 10 in due parti e moltiplica una divisione per l’altra in modo che una di queste divisioni moltiplicata per se stessa equivalga a 4 volte il loro prodotto”. Per similitudine consideriamo una delle due divisioni del numero 10 come “la cosa” e denota l’altra come 10 meno una cosa. Moltiplica ora la cosa per 10 senza la cosa, e siano 10 radici (cose) meno un quadrato. Ora moltiplica per 4, perché hai detto quadruplo, 10 meno una cosa. Similmente sarà quattro  volte il prodotto di una divisione per l’altra e saranno 40 cose meno 4 quadrati. Moltiplica poi una cosa per se stessa e sia un quadrato equivalente a 40 cose meno 4 quadrati. Restaura questo numero e aggiungi al quadrato  i 4 quadrati: hai ottenuto che 40 cose equivalgono a 5 quadrati. Pertanto un solo quadrato equivale a 8 radici. Quindi la radice sarà 8.  E 64 varrà il suo quadrato. 8 è quindi una delle due parti in cui si è diviso 10 e il residuo che è 2 sarà la seconda parte. Questa questione ti ha ricondotto ad uno dei 6 capitoli in cui abbiamo detto “ Un quadrato equivale a delle radici “. 

1. 2. È stato diviso il numero dieci in 2 parti e moltiplicato il numero dieci per se stesso in modo che sia uguale alla somma del  prodotto di una delle due parti moltiplicata due volte per se stessa, più sette noni della stessa parte moltiplicata per se stessa.  Sia così: il numero dieci moltiplicato per se stesso sia 100 e equivalga a due quadrati e sette noni di un quadrato. Ora riduci ad un quadrato che vale 9 parti di 25 parti, questo contiene un quinto e 4 quinti del suo quinto, che vale 36 equivalente ad un quadrato. Pertanto la radice del suo quadrato è 6 che indica una parte di 10. L’altra parte della divisione è allora quattro. Tutto questo ci riporta ad uno dei sei capitoli, nel quale abbiamo detto “Un quadrato equivale a numeri”. 

1. 3. Sia diviso il numero dieci in 2 parti e una di queste parti sia divisa con l’altra e questo valga quattro. Sia così: una parte della divisione sia una cosa e l’altra sia 10 meno una cosa. Pertanto 10 meno una cosa diviso per una cosa sia 4. È manifesto che quando moltiplichi il quoziente per il divisore, ottieni la quantità che è stata divisa. In questo caso moltiplica 4 per una cosa e siano 4 cose uguali a quanto abbiamo diviso, che è 10 meno una cosa. Ora restaura 10 meno una cosa con le 4 cose e sia 10 uguale a 5 cose. Questo vale a dire che una cosa è uguale al numero due. Questo problema ci riconduce ad uno dei 6 capitoli, nel quale abbiamo detto “Radici uguali a numeri.” 

1. 4. Moltiplico un terzo di un patrimonio più un dirham, per un quarto dello stesso più un dirham in modo che il prodotto valga 20. Si procede così: moltiplica un terzo della cosa per un quarto della cosa e sia metà di un sesto di un quadrato; un dirham per un dirham genera un dirham da aggiungere; un terzo della cosa moltiplicato per un dirham genera un terzo della cosa. Ma anche un quarto della cosa moltiplicato per un dirham genera un quarto della cosa. Tutta questa somma, cioè un mezzo di un sesto di un quadrato più un terzo della cosa, più un quarto della cosa,più un dirham equivale a 20. Pertanto un dirham sottrai a 20, e rimangono 19 dirham che equivalgono a metà di un sesto di un quadrato, più un terzo della cosa più un quarto della cosa. Se ora completiamo il quadrato, moltiplicando per 12, avremo un quadrato e 7 radici che equivalgono al numero 228 (dirham). Pertanto dimezza le radici, dividendo per due, e una metà moltiplicala per se stessa; sia 12 e un quarto. Questo sommalo a 228 e sia 240 e un quarto. La sua radice è 15 e mezzo. Da questo valore sottrai tre e mezzo e sarà 12 che rappresenta la radice del quadrato (il possesso). Questo problema ci riconduce ad uno dei sei capitoli, nel quale abbiamo detto “Quadrati e radici equivalgono a numeri”. 

 

1. 5. Dividi il dieci in due parti, tale che la somma di ciascuna parte moltiplicata per se stessa equivalga a 58. Si procede così, 10 meno una cosa moltiplica per sé stessa e sia 100 più un quadrato meno 20 cose. Dopodiché moltiplica l’altra parte (una cosa) per stessa e sia un quadrato. Poi somma i due prodotti e avrai 100 più due quadrati meno 20 radici che equivalgono a 58. Restaura (al jabr) 100 e i 2 quadrati con le cose (radici) e aggiungili ai 58, e sia 100 più due quadrati equivalenti a 58 e 20 cose. Dimezzando otterrai un quadrato e 21 equivalente a 10 cose. Ora dimezza le cose e siano 5. Moltiplica per se stesso e sia 25. Togli 21 e rimarranno 4. La sua radice è 2 che sottratto a 5, cioè a metà delle radici, da tre, che rappresenta una parte delle due divisioni di 10. Questo problema ci riconduce ad uno dei sei capitoli, nel quale abbiamo detto “Numeri e quadrati  equivalgono a radici”. 

1. 6. Moltiplica un terzo di un patrimonio (sostanza) per il suo quarto e questo prodotto equivalga a 24 dirham più una sostanza. Come già conosciamo, quando un terzo di una cosa si moltiplica per il suo quarto, otteniamo mezzo sesto di un quadrato che equivale a una cosa più 24 dirham. Moltiplica due sesti di un quadrato per 12 in modo da completare il quadrato. Allo stesso modo moltiplica le cose e i 34 (24!) dirham per 12 per equilibrare: si avrà 288 e 12 sostanze (radici o cose). Dividi le radici per due, moltiplica per se stesso e aggiungi a 288, ottenendo in tutto 324. La radice di questo vale 18 che aggiunto alla metà delle radici, che è 6, da in tutto 24, che è il patrimonio. Questo problema ci riconduce ad uno dei sei capitoli, nel quale abbiamo detto “Numeri e radici equivalgono a quadrati”. 

 Questi sono i 6 problemi dei quali ho promesso, in premessa, di argomentare.

CAPITULUM II: DE ALIS QUESTIONIBUS

Ora ci rimane da argomentare attorno a 16 problemi che sembrano avere origine dai primi 6 capitoli, affinché ciascuna di queste teorie sia un modello per l’autore attento e venga evitato più facilmente ogni errore spregevole.

1. 1.Sia diviso il dieci in 2 parti e si moltiplichi una parte per l’altra dedotta e questo valga 21 dirham; moltiplichiamo pertanto una parte  che abbiamo detto essere una cosa (radice) con l’altra parte che sarà 10 meno una cosa. Siano quindi 10 cose meno un quadrato equivalente a 21. Riduci pertanto 10 cose con il quadrato e questo aggiungilo a 21. Dico quindi “10 cose equivalgono a un quadrato e 21 dirham. Dimezza le radici e siano 5 e moltiplica per se stesso e siano 25. Da questi togli 21 e sia 4. Sottrai ora la sua radice, che è 2 da metà delle radici: resta tre. Che rappresenta una delle due parti divise. 

1. 2.Dividi il numero dieci in 2 parti e moltiplica ogni parte per se stessa; ora sottrai il prodotto minore da quello più grande: resta 40. La sua spiegazione è questa, moltiplica 10 meno una cosa per se stessa e sarà 100 più un quadrato meno 20 radici. Moltiplica ora la cosa per se stessa e sia un quadrato che porterai a diminuzione da 100 e un quadrato e meno 20 radici e rimarrà 100 meno 20 cose equivalente a 40 dirham. Restaura ora 100 con 20 cose e aggiungile anche a 40, e otterrai 40 e 20 cose equivalenti a 100. Compara ora il numero 100 con il 40 e togliendo 40 da 10 rimarrà 60 equivalenti a 20 cose. Pertanto una cosa sarà uguale a tre, che è una delle due divisioni. 

1. 3. Dividi il numero dieci in 2 parti e moltiplica ogni parte per se stessa, somma i due prodotti e aggiungi la differenza fra le due parti in cui è stato diviso; tutta questa somma vale 54 dirham. La sua spiegazione è questa, moltiplica 10 meno una cosa per se stesso e sarà un quadrato più cento meno 20 cose; la cosa moltiplicata per se stessa sarà un quadrato. Sommato questo ottieni 100 più due quadrati meno 20 cose. Ora aggiungi la differenza fra le due parti in cui è stato diviso. Pertanto “Questa quantità vale 10 meno due cose”. In totale si ha 110 più due quadrati meno due e venti cose (22 cose) che equivalgono a 54 dirham. Ora riduci a un quadrato e sarà “Un quadrato più 55 dirham equivalenti a 27 dirham e 11 cose”. Ora sottrai 27 da 55. Rimangono un quadrato più 28 dirham equivalenti a 11 cose. Dimezza le cose e siano 5 e mezzo. Moltiplicalo per se stesso e siano 30 e un quarto. Ora sottrai 28 e rimarranno due radici più un quarto. Calcola la radice (quadrata) e sarà uno e mezzo e sottrai da metà delle radici: rimane 4. Pertanto 4 è una delle parti.   

1. 4. Dividi il numero dieci in 2 parti e moltiplica una parte per stessa uguagliandola a 81 volte l’altra parte. La sua spiegazione è questa, moltiplica 10 meno una cosa per se stesso e saranno 100 più un quadrato meno 20 cose equivalenti a 81 cose. Restaura 100 e aggiungi  20 radici alle 81 esistenti e saranno 100 più un quadrato equivalenti a 101 radici. Dimezza ora le radici e saranno 50 e mezzo. Ora moltiplicalo per se stesso e saranno 2000 (e) 500 e 50 e un quarto. Da questo sottrai 100 e rimarranno 2000 e 450 e un quarto. Prendi la sua radice (quadrata) che è 49 e mezzo e sottrai da metà radici che sono 50 e mezzo: rimarrà uno che rappresenta una parte della divisione del denaro. 

5. Dividi due cose che differiscono per due dirham e la parte minore dividila per la maggiore in modo tale che il quoziente sia un mezzo. Come abbiamo già detto ora moltiplica una cosa più due dirham per un mezzo e sia mezza cosa più un dirham equivalente ad una cosa. Ora togli una mezza cosa e rimarrà un dirham equivalente a mezza cosa. Pertanto ora raddoppio e affermo “due dirham equivalgono ad una cosa e l’altra parte sarà 4.

6. Moltiplico un quadrato per la sua radice  e la somma di questa moltiplicazione (prodotto) sia equivalente a tre quadrati. Riprendo quanto già affermato nel caso di una radice moltiplicata per un terzo di un quadrato era equivalente ad un quadrato. 3 sarà la radice e 9 il quadrato.

7. Moltiplico tre radici per 4 radici e la somma di tale moltiplicazione sia equivalente ad un quadrato e 44 dirham. Per quanto esposto moltiplico ogni radice ( delle quattro) per le tre radici e ottengo 12 quadrati  equivalenti ad un quadrato e 44 dirham. Tolgo dai 12 quadrati un quadrato e rimangono 11 quadrati equivalenti a 44 dirham. Un quadrato equivale pertanto a 4.

8. Moltiplico quattro radici di un quadrato per 5 delle sue radici e la somma di tale moltiplicazione (il prodotto) equivalga a 2 quadrati e 36 dirham. Moltiplico quattro radici per 5 radici, saranno 20 quadrati equivalenti a due quadrati più 36 dirham. Porto via due quadrati dai venti, rimangono 18 quadrati equivalenti a 36 dirham. Divido 36 per 18 e sarà due che rappresenta il quadrato.

9. Moltiplico la  radice di un quadrato per 4 delle sue radici e la somma di questa moltiplicazione (prodotto) equivalga a tre quadrati e 50 dirham. Per quanto esposto in precedenza, una radice moltiplicata per 4 radici darà 4 quadrati equivalenti a 3 quadrati più 50 dirham. Sottraggo dai 4 quadrati 3 quadrati e rimarrà un quadrato equivalente a 50 dirham. Pertanto la radice (quadrata) di 50 moltiplicata per 4 radici di 50 è 200 che equivale a tre quadrati più 50 dirham.

10. Sottraggo da un bene la sua terza parte e tre dirham, quello che rimane lo moltiplico per se stesso e quello che rappresenta tale moltiplicazione sia eguale allo stesso bene. Per quanto esposto in precedenza, quando sottraggo un terzo e tre dirham, rimarranno due terzi meno tre dirham e questo sarà la radice (il bene). Ora moltiplico per se stesso due terzi della cosa (il bene) meno tre dirham. Due terzi per due terzi sarà 4 noni del quadrato. E il tre da diminuire moltiplicato per due terzi della cosa sarà due cose da diminuire. E il tre da diminuire moltiplicato per stesso sarà 9 dirham da aggiungere. Pertanto saranno 4/9 di un quadrato più 9 dirham da cui togliere 4 radici, tutto questo equivalente a una radice. Pertanto restauriamo le radici aggiungendo 4 radici alla singola radice: avremo 5 radici equivalenti a 4 noni di un quadrato più 9 dirham. Ora si sono interviene sui quattro noni del quadrato completandolo. È ciò si ottiene moltiplicando quello per due e un quarto. Ora moltiplica anche 9 per due e un quarto e sarà 20 e un quarto e anche le 5 radici per due e un quarto e saranno 11 cose (radici) e un quarto. Avrai pertanto un quadrato più 20 dirham e un quarto equivalenti a 11 cose e un quarto. “Riducilo ora  nello stesso modo in cui abbiamo agito nella divisione delle radici”, come ti abbiamo detto.

11.  Moltiplica un terzo di un bene per il suo quarto e la somma dell’intera moltiplicazione equivalga al bene. Per quanto esposto moltiplica un terzo della cosa per il suo quarto e sarà la metà di un sesto della cosa equivalente alla cosa. Pertanto la radice del quadrato è 12 e il quadrato contiene in se 100 e 44.

12. Divido in modo diseguale un dirham e mezzo, in modo che la parte maggiore sia il doppio della minore. Per quanto esposto la parte maggiore e quella minore è uguale a uno più una cosa. Pertanto dico “Un dirham e mezzo diviso per un dirham e una cosa equivale a due cose”. Moltiplico pertanto due cose per un dirham e una cosa. Siano due quadrati più due cose equivalenti a un dirham e mezzo. Ora converti ad un quadrato e questo significa dimezzare ogni altra cosa. Si dirà pertanto “Un quadrato e una cosa equivalgono a tre quarti dirham”. Riducilo allo stesso modo nel quale ti abbiamo spiegato.

13. Un bene moltiplicato per i suoi due terzi equivale a 5. Agisci in questo modo, moltiplica la cosa (il bene) per i suoi due terzi e sarà 2/3 di un quadrato equivalente a 5.  Completa 2/3 del quadrato con la sua metà e sarà un quadrato. Allo stesso modo completa il 5 con la sua metà e avremo un quadrato equivalente a sette e mezzo. Pertanto la sua radice è quella cosa (bene) che moltiplicata per i suoi due terzi varrà il numero 5.

14. Dividi tra ragazze un dirham, in modo tale che ciascuna di loro avrà la stessa quantità della cosa. Se si aggiunge anche una ragazza e la stessa quantità (un dirham) la dividi fra tutti, a questi verrà consegnata una quantità (paga) inferiore di un sesto. Agisci in questo modo: moltiplica il numero delle prime ragazze (che vale la cosa) per la differenza fra le parti, e questo prodotto che ottieni moltiplicalo per il numero delle ragazze finale. Ora dividi quanto ottenuto da questa moltiplicazione per la differenza fra il numero iniziale delle ragazze e quello finale è otterrai la tua cosa (il bene). Poi moltiplica il numero delle ragazze iniziali (una cosa) per un sesto, che rappresenta la differenza tra le parti, e avrai un sesto di radice (la cosa). In seguito moltiplica poi questo (un sesto della cosa) per il numero finale delle ragazze, che sono una cosa più uno. Sarà un sesto di un quadrato più un sesto della radice, divisi per un dirham equivalenti ad un dirham.. ora completo il quadrato, moltiplicando per il numero sei sia il quadrato che le radici. Moltiplico per 6 anche i dirham e saranno un quadrato più una radice equivalenti a 6 dirham. Dimezzo la radice e la moltiplico per se stessa, aggiungo 6 e calcolo la radice (quadrata) di questo prodotto e sottrai la metà delle radici. Ciò che rimane designa il numero iniziale delle ragazze che è due.

15. Se da un quadrato vengono sottratte 4 radici e ciò che resta viene moltiplicato per 1/3, se questa terza parte sarà uguale a 4 radici, allora il quadrato varrà 200 più 56 (256). Affinché sia quanto abbiamo esposto, il terzo del residuo dovrà essere uguale a 4 radici. E allora (tutto) il residuo sarà uguale a 12 radici, aggiungiamo (restauriamo) 4 radici e saranno 16 radici, e 16 rappresenta la radice (quadrata) del quadrato

16. Da un quadrato sottrai 3 radici e quello che resta, moltiplicalo per se stesso. La somma di tutta questa moltiplicazione (prodotto) valga il quadrato. Come è manifesto, ciò che rimane è simile alla radice e il quadrato varrà 4 radici, e siano 16 dirham.

Questi sono i 16 problemi che abbiamo visto derivare dai primi 6 capitoli, come abbiamo riferito.

Pertanto se vorrai moltiplicare (calcolare) qualsiasi cosa secondo l’arte della restaurazione e comparazione, ti sarà facile reperire attraverso queste (16 questioni), le modalità del calcolo.